1.6: Теореми Паппуса

(Паппус Александрін, грецький математик, приблизно 3 або 4 століття нашої ери.)

1. Якщо плоска область обертається навколо осі в її площині, але яка не перетинає площу, об'єм змітається дорівнює площі, що помножується на відстань, переміщену центроїдом.
2. Якщо плоска крива обертається навколо осі в її площині, але яка не перетинає криву, площа зміщеної дорівнює довжині відстані, переміщеної центроїдом.

Ці теореми дозволяють нам виробити об'єм твердого тіла обертання, якщо ми знаємо положення центроїда плоської області, або навпаки; або опрацювати площу поверхні обертання, якщо ми знаємо положення центроїда плоска крива або навпаки. Не обов'язково, щоб площину або криву поверталися через повні 360 ^о.

Спочатку доведемо теореми. Потім ми слідуємо з деякими прикладами.

Розглянемо площу$A$ в$zx$ площині (рис. I.9), і елемент$\delta A$ в межах області на відстані$x$ від$z$ осі. Поверніть ділянку на кут$\phi$ навколо$z$ осі. Довжина дуги, що простежується елементом$dA$ при переміщенні через кут$x \phi$,$\phi$ є, тому обсяг змітається$\delta A$ є$x \phi \delta A$. Обсяг, змітається на всю площу, є$\phi$$\int xd A$. Але визначення центроїда$A$ таке, що його відстань від$z$ осі задається$\overline{x} A$ =$\int x d A$. Тому обсяг змітається площею є$\phi \overline{x} A$. Але$\phi \overline{x}$ це відстань, переміщена центроїдом, тому перша теорема Паппуса доведена.

Розглянемо криву довжини$L$ in the $zx$ plane (Figure I.10), and an element $\delta s$ of the curve at a distance $x$ from the $z$ axis. Rotate the curve through an angle $\phi$ про$z$ axis. The length of the arc traced by the element $\delta s$in moving through an angle $\phi$ є$x\phi$, так що область$\delta s$ змітається$x \phi \delta s$ . Площа, вимітається всією кривою, є$\phi \int x ds$. Але визначення центроїда таке, що його віддаленість від$z$ axis is given by $\overline{x}L = \int xds$. Тому область, вимітається кривою, є$\phi \overline{x} L$. Але$\phi \overline{x}$ чи переміщається відстань центроїдом, тому доведена друга теорема Паппуса.

Застосування теорем Паппуса

Поверніть площину напівкруглої фігури площею$\frac{1}{2} \pi a^{2}$ через 360 ^o про її діаметр. Обсяг змітається є$\frac{4}{3} \pi a^{3}$ , а відстань, яку переміщає центроїд,$2 \pi \overline{x}$ тому теоремою Паппуса,$\overline{x} = \frac{4a}{(3 \pi )}$.

Поверніть площину напівкруглої дуги довжиною π a через 360 ^o про її діаметр. Скористайтеся подібним аргументом, щоб показати, що$\overline{x} = \frac{2a} { \pi}$.

Розглянемо прямокутний трикутник, висоту$h$, base $a$ (Figure I.11). Its centroid is at a distance $\frac{a}{3}$ from the height $h$. The area of the triangle is $\frac{ah}{2}$. Rotate the triangle through 360^o about $h$. The distance moved by the centroid is $\frac{2 \pi a}{3}$. The volume of the cone swept out is $\frac{ah}{2}$ times $\frac{2 \pi}{3}$, equals $\frac{ \pi a^{2} h}{3}$ .

Тепер розглянемо лінію довжини,$l$ inclined at an angle $\alpha$ щоб площа поверхні конуса зміталася$l \times\pi\ l \sin \alpha =\pi l^{2} \sin \alpha$.$y$ axis (Figure I.12). Its centroid is at a distance $\frac{1}{2} l \sin \alpha$ from the $y$ axis. Rotate the line through 360^o about the $y$ axis. The distance moved by the centroid is $2 \pi \times \frac{1}{2} l \sin \alpha = \pi l \sin \alpha$.

Центр кола радіусом$b$ is at a distance $a$ from the $y$ axis. It is rotated through 360^o about the $y$ axis to form a torus (Figure I.13). Use the theorems of Pappus to show that the volume and surface area of the torus are, respectively, $2 \pi ^{2} ab^{2}$ і$4 \pi ^{2} ab$.