28.5: Опрацьовані приклади - рівняння Бернуллі

Приклад\(\PageIndex{1}\): Venturi Meter

На малюнку 28.8 показаний вимірювач Вентурі, пристрій, який використовується для вимірювання швидкості рідини в трубі. Рідина щільності\(\rho_{f}\) протікає по трубі. Під точками 1 і 2\(\rho_{Hg}\) лежить U-подібна трубка, частково заповнена ртуттю щільності.

Малюнок 28.8: Вимірювач Вентурі

Площі поперечного перерізу труби в точках 1 і 2 дорівнюють\(A_{1}\) і\(A_{2}\) відповідно. Визначити вираз для швидкості потоку в точці 1 через площі поперечного перерізу\(A_{1}\) і\(A_{2}\), і різниці висот h рівнів рідини двох плечей П-образної труби.

Рішення

Малюнок 28.8: Система координат для трубки Вентурі

Будемо вважати, що тиск і швидкість постійні в ділянках поперечного перерізу\(A_{1}\) і\(A_{2}\). Ми також припускаємо, що рідина є нестисливою, тому\(\rho_{f}\) щільність постійна по всій трубці. Дві точки 1 і 2 лежать на обтічній лінії, що проходить через середину трубки, щоб вони були на однаковій висоті. Використовуючи\(y_{1}=y_{2}\) в рівнянні (28.4.8), тиск і швидкість потоку в двох точках 1 і 2 пов'язані між собою

\[P_{1}+\frac{1}{2} \rho_{f} v_{1}^{2}=P_{2}+\frac{1}{2} \rho_{f} v_{2}^{2} \nonumber \]

Ми можемо переписати рівняння (28.4.10) як

\[P_{1}-P_{2}=\frac{1}{2} \rho_{f}\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right) \nonumber \]

Нехай h1 і h2 позначають висоти рівня рідини в плечах П-образної трубки безпосередньо під точками 1 і 2 відповідно. Закон Паскаля пов'язує різницю тиску між двома плечами U-подібної труби відповідно до лівого плеча U-подібної труби відповідно до

\[P_{\text {bottom}}=P_{1}+\rho_{f} g d_{1}+\rho_{H g} g h_{1} \nonumber \]

Аналогічним чином тиск в точці 2 задається

\[P_{\text {bottom}}=P_{2}+\rho_{f} g d_{2}+\rho_{H g} g h_{2} \nonumber \]

Тому, встановивши рівняння (28.4.12) рівняння (28.4.13), визначаємо, що різниця тисків з двох сторін П-образної труби дорівнює

\[P_{1}-P_{2}=\rho_{f} g\left(d_{2}-d_{1}\right)+\rho_{H g} g\left(h_{2}-h_{1}\right) \nonumber \]

З малюнка 28.8\(d_{2}+h_{2}=d_{1}+h_{1}\), тому\(d_{2}-d_{1}=h_{1}-h_{2}=-h\) ми можемо переписати рівняння (28.4.14) як

\[P_{1}-P_{2}=\left(\rho_{H g}-\rho_{f}\right) g h \nonumber \]

Підстановка рівняння (28.4.11) на рівняння (28.4.15) дає

\[\frac{1}{2} \rho_{f}\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)=\left(\rho_{H g}-\rho_{f}\right) g h \nonumber \]

Умова неперервності маси (Рівняння (28.3.5)) означає, що\(v_{2}=\left(A_{1} / A_{2}\right) v_{1}\) і тому ми можемо переписати рівняння (28.4.16) як

\[\frac{1}{2} \rho_{f}\left(\left(A_{1} / A_{2}\right)^{2}-1\right) v_{1}^{2}=\left(\rho_{H g}-\rho_{f}\right) g h \nonumber \]

Тепер ми можемо вирішити Рівняння (28.4.17) для швидкості потоку в точці 1;

\[v_{1}=\sqrt{\frac{2\left(\rho_{H g}-\rho_{f}\right) g h}{\rho_{f}\left(\left(A_{1} / A_{2}\right)^{2}-1\right)}} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{2}\): Water Pressure

Циліндрична водонапірна вежа діаметром 3,0 м подає воду в будинок. Рівень води в водонапірній башті на 35 м вище точки, де вода надходить в будинок по трубі, що має внутрішній діаметр 5,1 см. Впускний патрубок подає воду з максимальною швидкістю\(2.0 \times 10^{-3} \mathrm{m}^{3} \cdot \mathrm{s}^{-1}\). Трубу з'єднують з більш вузькою трубою, що веде на другий поверх, яка має внутрішній діаметр 2,5 см. Який тиск і швидкість води в більш вузькій трубі в точці, яка є висотою 5,0 м над рівнем, де труба входить в будинок?

Малюнок 28.9: Приклад 28.2 (не масштабувати)

Рішення

Будемо вважати, що вода є ідеальною рідиною і що потік є постійним потоком і що рівень води у водонапірній башті постійно підтримується. Виберемо три точки, точку 1 у верхній частині води в вежі, точку 2, де вода просто надходить в будинок, і точка 3 у вузькій трубі на висоті\(h_{2}=5.0 \mathrm{m}\) вище рівня, де труба входить в будинок.

Ми починаємо з застосування Рівняння Бернуллі до потоку з водонапірної вежі в точці 1, туди, де вода просто потрапляє в будинок в точці 2. Рівняння Бернуллі (Рівняння (28.4.8)) говорить нам, що

\[P_{1}+\rho g y_{1}+\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}=P_{2}+\rho g y_{2}+\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} \nonumber \]

Припускаємо, що швидкість руху води у верхній частині вежі мізерно мала через те, що рівень води в вежі підтримується на одній висоті і так ми встановили\(v_{1}=0\). Тиск в точці 2 тоді

\[P_{2}=P_{1}+\rho g\left(y_{1}-y_{2}\right)-\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} \nonumber \]

У Рівнянні (28.4.20) використовуємо значення для щільності води

\[\rho=1.0 \times 10^{3} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3}\), the change in height is \(\left(y_{1}-y_{2}\right)=35 \mathrm{m}, \nonumber \]

і тиск у верхній частині водонапірної вежі дорівнює\ begin {рівняння} P_ {1} =1\ text {atm}\ end {рівняння}. Швидкість R, яку протікає вода в точці 1, задовольняє\(R=A_{1} v_{1}=\pi\left(d_{1} / 2\right)^{2} v_{1}\). Тому швидкість руху води в точці 1 дорівнює

\[v_{1}=\frac{R}{\pi\left(d_{1} / 2\right)^{2}}=\frac{2.0 \times 10^{-3} \mathrm{m}^{3} \cdot \mathrm{s}^{-1}}{\pi(1.5 \mathrm{m})^{2}}=2.8 \times 10^{-4} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber \]

який є незначним, і тому ми виправдані в установці\ begin {рівняння} v_ {1} =0\ end {рівняння}. Аналогічно швидкість руху води в точці 2 дорівнює

\[v_{2}=\frac{R}{\pi\left(d_{2} / 2\right)^{2}}=\frac{2.0 \times 10^{-3} \mathrm{m}^{3} \cdot \mathrm{s}^{-1}}{\pi\left(2.5 \times 10^{-2} \mathrm{m}\right)^{2}}=1.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber \]

Ми можемо замінити рівняння (28.4.21) на рівняння (28.4.22), що дає

\[v_{2}=\left(d_{1}^{2} / d_{2}^{2}\right) v_{1} \nonumber \]

результат, який ми незабаром знайдемо корисним. Тому тиск в точці 2 дорівнює

\ [\ почати {масив} {l}
P_ {2} =1.01\ раз 10^ {5}\ математика {Па} +\ лівий (1,0\ раз 10^ {3}\ mathrm {kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {-3}\ праворуч)\ лівий (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) (35\ mathrm {m}) -\ frac {1} {2}\ ліворуч (1.0\ раз 10^ {3}\ mathrm {kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {-3}\ праворуч)\ ліворуч (1.0\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ { -1}\ праворуч) ^ {2}\\
P_ {2} =1.01\ раз 10^ {5}\ mathrm {Па} +3,43\ раз 10^ {5}\ mathrm {Па} -5.1\ раз 10^ {2}\ mathrm {Pa} =4.4\ раз 10^ {5}\ mathrm {Pa}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Домінуючим внеском є перепад висот між вершиною водонапірної вежі і трубою, що входить в будинок. Величина\((1 / 2) \rho v_{2}^{2}\) називається динамічним тиском через те, що вода рухається. Величина зниження тиску за рахунок того, що вода рухається в точці 2, задається

\[\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}=\frac{1}{2}\left(1.0 \times 10^{3} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3}\right)\left(1.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)^{2}=5.1 \times 10^{3} \mathrm{Pa} \nonumber \]

що набагато менше, ніж внески з двох інших термінів.

Тепер ми застосуємо Рівняння Бернуллі до точок 2 і 3,

\[P_{2}+\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}+\rho g y_{2}=P_{3}+\frac{1}{2} \rho v_{3}^{2}+\rho g y_{3} \nonumber \]

Тому тиск в точці 3 дорівнює

\[P_{3}=P_{2}+\frac{1}{2} \rho\left(v_{2}^{2}-v_{3}^{2}\right)+\rho g\left(y_{2}-y_{3}\right) \nonumber \]

Зміна висоти\(y_{2}-y_{3}=-5.0 \mathrm{m}\). Швидкість руху води в точці 3 дорівнює

\[v_{3}=\frac{R}{\pi\left(d_{3} / 2\right)^{2}}=\frac{2.0 \times 10^{-3} \mathrm{m}^{3} \cdot \mathrm{s}^{-1}}{\pi\left(1.27 \times 10^{-2} \mathrm{m}\right)^{2}}=3.9 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber \]

Тоді тиск в точці 3 дорівнює

\ [\ почати {масив} {l}
P_ {3} =\ лівий (4.4\ раз 10^ {5}\ mathrm {Па}\ праворуч) +\ frac {1} {2}\ ліворуч (1.0\ раз 10^ {3}\ mathrm {kg}\ cdot\ mathrm {m} ^ {-3}\ праворуч)\ ліворуч (1.0\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}\ праворуч) ^ {2} -\ ліворуч (3.9\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч)\\
-\ ліворуч (1,0\ раз 10^ {3}\ математика {кг}\ cdot\ mathrm {m} ^ {-3}\ праворуч)\ ліворуч (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) (5.0\ mathrm {m})\
=\ ліворуч (4,4\ раз 10^ {5}\ mathrm {Па}\ праворуч) -\ (7,1\ раз 10^ {3}\ математика {Па}\ праворуч) -4,9\ раз 10^ {4}\ математика {Па}\
=3.8\ раз 10^ {5}\ mathrm {Па}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Оскільки швидкість води в точці 3 набагато більше, ніж у точці 2, внесок динамічного тиску в точці 3 набагато більший, ніж у точці 2.