23.6: Примусове затухання осцилятора
Проведемо нашу затухлу систему пружинних об'єктів синусоїдальною силою. Припустимо, що х - складова рушійної сили задається
Fx(t)=F0cos(ωt)
деF0 називається амплітудою (максимальним значенням) іω є рушійною кутовою частотою. Сила змінюється міжF0 і−F0 тому, що функція косинуса коливається між +1 і −1. Визначте x (t) як положення об'єкта щодо положення рівноваги. Х -складова сили, що діє на об'єкт, тепер є сумою
Fx=F0cos(ωt)−kx−bdxdt
Другий закон Ньютона в х -напрямку стає
F0cos(ωt)−kx−bdxdt=md2xdt2
Ми можемо переписати рівняння (23.6.3) як
F0cos(ωt)=md2xdt2+bdxdt+kx
Виведено розв'язок рівняння (23.6.4) у додатку 23Е: Розв'язок вимушеного рівняння осцилятора. Рішення задається функцією
x(t)=x0cos(ωt+ϕ)
де амплітудаx0 є функцією ведучої кутової частоти ω і задається
x0(ω)=F0/m((b/m)2ω2+(ω20−ω2)2)1/2
Фазова постійна φ також є функцією ведучої кутової частоти ω і задається
ϕ(ω)=tan−1((b/m)ωω2−ω20)
У рівняннях (23.6.6) та (23.6.7)
ω0=√km
- це природна кутова частота, пов'язана з некерованим осцилятором без затухання. x -складову швидкості можна знайти шляхом диференціювання рівняння (23.6.5),
vx(t)=dxdt(t)=−ωx0sin(ωt+ϕ)
де амплітудаx0(ω) задається рівнянням (23.6.6), а фазова постійнаϕ(ω) - рівнянням (23.6.7).
Резонанс
Колиb/m<<2ω0 ми говоримо, що осцилятор злегка затухає. Для злегка затухаючого керованого генератора після перехідного періоду положення об'єкта буде коливатися з тією ж кутовою частотою, що і рушійна сила. Графік амплітудиx0(ω) проти ведучої кутової частоти ω для злегка затухаючого примусового генератора показаний на малюнку 23.16. Якщо кутова частота збільшена з нуля, амплітудаx0(ω) буде збільшуватися до тих пір, поки вона не досягне максимуму, коли кутова частота рушійної сили буде такою ж, як і власна кутова частота,ω0 пов'язана з негаслим осцилятором. Це називається резонансом. При збільшенні рушійної кутової частоти вище власної кутової частоти амплітуда коливань положення зменшується.

Ми можемо знайти кутову частоту таку, що амплітудаx0(ω) знаходиться на максимумі, встановивши похідну Рівняння (23.6.6) рівну нулю,
0=ddtx0(ω)=−F0(2ω)2m((b/m)2−2(ω20−ω2))((b/m)2ω2+(ω20−ω2)2)3/2
Це зникає, коли
ω=(ω20−(b/m)2/2)1/2
Для слабозатухаючого осцилятораω0>>(1/2)b/m, і тому максимальне значення амплітуди відбувається, коли
ω≃ω0=(k/m)1/2
Амплітуда при резонансі тоді
x0(ω=ω0)=F0bω0 (lightly damped)
Графік фазової постійноїϕ(ω) проти ведучої кутової частоти ω для злегка затухаючого примусового генератора показаний на малюнку 23.17.

Стала фази при резонансі дорівнює нулю,
ϕ(ω=ω0)=0
При резонансі х -складова швидкості задається
vx(t)=dxdt(t)=−F0bsin(ω0t) (lightly damped)
Коли генератор не злегка затухає(b/m≃ω0), резонансний пік зміщується вліво,ω=ω0 як показано на графіку амплітуди проти кутової частоти на малюнку 23.18. Відповідний графік фазової постійної проти кутової частоти для незлегка затухаючого генератора показаний на малюнку 23.19.


Механічна енергія
Кінетична енергія для керованого затухаючого осцилятора задається
K(t)=12mv2(t)=12mω2x20sin2(ωt+ϕ)
Потенційна енергія дається
U(t)=12kx2(t)=12kx20cos2(ωt+ϕ)
Механічна енергія тоді
E(t)=12mv2(t)+12kx2(t)=12mω2x20sin2(ωt+ϕ)+12kx20cos2(ωt+ϕ)
Приклад 23.5: Механічна енергія, усереднена за часом
Період одного циклу задається поT=2π/ω. Покажіть, що
(i)1T∫T0sin2(ωt+ϕ)dt=12
(ii)1T∫T0cos2(ωt+ϕ)dt=12
(iii)1T∫T0sin(ωt)cos(ωt)dt=0
Рішення: (i) Використовуємо тригонометричну ідентичність
sin2(ωt+ϕ))=12(1−cos(2(ωt+ϕ))
переписати інтеграл у рівнянні (23.6.19) як
1T∫T0sin2(ωt+ϕ))dt=12T∫T0(1−cos(2(ωt+ϕ))dt
Інтеграція прибутковості
\ [\ begin {масив} {l}
\ frac {1} {2 T}\ int_ {0} ^ {T}\ лівий (1-\ cos (2 (\ омега т+\ фі)) d t=\ frac {1} {2} -\ лівий. \ ліворуч (\ frac {\ sin (2 (\ омега т+\ фі))} {2\ омега}\ праворуч)\ праворуч | _ {T = 0} ^ {T = 2\ pi/\ омега}\ праворуч. \\
=\ гідророзриву {1} {2} -\ лівий (\ frac {\ sin (4\ pi+2\ phi)} {2\ омега} -\ frac {\ sin (2\ phi)} {2\ омега}\ право) =\ frac {1} {2}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
де ми використовували тригонометричну ідентичність, яка
sin(4π+2ϕ)=sin(4π)cos(2ϕ)+sin(2ϕ)cos(4π)=sin(2ϕ)
Доведення рівняння (23.6.19).
(ii) Ми використовуємо подібний аргумент, що починається з тригонометричної ідентичності, яка
cos2(ωt+ϕ))=12(1+cos(2(ωt+ϕ))
Тоді
1T∫T0cos2(ωt+ϕ))dt=12T∫T0(1+cos(2(ωt+ϕ))dt
Інтеграція прибутковості
\ [\ begin {масив} {l}
\ frac {1} {2 T}\ int_ {0} ^ {T}\ лівий (1+\ cos (2 (\ омега т+\ фі)) d t=\ frac {1} {2} +\ ліворуч. \ ліворуч (\ frac {\ sin (2 (\ омега т+\ фі))} {2\ омега}\ праворуч)\ праворуч | _ {T = 0} ^ {T = 2\ pi/\ омега}\ праворуч. \\
=\ гідророзриву {1} {2} +\ лівий (\ frac {\ sin (4\ pi+2\ phi)} {2\ омега} -\ frac {\ sin (2\ phi)} {2\ омега}\ право) =\ frac {1} {2}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
(iii) Спочатку ми використовуємо тригонометричну ідентичність, яка
sin(ωt)cos(ωt)=12sin(ωt)
Тоді
\ [\ почати {масив} {l}
\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T}\ sin (\ омега т)\ cos (\ омега т) d t=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T}\ sin (\ омега т) д т\\
=-\ ліворуч. \ frac {1} {T}\ frac {\ cos (\ омега т)} {2\ омега}\ right|_ {0} ^ {T} =-\ frac {1} {2\ омега T} (1-1) =0
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Значення інтегралів у прикладі 23.5 називаються усередненими за часом значеннями. Позначимо середньочасове значення функції f (t) за один період
⟨f⟩≡1T∫T0f(t)dt
Зокрема, середньочасова кінетична енергія як функція кутової частоти задається
⟨K(ω)⟩=14mω2x20
Усереднена за часом потенційна енергія як функція кутової частоти задається
⟨U(ω)⟩=14kx20
Усереднене за часом значення механічної енергії як функції кутової частоти задається
⟨E(ω)⟩=14mω2x20+14kx20=14(mω2+k)x20
Тепер ми замінюємо рівняння (23.6.6) для амплітуди в рівняння (23.6.34), що дає
⟨E(ω)⟩=F204m(ω20+ω2)((b/m)2ω2+(ω20−ω2)2)
Графік усередненої за часом енергії проти кутової частоти для слабозатухаючого випадку(b/m<<2ω0) показаний на малюнку 23.20.

⟨E(ω)⟩=F202m(ω20)((b/m)2ω20+(ω20−ω2)2)
Ми можемо наблизити термін
ω20−ω2=(ω0−ω)(ω0+ω)≃2ω0(ω0−ω)
Тоді рівняння (23.6.36) стає
⟨E(ω)⟩=F202m1((b/m)2+4(ω0−ω)2) (lightly damped)
Правий вираз Рівняння (23.6.38) набуває свого максимального значення, коли знаменник має мінімальне значення. При огляді це відбувається приω=ω0. Як варіант, щоб знайти максимальне значення, ставимо похідну Рівняння (23.6.35) рівну нулю і вирішимо для ω,
\ [\ begin {масив} {l}
0=\ frac {d} {d\ омега}\ ланголь Е (\ омега)\ діапазон =\ frac {d} {d\ омега}\ frac {F_ {0}} {2 м}\ frac {1} {\ лівий (b/m) ^ {2} +4\ лівий (\ omega_ {0} -\ омега\ праворуч) ^ {2}\ праворуч)}\\
=\ розриву {4 F_ {0} ^ {2}} {m}\ frac {\ ліворуч (\ омега_ {0} -\ омега\ праворуч)} {\ ліворуч (b/м) ^ {2} +4\ ліворуч (\ omega_ {0} -\ омега\ праворуч) ^ {2}\ право) ^ {2}}
\ end {масив}\ nonumber\]
Максимум виникає, коли відбувається приω=ω0 і має значення
⟨E(ω0)⟩=mF202b2( underdamped )
Усереднена за часом потужність
Усереднена за часом потужність, що подається рушійною силою, задається виразом
⟨P(ω)⟩=1T∫T0Fxvxdt=−1T∫T0F20ωcos(ωt)sin(ωt+ϕ)m((b/m)2ω2+(ω20−ω2)2)1/2dt
де ми використовували Рівняння (23.6.1) для рушійної сили, і Рівняння (23.6.9) для x -складової швидкості об'єкта. Використовуємо тригонометричну ідентичність
sin(ωt+ϕ)=sin(ωt)cos(ϕ)+cos(ωt)sin(ϕ)
переписати інтеграл у Рівнянні (23.6.41) як два інтеграли
\ [\ begin {масив} {l}
\ лангле P (\ омега)\ rangle=-\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T}\ frac {F_ {0} ^ {2}\ омега\ cos (\ омега т)\ sin (\ омега т)\ cos (\ phi)} {м\ ліворуч (b/м) ^ {2}\ omex ga^ {2} +\ лівий (\ омега_ {0} ^ {2} -\ омега^ {2}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч) ^ {1/2}} d t\\
-\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T}\ frac {F_ {0} ^ {2}\ омега\ cos ^ {2} (\ омега т)\ sin (\ phi)} {м\ ліворуч ((b/м) ^ {2}\ омега^ {2} +\ ліворуч (\ омега_ {0} ^ {2}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч) ^ {1/2}}} d t
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Використовуючи усереднені за часом результати з Прикладу 23.5, ми бачимо, що перший член у Рівнянні (23.6.43) дорівнює нулю, а другий член стає
⟨P(ω)⟩=F20ωsin(ϕ)2m((b/m)2ω2+(ω20−ω2)2)1/2
Для низькозатухаючого керованого осцилятора ми робимо ті самі наближення в Рівнянні (23.6.44), які ми зробили для усередненої за часом енергії. У члені в чисельнику і
член зліва в знаменнику, ми ставимоω=ω0, і використовуємо Рівняння (23.6.37) в члені справа в знаменнику, що дає
\ [\ лангове P (\ омега)\ rangle=\ frac {F_ {0} ^ {2}\ sin (\ phi)} {2 м\ ліворуч (b/м) ^ {2} +2\ ліворуч (\ омега_ {0} -\ омега\ праворуч) ^ {1/2}}} (недопалений)\ кінець {рівняння}
Усереднена за часом потужність, розсіюється резистивною силою, задається
\ [\ почати {масив} {l}
\ лівий\ ланкуль P_ {\ mathrm {dis}} (\ омега)\ праворуч\ діапазон =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T}\ ліворуч (F_ {x}\ праворуч) _ {\ mathrm {dis}} v_ {x} d t=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T} b v_ {x} ^ {2} d t=\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T}\ frac {F_ {0} ^ {2}\ омега^ {2}\ sin ^ {2} (\ омега т+\ фі) д т} {м^ {2}\ ліво (б/м) {2}\ омега^ {2} +\ ліворуч (\ омега_ {0} ^ {2} -\ омега^ {2}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч)}\\
=\ розрив {F_ {0} ^ {2}\ омега^ {2} d t} {2}\ ліворуч ((b/м) ^ {2}\ омега^ {2} +\ омега_ {0} ^ {2} -\ омега^ {2}\ право) ^ {2}\ право)}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
де ми використовували Рівняння (23.5.1) для дисипативної сили, Рівняння (23.6.9) для x -складової швидкості об'єкта та Рівняння (23.6.19) для усереднення часу.
Фактор якості
Графік усередненої за часом енергії проти рушійної кутової частоти для недозатухаючого оскальлятора має ширину,Δω (рис. 23.20). Одним із способів охарактеризувати цю ширину є визначенняΔω=ω+−ω−, деω± знаходяться значення кутової частоти, такі, що усереднена за часом енергія дорівнює половині її максимального значення.
⟨E(ω±)⟩=12⟨E(ω0)⟩=mF204b2
ВеличинаΔω називається шириною лінії при половині максимуму енергії також відомий як ширина резонансу. Тепер ми можемо вирішити дляω±, встановивши
⟨E(ω±)⟩=F202m1((b/m)2+4(ω0−ω±)2)=mF204b2
поступаючись умові, що
(b/m)2=4(ω0−ω±)2
Взяття квадратних коренів рівняння (23.6.49) дає
∓(b/2m)=ω0−ω±
Тому
ω±=ω0±(b/2m)
Половина ширини тоді
Δω=ω+−ω−=(ω0+(b/2m))−(ω0−(b/2m))=b/m
Визначено якість Q резонансу як відношення резонансної кутової частоти до ширини лінії,
Q=ω0Δω=ω0b/m

На малюнку 23.21 ми будуємо усереднену за часом енергію проти кутової частоти для декількох різних значень коефіцієнта якості Q = 10, 5 та 3. Нагадаємо, що це був той самий результат, який ми мали для якості вільних коливань затухаючого осцилятора, Equation (23.5.16) (тому що ми вибрали коефіцієнтπ в Equation (23.5.16)).