23.5: Затухаючий коливальний рух
Розглянемо тепер нашу пружинно-блокову систему, що рухається по горизонтальній поверхні без тертя, але тепер блок прикріплений до заслінки, яка чинить опір руху блоку за рахунок в'язкого тертя. Цей демпфер, який прийнято називати приладовим пристроєм, показаний на малюнку 23.13. В'язка сила виникає, коли предмети рухаються по рідинам зі швидкостями досить повільно, щоб не було турбулентності. Коли в'язка сила протистоїть руху і пропорційна швидкості, так що
→fvis=−b→v
dashpot називається лінійним приладовим пристроєм. Константа пропорційності b залежить від властивостей приладової точки.

Виберіть початок в положенні рівноваги і виберіть позитивне х -напрямок вправо на малюнку 23.13. Визначте,x(t) щоб бути положення об'єкта щодо положення рівноваги. Х -складова сумарної сили, що діє на пружину, є сумою лінійної відновлювальної сили пружини, а сили в'язкого тертя (рис. 23.13),
Fx=−kx−bdxdt

Другий закон Ньютона в х -напрямку стає
−kx−bdxdt=md2xdt2
Ми можемо переписати рівняння (23.5.3) як
d2xdt2+bmdxdt+kmx=0
Коли(b/m)2<4k/m осцилятор називається underdamped, а рішення Рівняння (23.5.4) задається
x(t)=xme−αtcos(γt+ϕ)
деγ=(k/m−(b/2m)2)1/2 - кутова частота коливань,α=b/2m - параметр, який вимірював експоненціальний розпад коливаньxm, є постійною іϕ є фазною постійною. Нагадаємо, що осцилятор не затухає має кутову частотуω0=(k/m)1/2, тому кутова частота низькозатухаючого генератора може бути виражена як
γ=(ω20−α2)1/2
У Додатку 23B: Комплексні числа ми вводимо комплексні числа та використовуємо їх для розв'язання рівняння (23.5.4) у Додатку 23C: Розв'язок слабкого простого гармонійного рівняння осцилятора.
x -складова швидкості об'єкта задається
vx(t)=dx/dt=(−γxmsin(γt+ϕ)−αxmcos(γt+ϕ))e−αt
Положення і х -складова швидкості об'єкта коливаються, але амплітуди коливань експоненціально зникають. На малюнку 23.14 положення побудовано як функція часу для недогашенной системи для особливого випадкуϕ=0. Для цього випадку
x(t)=xme−αtcos(γt)
і
vx(t)=dx/dt=(−γxmsin(γt)−αxmcos(γt))e−αt

Оскільки коефіцієнт експоненціального розпадуα=b/2m пропорційний b, ми бачимо, що положення буде слабшати швидше, якщо в'язка сила збільшиться. Ми можемо ввести постійну часу
τ=1/α=2m/b
Колиt=τ, посада
x(t=τ)=xmcos(γτ)e−1
Огинаюча експоненціального розпаду тепер зменшується в разиe−1, тобто амплітуда може бути не більшеxme−1. За цей часовий проміжок[0,τ] положення зазнало ряд коливань. Загальна кількість радіанів, пов'язаних з цими коливаннями, задається
γτ=(k/m−(b/2m)2)1/2(2m/b)
Найближче інтегральне число циклів тоді
n=[γτ/2π]=[(k/m−(b/2m)2)1/2(m/πb)]
Якщо система дуже слабо затухає, така що(b/m)2<<4k/m, то можна наблизити кількість циклів по
n=[γτ/2π]≃[(k/m)1/2(m/πb)]=[ω0(m/πb)]
деω0=(k/m)1/2 - кутова частота осцилятора, що не затухає.
Визначено якість, Q, цієї коливальної системи пропорційно кількості інтегральних циклів, які потрібно для того, щоб експоненціальна оболонка функції положення відпала на множникe−1. Константа пропорційності вибирається бутиπ. Таким чином
Q=nπ
Для слабко демпфірованого випадку ми маємо, що
Q≃ω0(m/b)
Енергія в осциляторі з низьким затуханням
Для недогашеного осцилятора(b/m)2<4k/m,γ=(k/m−(b/2m)2)1/2, іα=b/2m. Давайте виберемоt=0 такий, щоб зсув фазϕ=0 дорівнював нулю. НаКОПИЧЕНА енергія в системі буде падати через втрати енергії внаслідок розсіювання. Механічна енергія, що зберігається в потенційній та кінетичній енергіях, потім задається
E=12kx2+12mv2
де положення і х -складова швидкості задаються рівняннями (23.5.8) і (23.5.9). Механічна енергія тоді
E=12kx2mcos2(γt)e−2αt+12m(−γxmsin(γt)−αxmcos(γt))2e−2αt
Розширення цього виразу дає
E=12(k+mα2)x2mcos2(γt)e−2αt+mγαx2msin(γt)cos(γt)e−2αt+12mγ2x2msin2(γt)e−2αt
Кінетична енергія, потенційна енергія та механічна енергія показані на малюнку 23.15.

Накоплена енергія в момент t = 0 дорівнює
E(t=0)=12(k+mα2)x2m
Механічна енергія при укладенні одного циклу, зγT=2π, становить
E(t=T)=12(k+mα2)x2me−2αT
Зміна механічної енергії за один цикл
E(t=T)−E(t=0)=−12(k+mα2)x2m(1−e−2αT)
Нагадаємо, щоα2=b2/4m2. Тому
E(t=T)−E(t=0)=−12(k+b2/4m)x2m(1−e−2αT)
Ми можемо показати (хоча розрахунок тривалий), що енергія, розсіяна в'язкою силою за один цикл, задається інтегралом
Edis=∫T0→Fvis⋅→vdt=−(k+b24m)x2m2(1−e−2αt)
Порівняно з рівнянням (23.5.23), зміна механічної енергії в недогашеному осциляторі протягом одного циклу дорівнює енергії, що розсіюється за рахунок в'язкої сили протягом одного циклу.