Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

23.5: Затухаючий коливальний рух

Розглянемо тепер нашу пружинно-блокову систему, що рухається по горизонтальній поверхні без тертя, але тепер блок прикріплений до заслінки, яка чинить опір руху блоку за рахунок в'язкого тертя. Цей демпфер, який прийнято називати приладовим пристроєм, показаний на малюнку 23.13. В'язка сила виникає, коли предмети рухаються по рідинам зі швидкостями досить повільно, щоб не було турбулентності. Коли в'язка сила протистоїть руху і пропорційна швидкості, так що

fvis=bv

dashpot називається лінійним приладовим пристроєм. Константа пропорційності b залежить від властивостей приладової точки.

clipboard_e49ba227878eff2c5582750bc967c4f0d.png
Малюнок 23.12 Пружинно-блокова система, підключена до лінійної приладової точки

Виберіть початок в положенні рівноваги і виберіть позитивне х -напрямок вправо на малюнку 23.13. Визначте,x(t) щоб бути положення об'єкта щодо положення рівноваги. Х -складова сумарної сили, що діє на пружину, є сумою лінійної відновлювальної сили пружини, а сили в'язкого тертя (рис. 23.13),

Fx=kxbdxdt

clipboard_e51af2142b18693c934f62695b5552689.png
Малюнок 23.13 Діаграма сили вільного тіла для системи пружинних об'єктів з лінійною приладовою точкою

Другий закон Ньютона в х -напрямку стає

kxbdxdt=md2xdt2

Ми можемо переписати рівняння (23.5.3) як

d2xdt2+bmdxdt+kmx=0

Коли(b/m)2<4k/m осцилятор називається underdamped, а рішення Рівняння (23.5.4) задається

x(t)=xmeαtcos(γt+ϕ)

деγ=(k/m(b/2m)2)1/2 - кутова частота коливань,α=b/2m - параметр, який вимірював експоненціальний розпад коливаньxm, є постійною іϕ є фазною постійною. Нагадаємо, що осцилятор не затухає має кутову частотуω0=(k/m)1/2, тому кутова частота низькозатухаючого генератора може бути виражена як

γ=(ω20α2)1/2

У Додатку 23B: Комплексні числа ми вводимо комплексні числа та використовуємо їх для розв'язання рівняння (23.5.4) у Додатку 23C: Розв'язок слабкого простого гармонійного рівняння осцилятора.

x -складова швидкості об'єкта задається

vx(t)=dx/dt=(γxmsin(γt+ϕ)αxmcos(γt+ϕ))eαt

Положення і х -складова швидкості об'єкта коливаються, але амплітуди коливань експоненціально зникають. На малюнку 23.14 положення побудовано як функція часу для недогашенной системи для особливого випадкуϕ=0. Для цього випадку

x(t)=xmeαtcos(γt)

і

vx(t)=dx/dt=(γxmsin(γt)αxmcos(γt))eαt

clipboard_e8973913d167ccc8f8a659f1a8571f127.png
Малюнок 23.14 Ділянка положення x (t) об'єкта для низькозатухаючого осцилятора з φ = 0

Оскільки коефіцієнт експоненціального розпадуα=b/2m пропорційний b, ми бачимо, що положення буде слабшати швидше, якщо в'язка сила збільшиться. Ми можемо ввести постійну часу

τ=1/α=2m/b

Колиt=τ, посада

x(t=τ)=xmcos(γτ)e1

Огинаюча експоненціального розпаду тепер зменшується в разиe1, тобто амплітуда може бути не більшеxme1. За цей часовий проміжок[0,τ] положення зазнало ряд коливань. Загальна кількість радіанів, пов'язаних з цими коливаннями, задається

γτ=(k/m(b/2m)2)1/2(2m/b)

Найближче інтегральне число циклів тоді

n=[γτ/2π]=[(k/m(b/2m)2)1/2(m/πb)]

Якщо система дуже слабо затухає, така що(b/m)2<<4k/m, то можна наблизити кількість циклів по

n=[γτ/2π][(k/m)1/2(m/πb)]=[ω0(m/πb)]

деω0=(k/m)1/2 - кутова частота осцилятора, що не затухає.

Визначено якість, Q, цієї коливальної системи пропорційно кількості інтегральних циклів, які потрібно для того, щоб експоненціальна оболонка функції положення відпала на множникe1. Константа пропорційності вибирається бутиπ. Таким чином

Q=nπ

Для слабко демпфірованого випадку ми маємо, що

Qω0(m/b)

Енергія в осциляторі з низьким затуханням

Для недогашеного осцилятора(b/m)2<4k/m,γ=(k/m(b/2m)2)1/2, іα=b/2m. Давайте виберемоt=0 такий, щоб зсув фазϕ=0 дорівнював нулю. НаКОПИЧЕНА енергія в системі буде падати через втрати енергії внаслідок розсіювання. Механічна енергія, що зберігається в потенційній та кінетичній енергіях, потім задається

E=12kx2+12mv2

де положення і х -складова швидкості задаються рівняннями (23.5.8) і (23.5.9). Механічна енергія тоді

E=12kx2mcos2(γt)e2αt+12m(γxmsin(γt)αxmcos(γt))2e2αt

Розширення цього виразу дає

E=12(k+mα2)x2mcos2(γt)e2αt+mγαx2msin(γt)cos(γt)e2αt+12mγ2x2msin2(γt)e2αt

Кінетична енергія, потенційна енергія та механічна енергія показані на малюнку 23.15.

clipboard_e23335105155ef10e010abd7ed4b18d2d.png
Малюнок 23.15 Кінетична, потенційна та механічна енергія для осцилятора з низьким затуханням

Накоплена енергія в момент t = 0 дорівнює

E(t=0)=12(k+mα2)x2m

Механічна енергія при укладенні одного циклу, зγT=2π, становить

E(t=T)=12(k+mα2)x2me2αT

Зміна механічної енергії за один цикл

E(t=T)E(t=0)=12(k+mα2)x2m(1e2αT)

Нагадаємо, щоα2=b2/4m2. Тому

E(t=T)E(t=0)=12(k+b2/4m)x2m(1e2αT)

Ми можемо показати (хоча розрахунок тривалий), що енергія, розсіяна в'язкою силою за один цикл, задається інтегралом

Edis=T0Fvisvdt=(k+b24m)x2m2(1e2αt)

Порівняно з рівнянням (23.5.23), зміна механічної енергії в недогашеному осциляторі протягом одного циклу дорівнює енергії, що розсіюється за рахунок в'язкої сили протягом одного циклу.