23.7: Малі коливання
- Page ID
- 75219
Будь-який об'єкт, що рухається під дією сили, пов'язаної з потенційною енергетичною функцією, яка є квадратичною, зазнає простого гармонійного руху,
\[U(x)=U_{0}+\frac{1}{2} k\left(x-x_{e q}\right)^{2} \nonumber \]
де k - «постійна пружини»,\(x_{e q}\) - положення рівноваги, а константа\(U_{0}\) якраз залежить від вибору точки відліку\(x_{r e f}\) для нульової потенційної енергії\(U\left(x_{r e f}\right)=0\),
\[0=U\left(x_{r e f}\right)=U_{0}+\frac{1}{2} k\left(x_{r e f}-x_{e q}\right)^{2} \nonumber \]
Тому константа є
\[U_{0}=-\frac{1}{2} k\left(x_{r e f}-x_{e q}\right)^{2} \nonumber \]
Мінімум потенціалу\(x_{0}\) відповідає точка, де х -складова сили дорівнює нулю,
\[\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}=2 k\left(x_{0}-x_{e q}\right)=0 \Rightarrow x_{0}=x_{e q} \nonumber \]
що відповідає положенню рівноваги. Тому\(U\left(x_{0}\right)=U_{0}\) константа є, і ми переписуємо нашу потенційну функцію як
\[U(x)=U\left(x_{0}\right)+\frac{1}{2} k\left(x-x_{0}\right)^{2} \nonumber \]
Тепер припустимо, що потенційна енергетична функція не квадратична, але все ж має мінімум при\(x_{0}\). Наприклад, розглянемо потенційну енергетичну функцію
\[U(x)=-U_{1}\left(\left(\frac{x}{x_{1}}\right)^{3}-\left(\frac{x}{x_{1}}\right)^{2}\right) \nonumber \]
(Малюнок 23.22), який має стабільний мінімум при\(x_{0}\),
Коли енергія системи дуже близька до значення потенційної енергії на мінімумі\(U\left(x_{0}\right)\), покажемо, що система зазнає невеликих коливань приблизно мінімального значення\(x_{0}\). Ми будемо використовувати формулу Тейлора для наближення потенційної функції як полінома. Ми покажемо, що поблизу мінімуму\(x_{0}\) ми можемо наблизити потенційну функцію квадратичною функцією, подібною до Рівняння (23.7.5), і показати, що система зазнає простий гармонічний рух для малих коливань близько мінімуму\(x_{0}\).
Почнемо з розширення функції потенційної енергії близько мінімальної точки за допомогою формули Тейлора.
\[U(x)=U\left(x_{0}\right)+\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2 !} \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left.\frac{1}{3 !} \frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{3}+\cdots \nonumber \]
де\(\left.\frac{1}{3 !} \frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{3}\) - термін третього порядку в тому, що він пропорційний\(\left(x-x_{0}\right)^{3}\), і\(\left.\frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}},\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}, \quad \text { and }\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}\) є константами. Якщо\(x_{0}\) мінімум потенційної енергії, то лінійний член дорівнює нулю, тому що
\[\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}=0 \nonumber \]
і тому Рівняння ((23.7.7)) стає
\[U(x) \simeq U\left(x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2} \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left.\frac{1}{3 !} \frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{3}+\cdots \nonumber \]
Для невеликих переміщень від точки рівноваги, таких, що\(\left|x-x_{0}\right|\) є досить малим, термін третього порядку та умови вищого порядку дуже малі і їх можна ігнорувати. Тоді потенційна енергетична функція приблизно є квадратичною функцією,
\[U(x) \simeq U\left(x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2} \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}=U\left(x_{0}\right)+\frac{1}{2} k_{e f f}\left(x-x_{0}\right)^{2} \nonumber \]
де ми визначаємо\(k_{eff}\), ефективну постійну пружини, по
\[\left.k_{e f f} \equiv \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}} \nonumber \]
Оскільки потенційна енергетична функція тепер наближена квадратичною функцією, система зазнає простого гармонічного руху при малих зміщеннях від мінімуму з силою, заданою
\[F_{x}=-\frac{d U}{d x}=-k_{e f f}\left(x-x_{0}\right) \nonumber \]
В\(x=x_{0}\), сила дорівнює нулю
\[F_{x}\left(x_{0}\right)=\frac{d U}{d x}\left(x_{0}\right)=0 \nonumber \]
Визначити період коливань можна шляхом підстановки рівняння (23.7.12) на Другий закон Ньютона
\[-k_{eff}\left(x-x_{0}\right)=m_{eff} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \nonumber \]
де\(m_{eff}\) ефективна маса. Для двочастинкової системи ефективною масою є зменшена маса системи.
\[m_{eff}=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \equiv \mu_{red} \nonumber \]
Рівняння (23.7.14) має ту ж форму, що і ідеальний осцилятор пружинного об'єкта. Тому кутова частота малих коливань задається
\[\omega_{0}=\sqrt{\frac{k_{e f f}}{m_{e f f}}}=\sqrt{(\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}})/{m_{e f f}}} \nonumber \]
Приклад 23.6: Квартичний потенціал
Система з ефективною масою m має потенційну енергію, задану
\[U(x)=U_{0}\left(-2\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{4}\right) \nonumber \]
де\(U_{0}\) і\(x_{0}\) - позитивні константи і\(U(0)=0\) (а) знайти точки, де сила на частку дорівнює нулю. Віднесіть ці точки як стабільні або нестабільні. Обчисліть значення\(U(x) / U_{0}\) в цих точках рівноваги. (b) Якщо частинці дано невелике зміщення від точки рівноваги, знайдіть кутову частоту малих коливань.
Рішення: (а) Ділянка\(U(x) / U_{0}\) як функція\(x / x_{0}\) показана на малюнку 23.23.
Сила на частинці дорівнює нулю при мінімумі потенційної енергії,
\ [\ begin {масив} {l}
0=\ frac {d U} {d x} =U_ {0}\ лівий (-4\ лівий (\ frac {1} {x_ {0}}}\ праворуч) ^ {2} x+4\ ліворуч (\ frac {1} {x_ {0}}\ праворуч) ^ {4} x^ {3}\ праворуч)\\\\
U-4 _ {0} x\ ліворуч (\ frac {1} {x_ {0}}\ праворуч) ^ {2}\ ліворуч (1-\ ліворуч (\ frac {x} {x} {0}}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч)\ Стрілка вправо x {2} =x_ {0} ^ {2}\ текст {і} x = 0
\ end {масив}\ nonumber\]
Точки рівноваги в\(x=\pm x_{0}\) яких є стабільними і x = 0, що є нестабільним. Друга похідна потенційної енергії задається
\[\frac{d^{2} U}{d x^{2}}=U_{0}\left(-4\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{2}+12\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{4} x^{2}\right) \nonumber \]
Якщо частинці дано невелике зсув від\(x=x_{0}\) тоді
\[\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}=U_{0}\left(-4\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{2}+12\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{4} x_{0}^{2}\right)=U_{0} \frac{8}{x_{0}^{2}} \nonumber \]
(b) Кутова частота малих коливань задається
\[\omega_{0}=\sqrt{\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}} / m}=\sqrt{\frac{8 U_{0}}{m x_{0}^{2}}} \nonumber \]
Приклад 23.7: Потенціал Леннарда-Джонса 6-12
Загальноприйнятою функцією потенційної енергії для опису взаємодії між двома атомами є потенціал Леннарда-Джонса 6-12
\[U(r)=U_{0}\left[\left(r_{0} / r\right)^{12}-2\left(r_{0} / r\right)^{6}\right] ; r>0 \nonumber \]
де r - відстань між атомами. Знайти кутову частоту малих коливань щодо стійкого положення рівноваги для двох однакових атомів, пов'язаних між собою взаємодією ЛеннарДжонеса. Нехай m позначає ефективну масу системи з двох атомів.
Рішення: Точки рівноваги знаходять шляхом встановлення першої похідної потенційної енергії, рівної нулю,
\[0=\frac{d U}{d r}=U_{0}\left[-12 r_{0}^{12} r^{-13}+12 r_{0}^{6} r^{-7}\right]=U_{0} 12 r_{0}^{6} r^{-7}\left[-\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{6}+1\right] \nonumber \]
Точка рівноваги виникає\(r=r_{0}\), коли друга похідна функції потенційної енергії дорівнює
\[\frac{d^{2} U}{d r^{2}}=U_{0}\left[+(12)(13) r_{0}^{12} r^{-14}-(12)(7) r_{0}^{6} r^{-8}\right] \nonumber \]
Оцінюючи це при\(r=r_{0}\) врожайності
\[\left.\frac{d^{2} U}{d r^{2}}\right|_{r=r_{0}}=72 U_{0} r_{0}^{-2} \nonumber \]
Таким чином, кутова частота малих коливань
\[\omega_{0}=\sqrt{\left.\frac{d^{2} U}{d r^{2}}\right|_{r=r_{0}} / m} \nonumber \]
\[=\sqrt{72 U_{0} / m r_{0}^{2}} \nonumber \]