23.7: Малі коливання

Будь-який об'єкт, що рухається під дією сили, пов'язаної з потенційною енергетичною функцією, яка є квадратичною, зазнає простого гармонійного руху,

$$U(x)=U_{0}+\frac{1}{2} k\left(x-x_{e q}\right)^{2} \nonumber$$

де k - «постійна пружини»,$x_{e q}$ - положення рівноваги, а константа$U_{0}$ якраз залежить від вибору точки відліку$x_{r e f}$ для нульової потенційної енергії$U\left(x_{r e f}\right)=0$,

$$0=U\left(x_{r e f}\right)=U_{0}+\frac{1}{2} k\left(x_{r e f}-x_{e q}\right)^{2} \nonumber$$

Тому константа є

$$U_{0}=-\frac{1}{2} k\left(x_{r e f}-x_{e q}\right)^{2} \nonumber$$

Мінімум потенціалу$x_{0}$ відповідає точка, де х -складова сили дорівнює нулю,

$$\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}=2 k\left(x_{0}-x_{e q}\right)=0 \Rightarrow x_{0}=x_{e q} \nonumber$$

що відповідає положенню рівноваги. Тому$U\left(x_{0}\right)=U_{0}$ константа є, і ми переписуємо нашу потенційну функцію як

$$U(x)=U\left(x_{0}\right)+\frac{1}{2} k\left(x-x_{0}\right)^{2} \nonumber$$

Тепер припустимо, що потенційна енергетична функція не квадратична, але все ж має мінімум при$x_{0}$. Наприклад, розглянемо потенційну енергетичну функцію

$$U(x)=-U_{1}\left(\left(\frac{x}{x_{1}}\right)^{3}-\left(\frac{x}{x_{1}}\right)^{2}\right) \nonumber$$

(Малюнок 23.22), який має стабільний мінімум при$x_{0}$,

Малюнок 23.22 Функція потенційної енергії зі стабільними мінімумами та нестабільними максимумами

Коли енергія системи дуже близька до значення потенційної енергії на мінімумі$U\left(x_{0}\right)$, покажемо, що система зазнає невеликих коливань приблизно мінімального значення$x_{0}$. Ми будемо використовувати формулу Тейлора для наближення потенційної функції як полінома. Ми покажемо, що поблизу мінімуму$x_{0}$ ми можемо наблизити потенційну функцію квадратичною функцією, подібною до Рівняння (23.7.5), і показати, що система зазнає простий гармонічний рух для малих коливань близько мінімуму$x_{0}$.

Почнемо з розширення функції потенційної енергії близько мінімальної точки за допомогою формули Тейлора.

$$U(x)=U\left(x_{0}\right)+\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2 !} \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left.\frac{1}{3 !} \frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{3}+\cdots \nonumber$$

де$\left.\frac{1}{3 !} \frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{3}$ - термін третього порядку в тому, що він пропорційний$\left(x-x_{0}\right)^{3}$, і$\left.\frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}},\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}, \quad \text { and }\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}$ є константами. Якщо$x_{0}$ мінімум потенційної енергії, то лінійний член дорівнює нулю, тому що

$$\left.\frac{d U}{d x}\right|_{x=x_{0}}=0 \nonumber$$

і тому Рівняння ((23.7.7)) стає

$$U(x) \simeq U\left(x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2} \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left.\frac{1}{3 !} \frac{d^{3} U}{d x^{3}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{3}+\cdots \nonumber$$

Для невеликих переміщень від точки рівноваги, таких, що$\left|x-x_{0}\right|$ є досить малим, термін третього порядку та умови вищого порядку дуже малі і їх можна ігнорувати. Тоді потенційна енергетична функція приблизно є квадратичною функцією,

$$U(x) \simeq U\left(x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2} \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}=U\left(x_{0}\right)+\frac{1}{2} k_{e f f}\left(x-x_{0}\right)^{2} \nonumber$$

де ми визначаємо$k_{eff}$, ефективну постійну пружини, по

$$\left.k_{e f f} \equiv \frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}} \nonumber$$

Оскільки потенційна енергетична функція тепер наближена квадратичною функцією, система зазнає простого гармонічного руху при малих зміщеннях від мінімуму з силою, заданою

$$F_{x}=-\frac{d U}{d x}=-k_{e f f}\left(x-x_{0}\right) \nonumber$$

В$x=x_{0}$, сила дорівнює нулю

$$F_{x}\left(x_{0}\right)=\frac{d U}{d x}\left(x_{0}\right)=0 \nonumber$$

Визначити період коливань можна шляхом підстановки рівняння (23.7.12) на Другий закон Ньютона

$$-k_{eff}\left(x-x_{0}\right)=m_{eff} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \nonumber$$

де$m_{eff}$ ефективна маса. Для двочастинкової системи ефективною масою є зменшена маса системи.

$$m_{eff}=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \equiv \mu_{red} \nonumber$$

Рівняння (23.7.14) має ту ж форму, що і ідеальний осцилятор пружинного об'єкта. Тому кутова частота малих коливань задається

$$\omega_{0}=\sqrt{\frac{k_{e f f}}{m_{e f f}}}=\sqrt{(\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}})/{m_{e f f}}} \nonumber$$

Приклад 23.6: Квартичний потенціал

Система з ефективною масою m має потенційну енергію, задану

$$U(x)=U_{0}\left(-2\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{4}\right) \nonumber$$

де$U_{0}$ і$x_{0}$ - позитивні константи і$U(0)=0$ (а) знайти точки, де сила на частку дорівнює нулю. Віднесіть ці точки як стабільні або нестабільні. Обчисліть значення$U(x) / U_{0}$ в цих точках рівноваги. (b) Якщо частинці дано невелике зміщення від точки рівноваги, знайдіть кутову частоту малих коливань.

Рішення: (а) Ділянка$U(x) / U_{0}$ як функція$x / x_{0}$ показана на малюнку 23.23.

Малюнок 22.23 Ділянка$U(x) / U_{0}$ як функція$x / x_{0}$

Сила на частинці дорівнює нулю при мінімумі потенційної енергії,

\ [\ begin {масив} {l}
0=\ frac {d U} {d x} =U_ {0}\ лівий (-4\ лівий (\ frac {1} {x_ {0}}}\ праворуч) ^ {2} x+4\ ліворуч (\ frac {1} {x_ {0}}\ праворуч) ^ {4} x^ {3}\ праворуч)\\\\
U-4 _ {0} x\ ліворуч (\ frac {1} {x_ {0}}\ праворуч) ^ {2}\ ліворуч (1-\ ліворуч (\ frac {x} {x} {0}}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч)\ Стрілка вправо x {2} =x_ {0} ^ {2}\ текст {і} x = 0
\ end {масив}\ nonumber\]

Точки рівноваги в$x=\pm x_{0}$ яких є стабільними і x = 0, що є нестабільним. Друга похідна потенційної енергії задається

$$\frac{d^{2} U}{d x^{2}}=U_{0}\left(-4\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{2}+12\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{4} x^{2}\right) \nonumber$$

Якщо частинці дано невелике зсув від$x=x_{0}$ тоді

$$\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}=U_{0}\left(-4\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{2}+12\left(\frac{1}{x_{0}}\right)^{4} x_{0}^{2}\right)=U_{0} \frac{8}{x_{0}^{2}} \nonumber$$

(b) Кутова частота малих коливань задається

$$\omega_{0}=\sqrt{\left.\frac{d^{2} U}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}} / m}=\sqrt{\frac{8 U_{0}}{m x_{0}^{2}}} \nonumber$$

Приклад 23.7: Потенціал Леннарда-Джонса 6-12

Загальноприйнятою функцією потенційної енергії для опису взаємодії між двома атомами є потенціал Леннарда-Джонса 6-12

$$U(r)=U_{0}\left[\left(r_{0} / r\right)^{12}-2\left(r_{0} / r\right)^{6}\right] ; r>0 \nonumber$$

де r - відстань між атомами. Знайти кутову частоту малих коливань щодо стійкого положення рівноваги для двох однакових атомів, пов'язаних між собою взаємодією ЛеннарДжонеса. Нехай m позначає ефективну масу системи з двох атомів.

Рішення: Точки рівноваги знаходять шляхом встановлення першої похідної потенційної енергії, рівної нулю,

$$0=\frac{d U}{d r}=U_{0}\left[-12 r_{0}^{12} r^{-13}+12 r_{0}^{6} r^{-7}\right]=U_{0} 12 r_{0}^{6} r^{-7}\left[-\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{6}+1\right] \nonumber$$

Точка рівноваги виникає$r=r_{0}$, коли друга похідна функції потенційної енергії дорівнює

$$\frac{d^{2} U}{d r^{2}}=U_{0}\left[+(12)(13) r_{0}^{12} r^{-14}-(12)(7) r_{0}^{6} r^{-8}\right] \nonumber$$

Оцінюючи це при$r=r_{0}$ врожайності

$$\left.\frac{d^{2} U}{d r^{2}}\right|_{r=r_{0}}=72 U_{0} r_{0}^{-2} \nonumber$$

Таким чином, кутова частота малих коливань

$$\omega_{0}=\sqrt{\left.\frac{d^{2} U}{d r^{2}}\right|_{r=r_{0}} / m} \nonumber$$

$$=\sqrt{72 U_{0} / m r_{0}^{2}} \nonumber$$