23.4: Опрацьовані приклади
- Page ID
- 75167
Приклад 23.3: Прокатка без ковзання коливального циліндра
Прикріпіть суцільний циліндр масою М і радіусом R до горизонтальної безмасової пружини з постійною пружини k, щоб він міг котитися, не ковзаючи по горизонтальній поверхні. У момент t центр маси циліндра рухається зі швидкістю\(V_{c m}\) і пружина стискається vθ ,1 = ± 2gl (1− cosθ 0). відстань x від його рівноважної довжини. Який період простого гармонійного руху для центру мас циліндра?
Рішення: Під час t енергія прокатного циліндра та пружинної системи становить
\[E=\frac{1}{2} M v_{c m}^{2}+\frac{1}{2} I_{c m}\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}+\frac{1}{2} k x^{2} \nonumber \]
де x - величина, яку пружина стисла\(I_{c m}=(1 / 2) M R^{2}\), і тому що вона котиться без ковзання
\[\frac{d \theta}{d t}=\frac{V_{c m}}{R} \nonumber \]
Тому енергія є
\[E=\frac{1}{2} M V_{c m}^{2}+\frac{1}{4} M R^{2}\left(\frac{V_{c m}}{R}\right)^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}=\frac{3}{4} M V_{c m}^{2}+\frac{1}{2} k x^{2} \nonumber \]
Енергія постійна (ніяка неконсервативна сила не робить роботу над системою) тому
\[0=\frac{d E}{d t}=\frac{3}{4} 2 M V_{c m} \frac{d V_{c m}}{d t}+\frac{1}{2} k 2 x \frac{d x}{d t}=V_{c m}\left(\frac{3}{2} M \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k x\right) \nonumber \]
Оскільки\(V_{c m}\) більшу частину часу ненульовий, зміщення пружини задовольняє просте рівняння гармонічного осцилятора
\[\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{2 k}{3 M} x=0 \nonumber \]
Звідси період
\[T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}}=2 \pi \sqrt{\frac{3 M}{2 k}} \nonumber \]
Приклад 23.4: U-трубка
U-трубка, відкрита з обох кінців, заповнена нестисливою рідиною щільності\(\rho\). Площа поперечного перерізу А трубки рівномірна, а загальна довжина рідини в трубці дорівнює L. Поршень використовується для натискання висоти стовпа рідини з одного боку на відстань\(x_{0}\) (підняття іншої сторони на таку ж відстань), а потім швидко знімається (рис. 23.10). Яка кутова частота послідовного простого гармонійного руху? Нехтують будь-якими резистивними силами і біля стінок U-трубки.
Рішення: Ми будемо використовувати збереження енергії. Спочатку вибирайте як нуль для гравітаційної потенційної енергії в конфігурації, де рівні води рівні по обидва боки трубки. Коли поршень з одного боку пригнічує рідину, вона піднімається з іншого. У даний момент часу, коли частина рідини маси\(\Delta m=\rho A x\) знаходиться на висоті х вище рівноважної висоти (рис. 23.11), потенційна енергія рідини задається
\[U=\Delta m g x=(\rho A x) g x=\rho \operatorname{Ag} x^{2} \nonumber \]
У той же момент вся рідина довжини L і маси\(m=\rho A L\) рухається зі швидкістю v, тому кінетична енергія
\[K=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} \rho A L v^{2} \nonumber \]
Таким чином, загальна енергія
\[E=K+U=\frac{1}{2} \rho A L v^{2}+\rho A g x^{2} \nonumber \]
Нехтуючи резистивною силою, механічна енергія рідини постійна. Тому
\[0=\frac{d E}{d t}=\rho A L v \frac{d v}{d t}+2 \rho \operatorname{Ag} x \frac{d x}{d t} \nonumber \]
Якщо ми просто розглянемо верхню частину рідини над положенням рівноваги на правій руці на малюнку 23.13, ми перепишемо Рівняння (23.4.10) як
\[0=\frac{d E}{d t}=\rho A L v_{x} \frac{d v_{x}}{d t}+2 \rho A g x \frac{d x}{d t} \nonumber \]
де\(v_{x}=d x / d t\). Тепер ми перепишемо енергетичний стан\(d v_{x} / d t=d^{2} x / d t^{2}\), використовуючи як
\[0=v_{x} \rho A\left(L \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+2 g x\right) \nonumber \]
Ця умова виконується, коли\(v_{x}=0\) тобто умова рівноваги або коли
\[0=L \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+2 g x \nonumber \]
Ця остання умова може бути записана як
\[\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{2 g}{L} x \nonumber \]
Це останнє рівняння є простим рівнянням гармонічного осцилятора. Використовуючи ті ж математичні прийоми, які ми використовували для системи пружинних блоків, рішення висоти рідини над положенням рівноваги задається
\[x(t)=B \cos \left(\omega_{0} t\right)+C \sin \left(\omega_{0} t\right) \nonumber \]
де
\[\omega_{0}=\sqrt{\frac{2 g}{L}} \nonumber \]
- кутова частота коливань. Х -складова швидкості рідини з правого боку U-трубки задається
\[v_{x}(t)=\frac{d x(t)}{d t}=-\omega_{0} B \sin \left(\omega_{0} t\right)+\omega_{0} C \cos \left(\omega_{0} t\right) \nonumber \]
Коефіцієнти В і С визначаються початковими умовами. \(t=0\)На висоті знаходиться рідина\(x(t=0)=B=x_{0}\). При\(t=0\), швидкість дорівнює нулю так\(v_{x}(t=0)=\omega_{0} C=0\), отже\(C=0\). Таким чином, висота рідини над положенням рівноваги на правій стороні U-трубки як функція часу
\[x(t)=x_{0} \cos (\sqrt{\frac{2 g}{L}} t) \nonumber \]