19.6: Кутовий момент системи частинок
Тепер обчислюємо момент моменту навколо точки,S пов'язаної з системою N точкових частинок. Позначте кожну окрему частинку індексомj,j=1,2,⋯,N. Нехайjth частинка має масуmj і швидкість→V. Імпульс окремої частинки тоді→pj=mj→vj. →rS,jДозволяти вектор від точкиS доjth частинки, іθj нехай кут між векторами→rS,j і→pj (рис. 19.10).

Кутовий→LS,j імпульсjth частинки дорівнює
→LS,j=→rS,j×→pj
Кутовий момент для системи частинок - векторна сума окремих кутових моментів,
→LsysS=i=N∑j=1→LS,j=i=N∑j=1→rS,j×→pj
Зміна кутового моменту системи частинок близько точкиS задається
d→LsysSdt=ddtj=N∑j=1→LS,j=j=N∑j=1(d→rS,jdt×→pj+→rS,j×d→pjdt)
Оскільки швидкістьjth частинки є→vS,j=drS,j/dt, перший член в дужках зникає (перехресний добуток вектора з самим собою дорівнює нулю, оскільки вони паралельні один одному)
d→rS,jdt×→pj=→vS,j×mj→vS,j=0
Рівняння заміни (19.5.4) і→Fj=d→pj/dt в рівняння (19.5.3), що дає
d→LsysSdt=i=N∑j=1(→rS,j×d→pjdt)=i=N∑j=1(→rS,j×→Fj)
Тому що
j=N∑j=1(→rS,j×→Fj)=j=N∑j=1→τS,j=→τextS+→τintS
Ми вже показали в главі 17.4, що коли ми припускаємо, що всі внутрішні сили спрямовані τ уздовж лінії, що з'єднує два взаємодіючих об'єкта, то внутрішній крутний момент навколо точкиS дорівнює нулю,
→τintS=→0
Рівняння (19.5.6) спрощує
i=N∑j=1(→rS,j×→Fj)=j=N∑j=1→τS,j=→τextS
Тому рівняння (19.5.5) стає
→τextS=d→LsysSdt
Зовнішній крутний моментS навколо точки дорівнює тимчасовій похідній моменту моменту системи про цю точку.
Приклад19.6.1: Angular Momentum of Two Particles undergoing Circular Motion
Дві однакові частинки масою m рухаються по колу радіусом R→ω=ωzˆk,ωz>0, з кутовою швидкістю,ω навколо осі z в площині, паралельній відстані h над площиною x-y. Частинки розташовуються з протилежних сторін кола (рис. 19.11). Знайдіть величину і напрямок кутового моменту про точкуS (початок).

Рішення
Кутовий момент про походження - це сума внесків від кожного об'єкта. Розрахунок кожного внеску буде ідентичним розрахунку в прикладі 19.3


Для частинки 1 (рис. 19.12) кутовий момент моменту навколо точкиS дорівнює
→LS,1=→rS,1×→p1=(Rˆr1+hˆk)×mRωzˆθ1=mR2ωzˆk−hmRωzˆr1
Для частинки 2 (рис. 19.13) кутовий момент моменту навколо точкиS дорівнює
→LS,2=→rS,2×→p2=(Rˆr2+hˆk)×mRωzˆθ2=mR2ωzˆk−hmRωzˆr2
Тому що частинки розташовані по протилежних сторонам кола,ˆr1=−ˆr2. Векторна сума лише вказує вздовж осі z і дорівнює
→Ls=→LS,1+→LS,2=2mR2ωzˆk
Два вектори кутового моменту показані на малюнку 19.14.

Момент інерції двох частинок навколо осі z задаєтьсяIS=2mR2. Тому→LS=IS→ω. Важливим моментом цього прикладу є те, що два об'єкти симетрично розподілені по відношенню до осі z (протилежні сторони кругової орбіти). Тому кутовий момент навколо будь-якої точкиS вздовж осі z має однакове значення,→Ls=2mr2ωˆk яке є постійним за величиною і вказує в + z -напрямку. Цей результат узагальнюється до будь-якого жорсткого тіла, в якому маса розподілена симетрично щодо осі обертання.
Приклад19.6.2: Angular Momentum of a System of Particles about Different Points
Розглянемо систему з N частинок, а також дві точки А і В (рис. 19.15). Кутовий імпульсjih частинки близько точки А задається
→LA,j=→rA,j×mj→vj

Кутовий момент системи частинок про точку А задається сумою
→LA=N∑j=1→LA,j=N∑j=1→rA,j×mj→vj
Кутовий момент навколо точки В може бути розрахований аналогічним чином і задається
→LB=N∑j=1→LB,j=N∑j=1→rB,j×mj→vj
З малюнка 19.15 вектори
→rA,j=→rB,j+→rA,B
Ми можемо замінити рівняння (19.5.14) на рівняння (19.5.12), що дає
→LA=N∑j=1(→rB,j+→rA,B)×mj→vj=N∑j=1→rB,j×mj→vj+N∑j=1→rA,B×mj→vj
Перший член у Рівнянні (19.5.15) - це кутовий момент навколо точки B. Вектор→rA,B є константою і тому може бути витягнутий з суми у другому семестрі, а Рівняння (19.5. 15) стає
→LA=→LB+→rA,B×N∑j=1mj→vj
Сума в другому семестрі - імпульс системи
→psys=N∑j=1mj→vj
Тому кутовий імпульс про точки А і В пов'язані між собою
→LA=→LB+→rA,B×→psys
Таким чином, якщо імпульс системи дорівнює нулю, кутовий момент однаковий щодо будь-якої точки.
→LA=→LB,(→psys=→0)
Зокрема, імпульс системи частинок дорівнює нулю за визначенням у центрі системи відліку мас, оскільки в цій системі відліку→psys=→0. Звідси кутовий імпульс однаковий щодо будь-якої точки в центрі системи відліку маси.