Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

19.6: Кутовий момент системи частинок

Тепер обчислюємо момент моменту навколо точки,S пов'язаної з системою N точкових частинок. Позначте кожну окрему частинку індексомj,j=1,2,,N. Нехайjth частинка має масуmj і швидкістьV. Імпульс окремої частинки тодіpj=mjvj. rS,jДозволяти вектор від точкиS доjth частинки, іθj нехай кут між векторамиrS,j іpj (рис. 19.10).

clipboard_e1bc0b6f2dfabbd82442b3c24f5618126.png
Малюнок19.6.1: Система частинок

КутовийLS,j імпульсjth  частинки дорівнює

LS,j=rS,j×pj

Кутовий момент для системи частинок - векторна сума окремих кутових моментів,

LsysS=i=Nj=1LS,j=i=Nj=1rS,j×pj

Зміна кутового моменту системи частинок близько точкиS задається

dLsysSdt=ddtj=Nj=1LS,j=j=Nj=1(drS,jdt×pj+rS,j×dpjdt)

Оскільки швидкістьjth  частинки єvS,j=drS,j/dt, перший член в дужках зникає (перехресний добуток вектора з самим собою дорівнює нулю, оскільки вони паралельні один одному)

drS,jdt×pj=vS,j×mjvS,j=0

Рівняння заміни (19.5.4) іFj=dpj/dt в рівняння (19.5.3), що дає

dLsysSdt=i=Nj=1(rS,j×dpjdt)=i=Nj=1(rS,j×Fj)

Тому що

j=Nj=1(rS,j×Fj)=j=Nj=1τS,j=τextS+τintS

Ми вже показали в главі 17.4, що коли ми припускаємо, що всі внутрішні сили спрямовані τ уздовж лінії, що з'єднує два взаємодіючих об'єкта, то внутрішній крутний момент навколо точкиS дорівнює нулю,

τintS=0

Рівняння (19.5.6) спрощує

i=Nj=1(rS,j×Fj)=j=Nj=1τS,j=τextS

Тому рівняння (19.5.5) стає

τextS=dLsysSdt

Зовнішній крутний моментS навколо точки дорівнює тимчасовій похідній моменту моменту системи про цю точку.

Приклад19.6.1: Angular Momentum of Two Particles undergoing Circular Motion

Дві однакові частинки масою m рухаються по колу радіусом Rω=ωzˆk,ωz>0, з кутовою швидкістю,ω навколо осі z в площині, паралельній відстані h над площиною x-y. Частинки розташовуються з протилежних сторін кола (рис. 19.11). Знайдіть величину і напрямок кутового моменту про точкуS (початок).

clipboard_e503fc1980129dbc6d2896a437da47b33.png
Малюнок 19.11 Приклад 19.5

Рішення

Кутовий момент про походження - це сума внесків від кожного об'єкта. Розрахунок кожного внеску буде ідентичним розрахунку в прикладі 19.3

clipboard_e61125a24ac4487951b50d8306f9c9f98.png
Малюнок 19.12 Кутовий момент частинки 1 про походження
clipboard_ebd22b8e3e88791c1697055912d785198.png
Малюнок 19.13 Кутовий момент частинки 2 про походження

Для частинки 1 (рис. 19.12) кутовий момент моменту навколо точкиS дорівнює

LS,1=rS,1×p1=(Rˆr1+hˆk)×mRωzˆθ1=mR2ωzˆkhmRωzˆr1

Для частинки 2 (рис. 19.13) кутовий момент моменту навколо точкиS дорівнює

LS,2=rS,2×p2=(Rˆr2+hˆk)×mRωzˆθ2=mR2ωzˆkhmRωzˆr2

Тому що частинки розташовані по протилежних сторонам кола,ˆr1=ˆr2. Векторна сума лише вказує вздовж осі z і дорівнює

Ls=LS,1+LS,2=2mR2ωzˆk

Два вектори кутового моменту показані на малюнку 19.14.

clipboard_e7413677326612ac2e4c96f876a9f1f3e.png
Малюнок 19.14 Кутовий момент моментуS про точку обох частинок і їх сума

Момент інерції двох частинок навколо осі z задаєтьсяIS=2mR2. ТомуLS=ISω. Важливим моментом цього прикладу є те, що два об'єкти симетрично розподілені по відношенню до осі z (протилежні сторони кругової орбіти). Тому кутовий момент навколо будь-якої точкиS вздовж осі z має однакове значення,Ls=2mr2ωˆk яке є постійним за величиною і вказує в + z -напрямку. Цей результат узагальнюється до будь-якого жорсткого тіла, в якому маса розподілена симетрично щодо осі обертання.

Приклад19.6.2: Angular Momentum of a System of Particles about Different Points

Розглянемо систему з N частинок, а також дві точки А і В (рис. 19.15). Кутовий імпульсjih частинки близько точки А задається

LA,j=rA,j×mjvj

clipboard_e68449323c3e0f82f6cba9b68e9ec516f.png
Малюнок 19.15 Векторний трикутник, що пов'язує положення об'єкта і точок A і B

Кутовий момент системи частинок про точку А задається сумою

LA=Nj=1LA,j=Nj=1rA,j×mjvj

Кутовий момент навколо точки В може бути розрахований аналогічним чином і задається

LB=Nj=1LB,j=Nj=1rB,j×mjvj

З малюнка 19.15 вектори

rA,j=rB,j+rA,B

Ми можемо замінити рівняння (19.5.14) на рівняння (19.5.12), що дає

LA=Nj=1(rB,j+rA,B)×mjvj=Nj=1rB,j×mjvj+Nj=1rA,B×mjvj

Перший член у Рівнянні (19.5.15) - це кутовий момент навколо точки B. ВекторrA,B є константою і тому може бути витягнутий з суми у другому семестрі, а Рівняння (19.5. 15) стає

LA=LB+rA,B×Nj=1mjvj

Сума в другому семестрі - імпульс системи

psys=Nj=1mjvj

Тому кутовий імпульс про точки А і В пов'язані між собою

LA=LB+rA,B×psys

Таким чином, якщо імпульс системи дорівнює нулю, кутовий момент однаковий щодо будь-якої точки.

LA=LB,(psys=0)

Зокрема, імпульс системи частинок дорівнює нулю за визначенням у центрі системи відліку мас, оскільки в цій системі відлікуpsys=0. Звідси кутовий імпульс однаковий щодо будь-якої точки в центрі системи відліку маси.