19.8: Принцип збереження кутового моменту

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розглянемо систему частинок. Почнемо з результату, який ми вивели в розділі 19.7, що крутний момент близько точки $S$ дорівнює часовій похідній від моменту моменту моменту про цю точку S,

\ почати {рівняння}\ vec {\ тау} _ {S} ^ {\ mathrm {ext}} =\ frac {d\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {S} ^ {\ mathrm {sys}}} {d t}\ кінець {рівняння}

При такому припущенні крутний момент, обумовлений зовнішніми силами, дорівнює швидкості зміни кутового моменту.

\ begin {рівняння}\ vec {\ tau} _ {S} ^ {\ mathrm {ext}} =\ frac {d\ overrightarrow {\ mathrm {L}} _ {S} ^ {\ mathrm {sys}}} {d t}\ кінець {рівняння}

Принцип збереження кутового моменту

Якщо зовнішній крутний момент, що діє на систему, дорівнює нулю, то кутовий момент системи постійний. Так що при будь-якій зміні стану системи зміна кутового моменту дорівнює нулю.

\ begin {рівняння}\ Дельта\ переправа стрілка {\ mathbf {L}} _ {S} ^ {\ mathrm {sys}}\ equiv\ ліворуч (\ mathbf {L}} _ {S} ^ {\ mathrm {sys}}\ праворуч) _ {f} -\ ліворуч (\ overrightarrow {\ mathbr {\ mathbrow {\ mathbr f {L}} _ {S} ^ {\ mathrm {sys}}\ праворуч) _ {i} =\ overrightarrow {\ mathbf {0}}\ кінець {рівняння}

Рівнозначно кутовий імпульс постійний.

\ почати {рівняння}\ ліворуч (\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {S} ^ {\ mathrm {sys}}\ праворуч) _ {f} =\ ліворуч (\ переправа стрілка {\ mathbf {L}} _ {S} ^ {\ mathrm {sys}}\ праворуч) _ {i}\ кінець {рівняння}

Поки що не було виявлено жодної ізольованої системи, що кутовий імпульс не є постійним, тому наше припущення, що внутрішні крутні моменти скасовують пари, можна сприймати як експериментальне спостереження.

Приклад $\PageIndex{1}$ : Collision Between Pivoted Rod and Object

Точковий об'єкт маси, що $m_{1}$ рухається з постійною швидкістю, $v_{i}$ вражає жорсткий рівномірний стрижень довжиною l і масою $m_{2}$ , який звисає безфрикційним шарніром зі стелі. Відразу після удару по штоку об'єкт продовжує рух вперед, але швидкість його зменшується до $v_{i} / 2$ (рис. 19.19). Момент інерції стрижня про його центр мас дорівнює

$I_{c m}=(1 / 12) m_{2} l^{2} \nonumber$

Гравітація діє з прискоренням g вниз.

(а) Для якого значення стрижень $v_{i}$ буде просто торкатися стелі на його першому гойдалку?
(б) Для якого співвідношення зіткнення $m_{2} / m_{1}$ буде еластичним?

Рішення

Починаємо з ідентифікації нашої системи, яка складається з об'єкта і рівномірного стрижня. Виділяємо три стани; початковий стан i: безпосередньо перед зіткненням стан a: відразу після зіткнення, і стан f: момент дотику стрижня до стелі, коли кінцева кутова швидкість дорівнює нулю. Ми хотіли б знати, чи є будь-яка з наших фундаментальних величин: імпульс, енергія та момент імпульсу постійними під час цих змін стану, стан i до стану a, стан a до стану f.

Малюнок 19.20 Діаграми сили вільного тіла на частинці та стрижні

Почнемо з переходу від стану i до стану a. Сила повороту, що утримує стрижень до стелі, - це зовнішня сила, що діє в точці повороту $S$ . Існує також гравітаційна сила, що діє в центрі мас стрижня і на предмет. Існують також внутрішні сили внаслідок зіткнення стрижня і об'єкта в точці А (рис. 19.20).

Зовнішня сила означає, що імпульс не є постійним. Точка дії зовнішньої сили повороту фіксована і тому не працює. Однак ми не знаємо, чи є зіткнення еластичним, і тому ми не можемо припустити, що механічна енергія постійна. Виберіть точку повороту в $S$ якості точки, про яку слід розрахувати крутний момент, тоді діаграми крутного моменту наведені на малюнку 19.21.

Малюнок 19.21 Діаграми крутного моменту на частинці та стрижні з крутним моментом, розрахованим щодо точки повороту S

Крутний момент на системі про $S$ шкворню - це сума термінів

\ почати {рівняння}\ vec {\ тау} _ {S} ^ {\ mathrm {sys}} =\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {S, S}\ раз\ переправа {\ mathbf {F}} _ {\ текст {pivot}, 2} +\ переправа {\ mathbf {r} {_ S, A}\ times\ overrightarrow {\ mathbf {F}} _ {1,2} +\ переправа {\ mathbf {r}} _ {S, A}\ times\ overrightarrow {\ mathbf {F}} _ {2,1} +\ mathbf {r} _ {S, c m}\ раз m_ {2}\ переправа стрілка {\ mathbf {g}} +\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {S, A}\ times m_ {1}\ переправа стрілка {\ mathbf {g}}\ cdot (19.5 .37)\ кінець {рівняння}

Зовнішня сила повороту не сприяє жодному крутному моменту, тому що $\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, S}=\overrightarrow{\mathbf{0}}$ . Внутрішні сили між стрижнем і предметом рівні за величиною і протилежні в напрямку, $\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2}=-\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1}$ (Третій закон Ньютона), і тому їх внески в крутний момент додають до нуля. Якщо зіткнення миттєве, то гравітаційна сила паралельна $\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, c m} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, A}$ тому два гравітаційних моменту дорівнюють нулю. Тому крутний момент на системі про точку повороту дорівнює нулю, $\vec{\tau}_{S}^{\mathrm{sys}}=\overrightarrow{0}$ . Таким чином, кутовий імпульс навколо точки повороту постійний,

\ почати {рівняння}\ переправа стрілка {\ mathbf {L}} _ {S, i} ^ {\ mathrm {sys}} =\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {S, a} ^ {\ mathrm {sys}}\ кінець {рівняння}

Для того щоб розрахувати кутовий момент, намалюємо діаграму, що показує імпульс об'єкта і кутову швидкість стрижня в (рис. 19.22). Кутовий імпульс приблизно $S$ безпосередньо перед зіткненням

\ почати {рівняння}\ переправа стрілка {\ mathbf {L}} _ {S, i} ^ {\ mathrm {sys}} =\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {S, 1}\ times m_ {1}\ overrightarrow {\ mathbf {v}} _ {i} =л (-\ hat {\ mathbf {v}} _ {i} =л (-\ hat {\ mathbf thbf {j}})\ раз m_ {1} v\ hat {\ mathbf {i}} =\ ім'я оператора {lm} _ {1} v\ hat {\ mathbf {k}}\ end {рівняння}

Кутовий імпульс приблизно $S$ відразу після зіткнення

\ почати {рівняння}\ переправа стрілка {\ mathbf {L}} _ {S, a} ^ {\ mathrm {ys}} =\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {S, 1}\ times m_ {1}\ переправа {\ mathbf {v}} _ {i}/2+_ {S} переправа стрілка {\ напівжирний символ {\ омега}} _ {a} =л (-\ капелюх {\ mathbf {j}})\ раз м_ {1}\ ліворуч (v_ {i}/2\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +I_ {s}\ omega_ {a}\ hat {\ mathbf {k}} = лівий (л м_ {1} v_ {i}/2\ право)\ hat {\ mathbf {k}} +I_ {s}\ омега_ {a}\ hat {\ mathbf {k}}\ кінець {рівняння}

Тому умова, що момент імпульсу близько $S$ постійний під час зіткнення, стає.

\ begin {рівняння}\ ім'я оператора {lm} _ {1} v_ {i}\ hat {\ mathbf {k}} =\ лівий (\ ім'я оператора {lm} _ {1} v_ {i}/2+I_ {s}\ omega_ {a}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\ кінець {рівняння}

Ми можемо вирішити кутову швидкість відразу після зіткнення

\ begin {рівняння}\ омега_ {a} =\ frac {\ ім'я оператора {lm} _ {1} v_ {i}} {2 I_ {S}}\ end {рівняння}

\ begin {рівняння}\ омега_ {a} =\ frac {l m_ {1} v_ {i}} {2 I_ {S}}\ кінець {рівняння}

За теоремою паралельної осі момент інерції рівномірного стрижня навколо точки повороту дорівнює

\ почати {рівняння} I_ {S} =м_ {2} (л/2) ^ {2} +I_ {c м} = (1/4) m_ {2} l^ {2} + (1/12) m_ {2} l^ {2} = (1/3) m_ {2} l^ {2}\ кінець {рівняння}

Тому кутова швидкість відразу після зіткнення

\ begin {рівняння}\ омега_ {2} =\ frac {3 m_ {1} v_ {i}} {2 m_ {2} l}\ end {рівняння}

Малюнок 19.23 Енергетична діаграма для переходу від стану a до стану f.

Для переходу від стану a до стану f ми знаємо, що сила тяжіння консервативна, а сила повороту не працює, тому механічна енергія постійна.

\ begin {рівняння} E_ {a} ^ {m e c h} =E_ {f} ^ {m e c h}\ end {рівняння}

Намалюємо енергетичну діаграму тільки для стрижня, оскільки кінетична енергія для частинки не змінюється між станами a і f, (рис. 19.23), з вибором нуля для потенційної енергії в центрі мас. Механічна енергія стрижня і частинки відразу після зіткнення становить

\ begin {рівняння} E_ {a} ^ {m e c h} =\ frac {1} {2} I_ {S}\ омега_ {a} ^ {2} +\ frac {1} m_ {1}\ ліво (v_ {i}/2\ праворуч) ^ {2}\ кінець {рівняння}

Використовуючи наші результати для моменту інерції $I_{S}$ (Рівняння (19.5.39)) та $\omega_{2}$ (Рівняння (19.5.40)), ми маємо це

\ begin {рівняння} E_ {a} ^ {\ текст {мехе}} =\ фракція {1} {2} (1/3) m_ {2} l^ {2}\ ліворуч (\ frac {3 m_ {1} v_ {i}}} {2} l}\ праворуч) ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {1}\ ліворуч (v_ {i}/2\ праворуч) ^ {2} =\ розриву {3 м_ {1} ^ {2} v_ {i} ^ {2}} {8 m_ {2}} +\ frac {1} m_ {1}\ ліворуч (v_ {i}/2\ праворуч) ^ {2}\ кінець {рівняння}

Механічна енергія, коли стрижень тільки досягає стелі, коли кінцева кутова швидкість дорівнює нулю, тоді

\ begin {рівняння} E_ {f} ^ {m e c h} =m_ {2} g (л/2) +\ frac {1} {2} m_ {1}\ left (v_ {i}/2\ праворуч) ^ {2}\ end {рівняння}

Тоді умова, що механічна енергія постійна, стає

\ begin {рівняння}\ гідророзриву {3 м_ {1} ^ {2} v_ {i} ^ {2}} {8 м_ {2}} +\ гідророзриву {1} m_ {1}\ ліворуч (v_ {i}/2}} ^ {2} =m_ {2} g (l/2) +\ frac {1} {2} {2} m_ 1}\ ліворуч (v_ {i}/2\ праворуч) ^ {2}\ end {рівняння}

Тепер ми можемо вирішити рівняння (19.5.42) для початкової швидкості об'єкта

\ begin {рівняння} v_ {i} =\ frac {m_ {2}} {m_ {1}}\ sqrt {\ frac {4 г л} {3}}\ кінець {рівняння}

Тепер повернемося до переходу зі стану i в стан a. і визначимо обмеження на коефіцієнт маси для того, щоб зіткнення було пружним. Механічна енергія перед зіткненням

\ begin {рівняння} E_ {i} ^ {m e c h} =\ frac {1} {2} m_ {1} v_ {i} ^ {2}\ end {рівняння}

Якщо ми накладемо умову, що зіткнення еластичне, то

\ begin {рівняння} E_ {i} ^ {m e c h} =E_ {a} ^ {m e c h}\ end {рівняння}

Заміна рівнянь (19.5.41) та (19.5.44) на рівняння (19.5.45) дає

\ begin {рівняння}\ гідророзриву {1} {2} m_ {1} v_ {i} ^ {2} =\ гідророзриву {3 м_ {1} ^ {2} v_ {2}} {8 m_ {2}} +\ frac {1} m_ {1}\ ліворуч (v_ {i}/2\ праворуч) ^ {2}\ кінець {рівняння}

Це спрощує

\ begin {рівняння}\ гідророзриву {3} {8} m_ {1} v_ {i} ^ {2} =\ гідророзриву {3 m_ {1} ^ {2} v_ {i} ^ {2}} {8 m_ {2}}\ end {рівняння}

Отже, ми можемо вирішити для співвідношення маси, необхідне для забезпечення еластичності зіткнення, якщо кінцева швидкість об'єкта становить половину, то початкова швидкість.

\ begin {рівняння}\ гідророзриву {m_ {2}} {m_ {1}} =1\ end {рівняння}

Зверніть увагу, що це співвідношення маси не залежить від початкової швидкості об'єкта.