19.1: Вступ

Коротко кажучи, ситуація полягає в тому, що ньютонівська фізика не здатна передбачити збереження кутового моменту, але експериментально ще не зустрічалася ізольована система, для якої не зберігається момент імпульсу. Робимо висновок, що збереження моменту моменту - це самостійний фізичний закон, і поки не буде дотримано протиріччя, наше фізичне розуміння має керуватися ним

Ден Клеппнер

При розгляді системи об'єктів ми показали, що зовнішня сила, діючи в центрі мас системи, дорівнює тимчасовій похідній від сумарного імпульсу системи,

$$\overrightarrow{\mathbf{F}}^{\mathrm{ext}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{p}}_{\mathrm{sys}}}{d t} \nonumber$$

Тепер ми введемо обертальний аналог Рівняння (19.1.1). Спочатку ми введемо поняття кутового моменту для точкової частинки маси m з лінійним імпульсом$\overrightarrow{\mathbf{p}}$ близько точки$S$, визначеної рівнянням

$$\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S} \times \overrightarrow{\mathbf{p}} \nonumber$$

де$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S}$ - вектор від точки$S$ до частинки. Ми покажемо в цьому розділі, що крутний момент навколо точки, що$S$ діє на частку, дорівнює швидкості зміни моменту моменту$S$ про точку частинки,

$$\vec{\tau}_{S}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}}{d t} \nonumber$$

Рівняння (19.1.3) узагальнює будь-яке тіло, що зазнає обертання.

Ми розглянемо себе спочатку особливим випадком жорсткого тіла, що зазнає обертання нерухомої осі навколо осі z з кутовою швидкістю.$\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}=\omega_{z} \hat{\mathbf{k}}$ Ми розділимо жорстке тіло на N елементів, позначених індексом$i, i=1,2, \ldots N$,$i^{t h}$ елемент має масу$m_{i}$ i і вектор положення$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, i}$. Тверде тіло має момент інерції навколо$I_{S}$ якоїсь точки$S$ на нерухомій осі, (часто прийнято вважати віссю z, але не завжди), яка обертається з кутовою швидкістю$\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}$ навколо цієї осі. Кутовий момент - це векторна сума окремих кутових моментів,

$$\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S, i}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, i} \times \overrightarrow{\mathbf{p}}_{i} \nonumber$$

Коли вісь обертання є віссю z, z-складова кутового моменту$L_{S, z}$, приблизно точка потім$S$ задається

$$L_{S, z}=I_{S} \omega_{z} \nonumber$$

Ми покажемо, що z-складова крутного моменту навколо точки тоді$S, \tau_{S, z}$ є похідною за часом z-складової моменту моменту про точку S,

$$\tau_{S, z}=\frac{d L_{S, z}}{d t}=I_{S} \frac{d \omega_{z}}{d t}=I_{S} \alpha_{z} \nonumber$$