Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

17.3: Крутний момент

Визначення крутного моменту навколо точки

Для того, щоб зрозуміти динаміку обертового жорсткого тіла, ми введемо нову величину - крутний момент. Нехай силаFP з величиноюF=|FP| діяти в точці PrS,P Дозволяти вектор від точкиS до точки P, з величиноюr=|rS,P|. Кут між векторамиrS,P іFp дорівнює θ с[0θπ] (рис. 17.9).

clipboard_eb8209f9a40f7d1b463db00e7930f5486.png
Малюнок 17.9 Крутний момент близько точкиS за рахунок сили, що діє в точці Р

Крутний момент навколо точки,S обумовлений силою, щоFP діє при Р, визначається

τS=rS,P×FP

Величина крутного моменту близько точкиS за рахунок сили, щоFP діє при Р, задається

τS|τS|=rFsinθ

Одиницями СІ для крутного моменту є [Н⋅м]. Напрямок крутного моменту перпендикулярно площині, утвореній векторамиrS,P іFP (for [0<θ<π]), а за визначенням вказує в напрямку вектора одиниці нормалі до площини,ˆnRHR як показано на малюнку 17.10.

clipboard_ed427f5a32e6307ad75a4277c93a93ac3.png
Малюнок 17.10 Векторний напрямок крутного моменту

На малюнку 17.11 показані два різних способи визначення висоти та основи для паралелограма, визначеного векторамиrS,P and mathbfFP.

clipboard_ed0b1017468d91d3b0bf9ae182862c542.png
Малюнок 17.11 Площа крутного моменту паралелограма.

r=rsinθF=FsinθДозволяти і бути складовою силиFP, яка перпендикулярна лінії, що проходить від точкиS до Р. (Нагадаємо, кут θ має діапазон значень0θπ так обидваr0 and F0. Тоді площа паралелограма,rS,P визначена іFP, задається

 Area =τS=rF=rF=rFsinθ

Ми можемо інтерпретувати кількістьr наступним чином.

clipboard_e654ad79531258c3f10b085cd8bcf6761.png
Малюнок 17.12 Момент плеча про точкуS і лінію дії сили, що проходить через точку Р

Починаємо з малювання лінії дії силиFP. Це пряма лінія, що проходить через Р, паралельна напрямку силиFP. Намалюйте перпендикуляр до цієї лінії дії, яка проходить через точкуS (рис. 17.12). Довжина цього перпендикуляраr=rsinθ, називається моментом плечаS про точку силиFP.

Слід мати на увазі три важливі властивості крутного моменту:

1. Крутний момент дорівнює нулю, якщо векториrS,P іFP паралельні (θ = 0) або антипаралельні(θ=π).

2. Крутний момент - вектор, напрямок і величина якого залежать від вибору точки,S про яку розраховується крутний момент.

3. Напрямок крутного моменту перпендикулярно площині, утвореній двома векторами,FP іr=|rS,P| (вектор від точкиS до точки Р).

Альтернативний підхід до присвоєння знаку конвенції для крутного моменту

У разі, коли всі вектори силFi і положенняri,P є копланарними (або нульовими), ми можемо замість того, щоб посилатися на напрямок крутного моменту, призначити суто алгебраїчний позитивний або негативний знак крутного моменту відповідно до наступної конвенції. Відзначимо, що дуга на малюнку 17.13а кружляє в напрямку проти годинникової стрілки. (Рисунки 17.13a і 17.13b використовують спрощення припущення, тільки для цілей малюнка, що два вектори, про які йдеться,FP іrS,P перпендикулярні. Точка,S про яку обчислюються крутні моменти, не показана.)

clipboard_e6162a1bad8b056f397560276ee0c997c.png
Малюнок 17.13 (a) Позитивний крутний момент поза площиною, (b) позитивний крутний момент у площину

Ми можемо пов'язати з цією орієнтацією проти годинникової стрілки одиничний нормальний векторˆn відповідно до правилом правої руки: скрутіть пальці правої руки в напрямку проти годинникової стрілки, а великий палець правої руки потім вкаже уˆn1 напрямку (рис. 17.13а). Дуга на малюнку 17.13b кружляє за годинниковою стрілкою, і ми пов'язуємо цю орієнтацію з одиницею нормаліˆn2.

Важливо зазначити, що терміни «за годинниковою стрілкою» та «проти годинникової стрілки» можуть відрізнятися для різних спостерігачів. Наприклад, якщо площина, що міститьFP and rS,P, горизонтальна, спостерігач над площиною і спостерігач нижче площини не погодиться з двома термінами. Для вертикальної площини напрямки, які два спостерігачі з протилежних сторін площини були б дзеркальними відображеннями один одного, і тому знову спостерігачі не погодилися б.

1. Припустимо, ми вибираємо проти годинникової стрілки як позитивні. Потім призначаємо позитивний знак для складової крутного моменту, коли крутний момент знаходиться в тому ж напрямку, що і одиниця нормальногоˆn1, i.e. τS=rS,P×FP=+|rS,P||FP|ˆnl (рис. 17.13а).

2. Припустимо, ми вибираємо за годинниковою стрілкою Потім привласнюємо негативний знак для складової крутного моменту на малюнку 17.13б тому, що крутний момент спрямований навпроти одиниці нормальногоˆn2, i.e. τS=rS,P×FP=|rS,P|FPˆn2.

Приклад 17.6 Крутний момент і векторний добуток

Розглянемо два векториrP,F=xˆi зx>0 іF=Fxˆi+Fzˆk зFx>0 and Fz>0 Обчислити крутний моментrP,F×F.

Рішення: Обчислюємо векторний добуток, зазначивши, що при правильному виборі одиничних векторів,ˆi׈i=0 and ˆi׈k=ˆj

rP,F×F=xˆi×(Fxˆi+Fzˆk)=(xˆi×Fxˆi)+(xˆi×Fzˆk)=xFzˆj

Томуx>0 and Fz>0 що напрямок векторного добутку знаходиться в негативному y - напрямку.

Приклад 17.7 Розрахунок крутного моменту

На малюнку 17.14 до одного кінця важеля довжиною L прикладається сила величини F. Яка величина і напрямок крутного моменту навколо точки S?

clipboard_ea70dbfc73e045eb3cc80c49c651adcc9.png
Малюнок 17.15 Система координат

Рішення: Оберіть вектори одиниць такоїˆi׈j=ˆk, що,ˆi вказуючи вправо іˆj спрямовуючи вгору (рис. 17.15). Крутний момент навколо точкиS задається тим,τS=rS,F×F деrSF=Lcosθˆi+Lsinθˆj іF=Fˆj далі

τS=(Lcosθˆi+Lsinθˆj)×Fˆj=FLcosθˆk

Приклад 17.8 Крутний момент і щиколотка

Людина маси m присідає з їх вагою рівномірно розподіленим на обох навшпиньках. Діаграма сили вільного тіла на скелетної частини стопи показана на малюнку 17.16. Нормальна силаN діє в місці контакту стопи і землі. У такому положенні великогомілкова кістка діє на стопу в точціS з силоюF невідомої величиниF=|F| і робить зβ вертикаллю невідомий кут. Ця сила діє на щиколотку на горизонтальній відстані s від точки, де стопа контактує з підлогою. Ахіллове сухожилля також діє на стопу і знаходиться під значною напругою з величиноюT|T| і діє під кутом α з горизонталлю, як показано на малюнку. Сухожилля діє на щиколотку на горизонтальній відстані b від точки,S де великогомілкова кістка впливає на стопу. Ви можете ігнорувати вагу стопи. Нехай g - гравітаційна константа. Обчислити крутний момент навколо точкиS за рахунок (а) сухожилля сили на стопі; (б) сили великогомілкової кістки на стопі; (в) нормальної сили підлоги на стопі.

clipboard_eeaa85ae19b5ad37e714821744d9f8c8b.png
Малюнок 17.16 Діаграма сили та система координат для щиколотки

Рішення: (а) Спочатку розрахуємо крутний момент, обумовлений силою ахіллового сухожилля на щиколотці. Сила сухожилля має вектор розкладанняT=Tcosαˆi+Tsinαˆj

clipboard_e6befc80cf214ee86c974e1f5389872db.png
Малюнок 17.17 Діаграма крутного моменту сили сухожилля на щиколотці Малюнок 17.18 Діаграма крутного моменту для нормальної сили на щиколоrS,N

Вектор від точкиS до точки дії сили задаєтьсяrS,T=bˆi (рис. 17.17). Тому крутний момент, обумовлений силою сухожилляT на щиколотці про точкуS, тоді

τS,T=rS,T×T=bˆi×(Tcosαˆi+Tsinαˆj)=bTsinαˆk

(б) Діаграма крутного моменту для нормальної сили показана на малюнку 17.18. Вектор від точкиS до точки, де на стопу діє нормальна силаrS,N=(ˆihˆj). Оскільки вага рівномірно розподіляється на дві ноги, нормальна сила на одній нозі дорівнює половині ваги, абоN=(1/2)mg. Тому нормальна сила даєтьсяN=Nˆj=(1/2)mgˆj. Тому крутний момент нормальної сили про точкуS дорівнює

τS,N=rS,N×Nˆj=((ˆihˆj)×Nˆj=sNˆk=(1/2)smgˆk

(c) СилаF, яку великогомілкова кістка чинить на щиколотку, не внесе жодного внеску в крутний момент щодо цієї точки,S оскільки великогомілкова сила діє в точці,S а отже, і векторіrS,F=0.