17.3: Крутний момент
Визначення крутного моменту навколо точки
Для того, щоб зрозуміти динаміку обертового жорсткого тіла, ми введемо нову величину - крутний момент. Нехай сила→FP з величиноюF=|→FP| діяти в точці P→rS,P Дозволяти вектор від точкиS до точки P, з величиноюr=|→rS,P|. Кут між векторами→rS,P і→Fp дорівнює θ с[0≤θ≤π] (рис. 17.9).

Крутний момент навколо точки,S обумовлений силою, що→FP діє при Р, визначається
→τS=→rS,P×→FP
Величина крутного моменту близько точкиS за рахунок сили, що→FP діє при Р, задається
τS≡|→τS|=rFsinθ
Одиницями СІ для крутного моменту є [Н⋅м]. Напрямок крутного моменту перпендикулярно площині, утвореній векторами→rS,P і→FP (for [0<θ<π]), а за визначенням вказує в напрямку вектора одиниці нормалі до площини,ˆnRHR як показано на малюнку 17.10.

На малюнку 17.11 показані два різних способи визначення висоти та основи для паралелограма, визначеного векторами→rS,P and →mathbfFP.

r⊥=rsinθF⊥=FsinθДозволяти і бути складовою сили→FP, яка перпендикулярна лінії, що проходить від точкиS до Р. (Нагадаємо, кут θ має діапазон значень0≤θ≤π так обидваr⊥≥0 and F⊥≥0. Тоді площа паралелограма,→rS,P визначена і→FP, задається
Area =τS=r⊥F=rF⊥=rFsinθ
Ми можемо інтерпретувати кількістьr⊥ наступним чином.

Починаємо з малювання лінії дії сили→FP. Це пряма лінія, що проходить через Р, паралельна напрямку сили→FP. Намалюйте перпендикуляр до цієї лінії дії, яка проходить через точкуS (рис. 17.12). Довжина цього перпендикуляраr⊥=rsinθ, називається моментом плечаS про точку сили→FP.
Слід мати на увазі три важливі властивості крутного моменту:
1. Крутний момент дорівнює нулю, якщо вектори→rS,P і→FP паралельні (θ = 0) або антипаралельні(θ=π).
2. Крутний момент - вектор, напрямок і величина якого залежать від вибору точки,S про яку розраховується крутний момент.
3. Напрямок крутного моменту перпендикулярно площині, утвореній двома векторами,→FP іr=|→rS,P| (вектор від точкиS до точки Р).
Альтернативний підхід до присвоєння знаку конвенції для крутного моменту
У разі, коли всі вектори сил→Fi і положення→ri,P є копланарними (або нульовими), ми можемо замість того, щоб посилатися на напрямок крутного моменту, призначити суто алгебраїчний позитивний або негативний знак крутного моменту відповідно до наступної конвенції. Відзначимо, що дуга на малюнку 17.13а кружляє в напрямку проти годинникової стрілки. (Рисунки 17.13a і 17.13b використовують спрощення припущення, тільки для цілей малюнка, що два вектори, про які йдеться,→FP і→rS,P перпендикулярні. Точка,S про яку обчислюються крутні моменти, не показана.)

Ми можемо пов'язати з цією орієнтацією проти годинникової стрілки одиничний нормальний векторˆn відповідно до правилом правої руки: скрутіть пальці правої руки в напрямку проти годинникової стрілки, а великий палець правої руки потім вкаже уˆn1 напрямку (рис. 17.13а). Дуга на малюнку 17.13b кружляє за годинниковою стрілкою, і ми пов'язуємо цю орієнтацію з одиницею нормаліˆn2.
Важливо зазначити, що терміни «за годинниковою стрілкою» та «проти годинникової стрілки» можуть відрізнятися для різних спостерігачів. Наприклад, якщо площина, що містить→FP and →rS,P, горизонтальна, спостерігач над площиною і спостерігач нижче площини не погодиться з двома термінами. Для вертикальної площини напрямки, які два спостерігачі з протилежних сторін площини були б дзеркальними відображеннями один одного, і тому знову спостерігачі не погодилися б.
1. Припустимо, ми вибираємо проти годинникової стрілки як позитивні. Потім призначаємо позитивний знак для складової крутного моменту, коли крутний момент знаходиться в тому ж напрямку, що і одиниця нормальногоˆn1, i.e. →τS=→rS,P×→FP=+|→rS,P||→FP|ˆnl (рис. 17.13а).
2. Припустимо, ми вибираємо за годинниковою стрілкою Потім привласнюємо негативний знак для складової крутного моменту на малюнку 17.13б тому, що крутний момент спрямований навпроти одиниці нормальногоˆn2, i.e. →τS=→rS,P×→FP=−|→rS,P|→FP∣ˆn2.
Приклад 17.6 Крутний момент і векторний добуток
Розглянемо два вектори→rP,F=xˆi зx>0 і→F=Fxˆi+Fzˆk зFx>0 and Fz>0 Обчислити крутний момент→rP,F×→F.
Рішення: Обчислюємо векторний добуток, зазначивши, що при правильному виборі одиничних векторів,ˆi׈i=→0 and ˆi׈k=−ˆj
→rP,F×→F=xˆi×(Fxˆi+Fzˆk)=(xˆi×Fxˆi)+(xˆi×Fzˆk)=−xFzˆj
Томуx>0 and Fz>0 що напрямок векторного добутку знаходиться в негативному y - напрямку.
Приклад 17.7 Розрахунок крутного моменту
На малюнку 17.14 до одного кінця важеля довжиною L прикладається сила величини F. Яка величина і напрямок крутного моменту навколо точки S?

Рішення: Оберіть вектори одиниць такоїˆi׈j=ˆk, що,ˆi вказуючи вправо іˆj спрямовуючи вгору (рис. 17.15). Крутний момент навколо точкиS задається тим,→τS=→rS,F×→F де→rSF=Lcosθˆi+Lsinθˆj і→F=−Fˆj далі
→τS=(Lcosθˆi+Lsinθˆj)×−Fˆj=−FLcosθˆk
Приклад 17.8 Крутний момент і щиколотка
Людина маси m присідає з їх вагою рівномірно розподіленим на обох навшпиньках. Діаграма сили вільного тіла на скелетної частини стопи показана на малюнку 17.16. Нормальна сила→N діє в місці контакту стопи і землі. У такому положенні великогомілкова кістка діє на стопу в точціS з силою→F невідомої величиниF=|→F| і робить зβ вертикаллю невідомий кут. Ця сила діє на щиколотку на горизонтальній відстані s від точки, де стопа контактує з підлогою. Ахіллове сухожилля також діє на стопу і знаходиться під значною напругою з величиноюT≡|→T| і діє під кутом α з горизонталлю, як показано на малюнку. Сухожилля діє на щиколотку на горизонтальній відстані b від точки,S де великогомілкова кістка впливає на стопу. Ви можете ігнорувати вагу стопи. Нехай g - гравітаційна константа. Обчислити крутний момент навколо точкиS за рахунок (а) сухожилля сили на стопі; (б) сили великогомілкової кістки на стопі; (в) нормальної сили підлоги на стопі.

Рішення: (а) Спочатку розрахуємо крутний момент, обумовлений силою ахіллового сухожилля на щиколотці. Сила сухожилля має вектор розкладання→T=Tcosαˆi+Tsinαˆj

Вектор від точкиS до точки дії сили задається→rS,T=−bˆi (рис. 17.17). Тому крутний момент, обумовлений силою сухожилля→T на щиколотці про точкуS, тоді
→τS,T=→rS,T×→T=−bˆi×(Tcosαˆi+Tsinαˆj)=−bTsinαˆk
(б) Діаграма крутного моменту для нормальної сили показана на малюнку 17.18. Вектор від точкиS до точки, де на стопу діє нормальна сила→rS,N=(ˆi−hˆj). Оскільки вага рівномірно розподіляється на дві ноги, нормальна сила на одній нозі дорівнює половині ваги, абоN=(1/2)mg. Тому нормальна сила дається→N=Nˆj=(1/2)mgˆj. Тому крутний момент нормальної сили про точкуS дорівнює
→τS,N=→rS,N×Nˆj=((ˆi−hˆj)×Nˆj=sNˆk=(1/2)smgˆk
(c) Сила→F, яку великогомілкова кістка чинить на щиколотку, не внесе жодного внеску в крутний момент щодо цієї точки,S оскільки великогомілкова сила діє в точці,S а отже, і векторі→rS,F=→0.