14.5: Механічна енергія та збереження механічної енергії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75642

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Загальна зміна механічної енергії системи визначається як сума змін кінетичної і потенційної енергій,

\[\Delta E_{m}=\Delta K_{\mathrm{sys}}+\Delta U_{\mathrm{sys}} \nonumber \]

Для замкнутої системи з тільки консервативними внутрішніми силами повна зміна механічної енергії дорівнює нулю,

\[\Delta E_{m}=\Delta K_{\mathrm{sys}}+\Delta U_{\mathrm{sys}}=0 \nonumber \]

Рівняння (14.4.18) - це символічне твердження того, що називається збереженням механічної енергії. Нагадаємо, що робота, виконана консервативною силою в обході замкнутого шляху, дорівнює нулю (Equation (14.2.16)), тому і зміни кінетичної енергії, і потенційної енергії дорівнюють нулю, коли замкнута система з тільки консервативними внутрішніми силами повертається в початковий стан. Протягом усього процесу кінетична енергія може змінюватися у внутрішню потенційну енергію, але якщо система повернеться до початкового стану, кінетична енергія повністю відновлюється. Ми будемо посилатися на замкнуту систему, в якій відбуваються процеси, в яких тільки консервативні сили виступають як повністю оборотні процеси.

Зміна енергії гравітаційного потенціалу поблизу поверхні Землі

Розглянемо на прикладі об'єкта маси,\(m_{o}\) що падає біля поверхні землі (маси\(m_{e}\)). Вибираємо нашу систему, яка складається з землі та об'єкта. Гравітаційна сила тепер є внутрішньою консервативною силою, що діє всередині системи. Початковий і кінцевий стани задаються відстанню, що розділяє об'єкт і центр мас землі, і швидкостями землі і об'єкта. Зміна кінетичної енергії між початковим і кінцевим станами для системи

\[\Delta K_{\text {sys }}=\Delta K_{e}+\Delta K_{o} \nonumber \]

\[\Delta K_{\mathrm{sys}}=\left(\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}}\left(v_{e, f}\right)^{2}-\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}}\left(v_{\mathrm{e}, \mathrm{i}}\right)^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} m_{o}\left(v_{o, f}\right)^{2}-\frac{1}{2} m_{o}\left(v_{o, i}\right)^{2}\right) \nonumber \]

Зміна кінетичної енергії землі внаслідок гравітаційної взаємодії між землею і об'єктом мізерно мало. Зміна кінетичної енергії системи приблизно дорівнює зміні кінетичної енергії об'єкта,

\[\Delta K_{\mathrm{sys}} \cong \Delta K_{o}=\frac{1}{2} m_{o}\left(v_{o, f}\right)^{2}-\frac{1}{2} m_{o}\left(v_{o, i}\right)^{2} \nonumber \]

Тепер визначимо механічну енергетичну функцію для системи

\[E_{m}=K+U^{g}=\frac{1}{2} m_{o}\left(v_{b}\right)^{2}+m_{o} g y, \text { with } U^{g}(0)=0 \nonumber \]

де K - кінетична енергія і\(U^{g}\) потенційна енергія. Зміна механічної енергії тоді

\[\Delta E_{m} \equiv E_{m, f}-E_{m, i}=\left(K_{f}+U_{f}^{g}\right)-\left(K_{i}+U_{i}^{g}\right) \nonumber \]

Коли робота, виконана зовнішніми силами, дорівнює нулю і немає внутрішніх неконсервативних сил, загальна механічна енергія системи постійна,

\[E_{m, f}=E_{m, i} \nonumber \]

або еквівалентно

\[\left(K_{f}+U_{f}\right)=\left(K_{i}+U_{i}\right) \nonumber \]