14.3: Зміни потенційних енергій системи

Розглянемо об'єкт поблизу поверхні землі як систему, якій спочатку дається швидкість, спрямована вгору. Після звільнення об'єкта сила тяжіння, діючи як зовнішня сила, робить негативну кількість роботи над об'єктом, а кінетична енергія зменшується, поки об'єкт не досягне своєї найвищої точки, при якій його кінетична енергія дорівнює нулю. Гравітаційна сила потім робить позитивну роботу, поки об'єкт не повернеться до початкової початкової точки зі швидкістю, спрямованою вниз. Якщо ми ігноруємо будь-які ефекти опору повітря, спадний об'єкт матиме таку ж кінетичну енергію, як коли він був кинутий. Вся кінетична енергія була повністю відновлена.

Тепер розглянемо і землю, і об'єкт як систему і припускаємо, що інших зовнішніх сил, що діють на систему, немає. Тоді гравітаційна сила є внутрішньою консервативною силою, і робить роботу як на об'єкт, так і на землю під час руху. У міру руху об'єкта вгору кінетична енергія системи зменшується, перш за все тому, що об'єкт сповільнюється, але відбувається і непомітне збільшення кінетичної енергії землі. Зміна кінетичної енергії землі також повинна бути включена, оскільки земля є частиною системи. Коли об'єкт повертається на початкову висоту (вертикальну відстань від поверхні землі), вся кінетична енергія в системі відновлюється, навіть незважаючи на те, що дуже мала кількість була перенесена на Землю.

Якщо ми включили повітря до складу системи, а опір повітря як неконсервативну внутрішню силу, то кінетична енергія, втрачена внаслідок роботи, виконаної повітряним опором, не підлягає відновленню. Ця втрачена кінетична енергія, яку ми назвали тепловою енергією, розподіляється як випадкова кінетична енергія як у молекулах повітря, так і в молекулах, що складають об'єкт (і, меншою мірою, землю).

Визначимо нову величину, зміну внутрішньої потенційної енергії системи, яка вимірює кількість втраченої кінетичної енергії, яка може бути відновлена під час взаємодії.

Коли в замкнутій системі діють тільки внутрішні консервативні сили, сума змін кінетичної і потенційної енергій системи дорівнює нулю.

Розглянемо замкнуту систему\(\Delta E_{\text {sys}}=0\), яка складається з двох об'єктів з масами\(m_{1}\) і\(m_{2}\) відповідно. Припустимо, що існує тільки одна консервативна сила (внутрішня сила), яка є джерелом взаємодії двох об'єктів. Позначимо силу на об'єкті 1 за рахунок взаємодії з об'єктом 2 по\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1}\) і силу на об'єкт 2 за рахунок взаємодії з об'єктом 1 по\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2}\). З третього закону Ньютона,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1}=-\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2} \nonumber \]

Сили, що діють на об'єкти, показані на малюнку 14.5.

Малюнок 14.5 Внутрішні сили, що діють на два об'єкти

Виберіть систему координат (рис. 14.6), в якій вектор положення об'єкта 1 задається\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}\) і вектор положення об'єкта 2 задається\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\). Відносне положення об'єкта 1 по відношенню до об'єкта 2 задається\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2,1}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\). В ході взаємодії об'єкт 1 зміщується на\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}\) і об'єкт 2 зміщується на\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\), тому відносне зміщення двох об'єктів під час взаємодії задається\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2,1}=d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\).

Рисунок 14.6 Система координат для двох об'єктів з вектором відносного положення\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2,1}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\)

Нагадаємо, що зміна кінетичної енергії об'єкта дорівнює роботі, яку виконують сили при зміщенні об'єкта. Для двох об'єктів, зміщених з початкового стану A в кінцевий стан B,

\[\Delta K_{\mathrm{sys}}=\Delta K_{1}+\Delta K_{2}=W_{\mathrm{c}}=\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}+\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \nonumber \]

(У Рівнянні (14.3.2) мітки «A» та «B» стосуються початкового та кінцевого станів, а не шляхів.) З третього закону Ньютона, рівняння (14.3.1), сума в рівнянні (14.3.2) стає

\[\Delta K_{\mathrm{sys}}=W_{c}=\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}=\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1} \cdot\left(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right)=\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2,1} \nonumber \]

де\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2,1}=d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\) - відносне зміщення двох об'єктів. Зауважте, що з

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1}=-\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2} \text { and } d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2,1}=-d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2}, \int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2,1}=\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2} \nonumber \]

Розглянемо систему, що складається з двох об'єктів, що взаємодіють через консервативну силу. Нехай\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1}\) позначають силу на об'єкті 1 за рахунок взаємодії з об'єктом 2 і\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2,1}=d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\) нехай відносне зміщення двох об'єктів. Зміна внутрішньої потенційної енергії системи визначається як негативна від роботи, виконаної консервативною силою, коли об'єкти зазнають відносного зміщення від початкового стану А до кінцевого стану B по будь-якому зміщенню, що змінює початковий стан А до кінцевого стану B,

\[\Delta U_{\mathrm{sys}}=-W_{\mathrm{c}}=-\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2,1}=-\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2} \nonumber \]

Наше визначення потенційної енергії стосується лише консервативних сил, адже робота, яку виконує консервативна сила, залежить не від шляху, а лише від початкової та кінцевої позицій. Оскільки робота, яку виконує консервативна сила, дорівнює зміні кінетичної енергії, ми маємо це

\ [\ Delta U_ {\ mathrm {sys}} =-\ Delta K_ {\ mathrm {sys}}\ end {рівняння} (замкнута система без неконсервативних сил)

Нагадаємо, що робота, виконана консервативною силою в обході замкнутого шляху, дорівнює нулю (Рівняння (14.2.16)); тому зміна кінетичної енергії при поверненні системи в початковий стан дорівнює нулю. Це означає, що кінетична енергія повністю відновлюється.

У додатку 13А: Робота над системою двох частинок ми показали, що робота, виконана внутрішньою силою при зміні системи з двох частинок мас\(m_{1}\) і\(m_{2}\) відповідно від початкового стану А до кінцевого стану B дорівнює

\[W=\frac{1}{2} \mu\left(v_{B}^{2}-v_{A}^{2}\right)=\Delta K_{\mathrm{sys}} \nonumber \]

де\(v_{B}^{2}\) - квадрат відносної швидкості в стані B,\(\mathcal{v}_{A}^{2}\) - квадрат відносної швидкості в стані A, і\(\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)\) являє собою величину, відому як зменшена маса системи.

Зміна потенційної енергії для кількох консервативних сил

Коли на систему діє кілька внутрішніх консервативних сил, ми визначаємо окрему зміну потенційної енергії для роботи, виконаної кожною консервативною силою,

\[\Delta U_{\mathrm{sys}, i}=-W_{c, i}=-\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}, i} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{i} \nonumber \]

де\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}, i}\) консервативна внутрішня сила і\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{i}\) зміна взаємних положень об'єктів, на яких\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}, i}\) при зміні системи з стану А в стан Б. виконана робота - сума виконаної окремими консервативними силами роботи,

\[W_{\mathrm{c}}=W_{\mathrm{c}, 1}+W_{\mathrm{c}, 2}+\cdots \nonumber \]

Значить, сума змін потенційних енергій для системи - це сума

\[\Delta U_{\mathrm{sys}}=\Delta U_{\mathrm{sys}, 1}+\Delta U_{\mathrm{sys}, 2}+\cdots \nonumber \]

Тому зміна потенційної енергії системи дорівнює негативу виконаної роботи.

\[\Delta U_{\mathrm{sys}}=-W_{\mathrm{c}}=-\sum_{i} \int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}, i} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{i} \nonumber \]

Якщо система замкнута (зовнішні сили не працюють), а неконсервативних внутрішніх сил немає, то рівняння (14.3.5) тримає.