13.11: Теорема роботи-кінетичної енергії в трьох вимірах

Нагадаємо наш математичний результат, що для одновимірного руху

\[m \int_{i}^{f} a_{x} d x=m \int_{i}^{f} \frac{d v_{x}}{d t} d x=m \int_{i}^{f} d v_{x} \frac{d x}{d t}=m \int_{i}^{f} v_{x} d v_{x}=\frac{1}{2} m v_{x, f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{x, i}^{2} \nonumber \]

Використовуючи Другий закон Ньютона у формі\(F_{x}=m a_{x}\), ми дійшли висновку, що

\[\int_{i}^{f} F_{x} d x=\frac{1}{2} m v_{x, f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{x, i}^{2} \nonumber \]

Рівняння (13.11.2) узагальнює до y - та z -напрямків:

\[\int_{i}^{f} F_{y} d y=\frac{1}{2} m v_{y, f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{y, i}^{2} \nonumber \]

\[\int_{i}^{f} F_{z} d z=\frac{1}{2} m v_{z, f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{z, i}^{2} \nonumber \]

Додавання рівнянь (13.11.2), (13.11.3) та (13.11.4) дає

\[\int_{i}^{f}\left(F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z\right)=\frac{1}{2} m\left(v_{x, f}^{2}+v_{y, f}^{2}+v_{z, f}^{2}\right)-\frac{1}{2} m\left(v_{x, i}^{2}+v_{y, i}^{2}+v_{z, i}^{2}\right) \nonumber \]

Нагадаємо (Рівняння (13.8.24)), що ліва сторона Рівняння (13.11.5) - це робота, виконана силою\(\overrightarrow{\mathbf{F}}\) на об'єкті

\[W=\int_{i}^{f} d W=\int_{i}^{f}\left(F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z\right)=\int_{i}^{f} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}} \nonumber \]

Права сторона Рівняння (13.11.5) - зміна кінетичної енергії об'єкта

\[\Delta K \equiv K_{f}-K_{i}=\frac{1}{2} m v_{f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{0}^{2}=\frac{1}{2} m\left(v_{x, f}^{2}+v_{y, f}^{2}+v_{z, f}^{2}\right)-\frac{1}{2} m\left(v_{x, i}^{2}+v_{y, i}^{2}+v_{z, i}^{2}\right) \nonumber \]

Тому рівняння (13.11.5) є тривимірним узагальненням теореми робота-кінетична енергія

\[\int_{i}^{f} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=K_{f}-K_{i} \nonumber \]

Коли робота, виконана над об'єктом, позитивна, об'єкт збільшить свою швидкість, а негативна робота, виконана над об'єктом, викликає зниження швидкості. Коли виконана робота дорівнює нулю, об'єкт буде підтримувати постійну швидкість.

Миттєва потужність, застосована непостійною силою для тривимірного руху

Нагадаємо, що для одновимірного руху миттєва потужність в момент t визначається як межа середньої потужності, оскільки часовий інтервал\([t, t+\Delta t]\) наближається до нуля,

\[P(t)=F_{x}^{a}(t) v_{x}(t) \nonumber \]

Більш загальний результат для миттєвої потужності знайдено за допомогою виразу для dW, як зазначено в Рівнянні (13.8.23),

\[P=\frac{d W}{d t}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}}{d t}=\overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}} \nonumber \]

Часова швидкість зміни кінетичної енергії для тіла маси m дорівнює потужності,

\[\frac{d K}{d t}=\frac{1}{2} m \frac{d}{d t}(\overrightarrow{\mathbf{v}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}})=m \frac{d \overrightarrow{\mathbf{v}}}{d t} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=m \overrightarrow{\mathbf{a}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=P \nonumber \]

де ми використовували рівняння (13.8.9), другий закон Ньютона і рівняння (13.11.10).