13.10: Опрацьовані приклади

Приклад 13.11 Робота, виконана в полі постійного гравітації

Робота, виконана в рівномірному гравітаційному полі, є досить простим розрахунком, коли тіло рухається в напрямку поля. Припустимо, тіло рухається під впливом сили тяжіння,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}=-m g \hat{\mathbf{j}}\) по параболічної кривої. Тіло починається в точці\(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) і закінчується в точці\(\left(x_{f}, y_{f}\right)\). Яку роботу виконує сила тяжіння на тілі?

Рішення: Таким чином, нескінченно малий\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}\) лінійний елемент

\[d \overrightarrow{\mathbf{r}}=d x \hat{\mathbf{i}}+d y \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Скалярний добуток, який з'являється в рядковому інтегралі, тепер можна обчислити,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=-m g \hat{\mathbf{j}} \cdot[d x \hat{\mathbf{i}}+d y \hat{\mathbf{j}}]=-m g d y \nonumber \]

Цей результат не дивно, оскільки сила знаходиться тільки в y -напрямку. Тому єдиний ненульовий внесок у робочий інтеграл знаходиться в y -напрямку, в результаті чого

\[W=\int_{\mathrm{r}_{0}}^{\mathrm{r}_{f}} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\int_{y=y_{0}}^{y=y_{f}} F_{y} d y=\int_{y=y_{0}}^{y=y_{f}}-m g d y=-m g\left(y_{f}-y_{0}\right) \nonumber \]

У цьому випадку постійної сили робочий інтеграл не залежить від шляху.

Приклад 13.12 Система пружинного тіла Гука

Розглянемо пружинно-корпусну систему, що лежить на нефрикційної горизонтальній поверхні з одним кінцем пружини, закріпленої на стіні, а іншим кінцем прикріпленим до тіла масою m (рис. 13.19). Обчисліть роботу, виконану силою пружини на тілі, коли тіло рухається з якогось вихідного положення в якесь кінцеве положення.

Малюнок 13.19 Система з пружинним корпусом.

Рішення: Виберіть походження в положенні центру тіла, коли пружина розслаблена (положення рівноваги). Нехай х - зміщення тіла від початку. Вибираємо\(+\hat{\mathbf{i}}\) одиничний вектор, щоб вказувати в напрямку руху тіла при розтягуванні пружини (праворуч від х = 0 на малюнку). Потім сила пружини на корпусі задається

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}=F_{x} \hat{\mathbf{i}}=-k x \hat{\mathbf{i}} \nonumber \]

Робота, виконана силою пружини на масу, становить

\[W_{\text {spring }}=\int_{x=x_{0}}^{x=x_{f}}(-k x) d x=-\frac{1}{2} k\left(x_{f}^{2}-x_{0}^{2}\right) \nonumber \]

Приклад 13.13 Робота, виконана силою гравітації зворотного квадрата

Розглянемо тіло масою m при переміщенні в нерухомій орбітальній площині навколо Сонця. Маса сонця є\(m_{s}\). Скільки роботи виконує гравітаційна взаємодія між сонцем і тілом, виконана на тілі під час цього руху?

Рішення: Припустимо, що сонце фіксоване і виберемо полярну систему координат з початком у центрі сонця. Спочатку тіло знаходиться на відстані\(r_{0}\) від центру сонця. У остаточній конфігурації тіло перемістилося на відстань\(r_{f}<r_{0}\) від центру сонця. Нескінченно мале зміщення тіла задається по\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}=d r \hat{\mathbf{r}}+r d \theta \hat{\mathbf{\theta}}\). Сила тяжіння між сонцем і тілом дається

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{g r a v}=F_{g r a v} \hat{\mathbf{r}}=-\frac{G m_{s} m}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \nonumber \]

Нескінченно мала робота, виконана цією силою тяжіння на тілі, дається

\[d W=\overrightarrow{\mathbf{F}}_{g r a v} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\left(F_{g r a v, r} \hat{\mathbf{r}}\right) \cdot(d r \hat{\mathbf{r}}+r d \theta \hat{\mathbf{\theta}})=F_{g r a v, r} d r \nonumber \]

Тому робота, виконана над об'єктом у міру переміщення об'єкта від\(r_{i}\) до\(r_{f}\), задається інтегралом.

\[W=\int_{r_{i}}^{r_{f}} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{g r a v} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\int_{r_{i}}^{r_{f}} F_{g r a v, r} d r=\int_{r_{i}}^{r_{f}}\left(-\frac{G m_{\mathrm{sun}} m}{r^{2}}\right) d r \nonumber \]

Після оцінки цього інтегралу, ми маємо для роботи

\[W=\int_{r_{i}}^{r_{f}}\left(-\frac{G m_{\operatorname{sun}} m}{r^{2}}\right) d r=\left.\frac{G m_{\mathrm{sun}} m}{r}\right|_{r_{i}} ^{r_{f}}=G m_{\mathrm{sun}} m\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right) \nonumber \]

Тому що тіло перемістилося ближче до сонця\(r_{f}<r_{i}\), отже\(1 / r_{f}>1 / r_{i}\). Таким чином, робота, виконана силою тяжіння між сонцем і тілом, на тілі позитивна,

\[W=G m_{\operatorname{sun}} m\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right)>0 \nonumber \]

Ми очікуємо цього результату, оскільки сила тяжіння вказує вздовж радіального напрямку всередину, тому скалярний твір і, отже, робота сили і переміщення є позитивними, коли тіло рухається ближче до сонця. Також ми очікуємо, що знак роботи однаковий для тіла, що рухається ближче до сонця, як тіло, що падає до землі в полі постійного гравітації, як показано в прикладі 4.7.1 вище.

Приклад 13.14 Робота, виконана електричною силою зворотного квадрата

Розглянемо два точкових тіла, тіло 1 і тіло 2, з зарядами\(q_{1}\) і\(q_{2}\) відповідно взаємодіють через електричну силу. Тіло 1 закріплено на місці, а тіло 2 вільно переміщається в орбітальній площині. Скільки роботи робить електрична сила на корпусі 2 під час цього руху?

Рішення: Розрахунок майже ідентичний розрахунку роботи, виконаної гравітаційною оберненою квадратною силою у прикладі 13.13. Найсуттєвіша відмінність полягає в тому, що електрична сила може бути як привабливою, так і відштовхувальною, тоді як сила тяжіння завжди приваблива. Ще раз вибираємо полярні координати з центром на тілі 2 в площині орбіти. Спочатку відстань\(r_{0}\) відокремлює тіла, а в кінцевому стані відстань\(r_{f}\) відокремлює тіла. Електрична сила між тілами задається

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{elec}}=F_{\mathrm{elec}} \hat{\mathbf{r}}=F_{\text {elec}, r} \hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \nonumber \]

Робота, виконана цією електричною силою на корпусі 2, задається інтегралом

\[W=\int_{r_{i}}^{r_{f}} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{e l e c} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\int_{r_{i}}^{r_{f}} F_{e l e c, r} d r=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{r_{i}}^{r_{f}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} d r \nonumber \]

Оцінюючи цей інтеграл, ми маємо за роботу, виконану електричною силою

\[W=\int_{r_{i}}^{r_{f}} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} d r=-\left.\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}\right|_{r_{i}} ^{r_{f}}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q_{1} q_{2}\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right) \nonumber \]

Якщо заряди мають протилежні ознаки\(q_{1} q_{2}<0\), то очікуємо, що тіло 2 буде рухатися ближче до тіла 1 так\(r_{f}<r_{i}\) і\(1 / r_{f}>1 / r_{i}\). З нашого результату за роботу робота, виконана електричною силою в рухомому тілі 2, позитивна,

\[W=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q_{1} q_{2}\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right)>0 \nonumber \]

Ще раз бачимо, що тіла під впливом електричних сил тільки природно будуть рухатися в тих напрямках, в яких сила робить позитивну роботу. Якщо звинувачення мають один і той же знак, то\(q_{1} q_{2}>0\). Вони будуть відштовхуватися з\(r_{f}>r_{i}\) і\(1 / r_{f}<1 / r_{i}\). Таким чином, робота знову позитивна:

\[W=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q_{1} q_{2}\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right)>0 \nonumber \]