13.3: Кінематика та кінетична енергія в одному вимірі

Постійний прискорений рух

Розглянемо постійне прискорене рух твердого тіла в одному вимірі, в якому ми розглядаємо жорстке тіло як точкову масу. Припустимо, при t = 0 тіло має початкову x - складову швидкості, заданої\(\mathcal{V}_{x, i}\). Якщо прискорення буде в сторону зміщення тіла, то тіло збільшить свою швидкість. Якщо прискорення буде протилежним напрямку зміщення, то прискорення зменшить швидкість тіла. Зсув тіла задається

\[\Delta x=v_{x, i} t+\frac{1}{2} a_{x} t^{2} \nonumber \]

Твір прискорення і зміщення

\[a_{x} \Delta x=a_{x}\left(v_{x, i} t+\frac{1}{2} a_{x} t^{2}\right) \nonumber \]

Прискорення задається

\[a_{x}=\frac{\Delta v_{x}}{\Delta t}=\frac{\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)}{t} \nonumber \]

Тому

\[a_{x} \Delta x=\frac{\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)}{t}\left(v_{x, i} t+\frac{1}{2} \frac{\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)}{t} t^{2}\right) \nonumber \]

Рівняння (13.3.4) стає

\[a_{x} \Delta x=\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)\left(v_{x, i}\right)+\frac{1}{2}\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)=\frac{1}{2} v_{x, f}^{2}-\frac{1}{2} v_{x, i}^{2} \nonumber \]

Якщо помножити кожну сторону Рівняння (13.3.5) на масу m об'єкта, цей кінематичний результат набуває цікаву інтерпретацію для руху об'єкта. У нас є

\[m a_{x} \Delta x=\frac{1}{2} m v_{x, f}^{2}-m \frac{1}{2} v_{x, i}^{2}=K_{f}-K_{i} \nonumber \]

Нагадаємо, що для одновимірного руху Другий закон Ньютона є\(F_{x}=m a_{x}\), для розглянутого тут руху рівняння (13.3.6) стає

\[F_{x} \Delta x=K_{f}-K_{i} \nonumber \]

Непостійний прискорений рух

Якщо прискорення не постійне, то можна розділити зміщення на N інтервалів, проіндексованих від j = 1 до N. Зручно буде позначати інтервали\(\Delta x_{j}\) зсуву відповідними часовими інтервалами по\(\Delta t_{j}\) і х -складовими швидкостей на початку і кінці кожного інтервалу як\(\mathcal{V}_{x, j-1}\) і\(\mathcal{V}_{x, j}\). Зверніть увагу, що x -складова швидкості на початку і кінці першого інтервалу j =1is тоді\(v_{x, 1}=v_{x, i}\) і швидкість в кінці останнього інтервалу,\(j=N\) дорівнює\(v_{x, N}=v_{x, j}\). Розглянемо суму, добуток середнього прискорення\(\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave}}\) і зсуву\(\Delta x_{j}\) в кожному інтервалі,

\[\sum_{j=1}^{j=N}\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave }} \Delta x_{j} \nonumber \]

Середнє прискорення за кожен інтервал дорівнює

\[\left(a_{x, j}\right)_{\mathrm{ave}}=\frac{\Delta v_{x, j}}{\Delta t_{j}}=\frac{\left(v_{x, j+1}-v_{x, j}\right)}{\Delta t_{j}} \nonumber \]

і тому внесок у кожному інтегралі може бути розрахований як вище, і ми маємо, що

\[\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave }} \Delta x_{j}=\frac{1}{2} v_{x, j}^{2}-\frac{1}{2} v_{x, j-1}^{2} \nonumber \]

Коли ми підсумовуємо протягом усіх термінів, виживають лише останній і перший терміни, всі інші терміни скасовуються парами, і ми маємо це

\[\sum_{j=1}^{j=N}\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave }} \Delta x_{j}=\frac{1}{2} v_{x, f}^{2}-\frac{1}{2} v_{x, i}^{2} \nonumber \]

У ліміті як\(N \rightarrow \infty\) і\(\Delta x_{j} \rightarrow 0\) для всіх j (обидві умови повинні бути виконані!) , Межа суми - визначення певного інтеграла прискорення щодо положення,

\[\lim _{N \rightarrow \infty \atop \Delta x_{j} \rightarrow 0} \sum_{j=1}^{j=N}\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave }} \Delta x_{j} \equiv \int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} a_{x}(x) d x \nonumber \]

Тому в межі як\(N \rightarrow \infty\) і\(\Delta x_{j} \rightarrow 0\) для всіх j, з\(v_{x, N} \rightarrow v_{x, f}\) рівнянням (13.3.11) стає

\[\int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} a_{x}(x) d x=\frac{1}{2}\left(v_{x, f}^{2}-v_{x, i}^{2}\right) \nonumber \]

Цей інтегральний результат є наслідком визначення того, що\(a_{x} \equiv d v_{x} / d t\). Інтеграл у рівнянні (13.3.13) є інтегралом щодо простору, тоді як наш попередній інтеграл

\[\int_{t=t_{i}}^{t=t_{f}} a_{x}(t) d t=v_{x, f}-v_{x, i} \nonumber \]

вимагає інтеграційного прискорення щодо часу. Множення обох сторін рівняння (13.3.13) на масу m виходить

\[\int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} m a_{x}(x) d x=\frac{1}{2} m\left(v_{x, f}^{2}-v_{x, i}^{2}\right)=K_{f}-K_{i} \nonumber \]

Коли ми вводимо Другий закон Ньютона у вигляді\(F_{x}=m a_{x}\), то Рівняння (13.3.15) стає

\[\int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} F_{x}(x) d x=K_{f}-K_{i} \nonumber \]

Інтеграл х -складової сили щодо зсуву в Рівнянні (13.3.16) застосовується до руху точкового об'єкта. Для розширених тіл рівняння (13.3.16) застосовується до центру руху мас, оскільки зовнішня сила на твердому тілі змушує центр маси прискорюватися.