Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4: Нелінійні системи та хаос

  • Page ID
    76088
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    4.0.PNG
    Рисунок\(\PageIndex{1}\): Співісність ламінарного і турбулентного потоку.

    • 4.1: Вступ до нелінійних систем та хаосу
      Нелінійність і хаос - це широке і активне поле і тому в цій главі буде зосереджено лише кілька прикладів, які ілюструють загальні риси нелінійних систем. Слабка нелінійність використовується для ілюстрації біфуркаційних та асимптотичних атракторних розв'язків, для яких система еволюціонує незалежно від початкових умов. Загальний синусоїдально-керований лінійно затухаючий плоский маятник ілюструє кілька особливостей, характерних для еволюції нелінійної системи від порядку до хаосу.
    • 4.2: Слабка нелінійність
      Більшість фізичних осциляторів стають нелінійними зі збільшенням амплітуди коливань. Наслідки нелінійності включають розрив суперпозиції, введення додаткових гармонік та ускладнений хаотичний рух, який має велику чутливість до початкових умов, як показано в цьому розділі. Слабка нелінійність цікава, оскільки теорія збурень може бути використана для розв'язання нелінійних рівнянь руху.
    • 4.3: Біфуркація та точкові атрактори
      Складний рух нелінійних систем змушує розрізняти перехідну та асимптотичну поведінку. Затухаючий гармонічний генератор виконує перехідний спіральний рух, який асимптотично наближається до початку. Транзиторна поведінка залежить від початкових умов, тоді як асимптотична межа сталого розв'язку - це конкретне місце, яке називається точковим атрактором.
    • 4.4: Обмеження циклів
      Граничний цикл незвичайний тим, що періодичний рух асимптотично прагне до атрактора граничного циклу незалежно від того, чи знаходяться початкові значення всередині або поза граничним циклом. Баланс дисипативних сил та рушійних сил часто призводить до атракторів обмеженого циклу, особливо в біологічних додатках. Ідентифікація гранично-циклових атракторів, а також траєкторій руху до цих граничних атракторів складніше, ніж для точкових атракторів.
    • 4.5: Гармонічно керований, лінійно-демпфірований, плоский маятник
      Гармонічно керований, лінійно затухаючий, плоский маятник ілюструє багато явищ, що демонструються нелінійними системами, коли вони еволюціонують від впорядкованого до хаотичного руху. Це ілюструє той чудовий факт, що детермінізм не передбачає ні регулярної поведінки, ні передбачуваності. Відомий, гармонійно керований лінійно-демпфірований маятник забезпечує ідеальну основу для введення в нелінійну динаміку.
    • 4.6: Диференціація між впорядкованим та хаотичним рухом
      Перехід між впорядкованим рухом і хаотичним рухом чутливо залежить як від початкових умов, так і від параметрів моделі. Дивно важко однозначно розрізнити складний впорядкований рух і хаотичний рух. Більше того, рух може коливатися між порядком і хаосом нестабільно залежно від початкових умов.
    • 4.7: Поширення хвиль для нелінійних систем
      Нелінійні системи вводять інтригуючі нові хвильові явища. Наприклад, групова швидкість може бути функцією ω, тобто відбувається групова дисперсія швидкості, що призводить до того, що форма оболонки хвильового пакета залежить від часу. Як наслідок, групова швидкість в хвильовому пакеті недостатньо визначена і не дорівнює швидкості сигналу хвильового пакета або фазової швидкості вейвлет.
    • 4.E: Нелінійні системи та хаос (вправи)
    • 4.S: Нелінійні системи та хаос (резюме)
      Вивчення динаміки нелінійних систем залишається яскравою і стрімко розвивається сферою в класичній механіці, а також багатьох інших галузях науки. У цій главі розглянуті приклади нелінійних систем в класичній механіці. Показано, що принцип суперпозиції порушений навіть при слабкій нелінійності. Показано, що підвищена нелінійність призводить до біфуркації, точкових атракторів, атракторів граничного циклу, чутливості до початкових умов.