10.2: Значення очікувань

Ви також можете використовувати матричне представлення операторів для з'ясування очікуваних значень. Припустимо, що у вас електрон в стані:

$$|\psi\rangle=\sqrt{\frac{1}{3}}|+z\rangle+\sqrt{\frac{2}{3}}|-z\rangle\tag{10.5}$$

Які значення очікування для спина вздовж$x$ -осі??

Спочатку побудуємо векторне представлення стовпця цього стану$|\psi\rangle$:

\ [|\ psi\ rangle=\ лівий [\ почати {масив} {l}
\ sqrt {1/3}\
\ sqrt {2/3}
\ кінець {масив}\ справа]\ тег {10.6}\]

Відповідний вектор бюстгальтера представлений вектором рядка:

\ [\ ланголь\ psi|=\ лівий [\ почати {масив} {ll}
\ sqrt {1/3} &\ sqrt {2/3}
\ кінець {масив}\ праворуч]\ тег {10.7}\]

Щоб з'ясувати очікуване значення$x$ -spin, ми пробиваємо$\hat{S}_{x}$ оператор між векторами bra і ket для цього стану:

\ [\ почати {вирівняний}
\ лівий\ кут s_ {x}\ праворуч\ діапазон &=\ лівий\ ланкут\ psi\ ліворуч |\ капелюх {S} _ {x}\ праворуч |\ psi\ вправо\ діапазон\\
&=\ лівий [\ почати {масив} {ll}
\ sqrt {1/3} &\ sqrt {2/3}
\ кінець {масив} праворуч]\ ліворуч (\ frac {\ hbar} {2}\ праворуч)\ лівий [\ begin {масив} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ почати {масив} {l}
\ sqrt {1/3}\
\ sqrt {2/3}
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
&=\ ліворуч (\ frac {\ hbar} {2}\ праворуч)\ лівий [\ початок {масив} {ll}
\ sqrt {1/3} & ;\ sqrt {2/3}
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ почати {масив} {ll}
0 & 1\ 1 & 0\
кінець {масив}\ справа]
\ лівий [\ початок {масив} {c}\ sqrt {1/3}
\\ sqrt {2/3}\ кінець {масив}
\ праворуч]\ кінець {{вирівняний}
\ кінець {масив}
\ кінець {{вирівняний}\ тег {10.8}\]

(Все, що ми робили між двома останніми рядками, було витягнути скалярну$\hbar / 2$ константу спереду). У нас є рядок вектор раз матриця разів вектор стовпця. Це може виглядати страхітливим, але ми знаємо, як зробити матрицю раз вектор стовпця, так що давайте зробимо це в першу чергу. Це залишить нас з вектором рядка разів на вектор стовпця; ми знаємо, як це працювати, а також, залишаючи нам просто скаляр. Скаляр - це те, що нам потрібно для очікуваного значення.

\ [\ почати {вирівняний}
\ лівий\ кут s_ {x}\ праворуч\ діапазон &=\ лівий (\ frac {\ hbar} {2}\ праворуч) [\ sqrt {1/3}\ sqrt {2/3}]\ ліворуч [\ почати {масив} {c}
\ sqrt {2/3}\
\ sqrt {1/3}
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
&=\ ліворуч (\ FRAC {\ hbar} {2}\ праворуч)\ ліворуч (\ sqrt {\ frac {1} {3}}\ праворуч)\ вліво (\ sqrt {\ frac {2} {3}}\ праворуч) +\ ліворуч (\ sqrt {\ frac {2} {3}}\ праворуч)\ ліворуч (\ sqrt {\ frac {\ frac {2}} {3}}\ праворуч)\\
&=\ ліворуч (\ frac {\ hbar} {2}\ праворуч)\ frac {2}\ sqrt {2}} {3}\\
&=\ frac {\ sqrt {2}} {3}\ hbar
\ кінець {вирівняний}\ тег {10.9}\]

Це правдоподібне значення очікування. Це ні$\hbar / 2$ ні$-\hbar / 2$, а це означає, що це не певний стан для$x$ спина. Це добре, тому що держава явно не те саме, що$|+x\rangle$ коли ви виписуєте цю державу з точки зору$|+z\rangle$ і$|-z\rangle$. Це між цими двома. Тим не менш, від просто дивлячись на стан, в той час як ви можете досить швидко побачити, що$|-z\rangle$ має більше амплітуди$|+z\rangle$, ніж, і, таким чином, вимірювання$z$ спина буде давати$-\hbar / 2$ частіше$+\hbar / 2$, ніж, це не очевидно на всіх, просто дивлячись на стан, яке значення$x$ спина буде бути більш поширеним, і, таким чином, чи має значення$x$ очікування бути позитивним або негативним. В цьому випадку доведеться виконати розрахунок. Формулювання матриць спінових операторів робить обчислення швидшими та простішими, ніж вони були б, коли ви чітко виписуєте все з точки зору$z$ базових станів.

Ми також могли б швидко з'ясувати, яка амплітуда для вимірювання позитивного$x$ спина з цим формалізмом. Пам'ятайте, що для частинки в стані$|\psi\rangle$ амплітуда знаходження позитивного$x$ спина дорівнює$\langle+x \mid \psi\rangle$. Збираючи вектор$\langle+x|$ бюстгальтера з вектором стовпця для$|\psi\rangle$ вище, отримуємо:

\ [\ почати {вирівняний}
\ лангл+х\ середина\ psi\ діапазон &=\ лівий [\ почати {масив} {ll}
1/\ sqrt {2} & 1/\ sqrt {2}
\ кінець {масив}\ вліво [\ почати {масив} {c}
\ sqrt {1/3}\
\ sqrt {2/3}
\ кінець {масив}\ кінець {масив}\]\\
&=\ ліворуч (\ sqrt {\ frac {1} {2}}\ праворуч)\ ліворуч (\ sqrt {\ frac {1} {3}}\ праворуч) +\ лівий (\ sqrt {\ frac {2}}\ правий)\ лівий (\ sqrt {\ frac {2} {3}}\ праворуч)\\
&=\ sqrt {\ frac {1} {6}} +\ sqrt {\ розрив {1} {3}}\\
&=0.9856
\ end {вирівняний}\ тег {10.10}\]

Це висока позитивна амплітуда, що відповідає ймовірності 0,97, що позитивний$x$ спін буде вимірюватися для цього стану. Знову ж таки, без виконання розрахунків це зовсім не очевидно. Однак ця висока ймовірність позитивного$x$ спина узгоджується з тим, що значення очікування$x$ спина$\left\langle s_{x}\right\rangle$ є позитивним і лише трохи менше$\hbar / 2$.