8.2: Наближення WKB

Наближення WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) є, в сенсі, щоб бути зрозуміло нижче, квазікласичним методом розв'язання одновимірного (і ефективно одновимірного, такого як радіального) незалежного від часу рівняння Шредінгера. Нетривіальним кроком у методі є формули з'єднання (див. Нижче), цю проблему вперше вирішив лорд Релі (Proc. Рой. Соц. A, 86, 1912, 207) і, як зазначає Джефріс (Математична фізика, стор 526) «це було знову відкрито кількома пізнішими письменниками», припускається, посилаючись на W, K і B. До речі, англійці називають це наближенням Джефріса, або, якщо відчуваєте себе досить екуменічним, наближенням WKBJ. (У цій лекції ми розглядаємо лише пов'язані стани: найвідоміше застосування WKB,\(\alpha\) - розпад, було детально висвітлено в курсі квантової механіки бакалаврату, заснованому на книзі Гріффітса.)

Ми будемо стежити за розвитком в Ландау і Ліфшиці, які вважають все це досить очевидним, що вони не згадують жодного з цих людей. По суті, вони називають це

Напівкласичне наближення до провідного порядку

Розглянемо частинку, що рухається вздовж у повільно мінливому одновимірному потенціалі. Під «повільно змінною» ми маємо на увазі тут, що в будь-якій малій області хвильова функція добре наближена плоскою хвилею, і що довжина хвилі змінюється лише на відстані довгих порівняно з довжиною хвилі. Ми також припускаємо, що на даний момент частка має позитивну кінетичну енергію в області. За цих умов легко побачити загальну форму розв'язку незалежного від часу рівняння Шредінгера

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) \tag{8.2.1}\]

Дуже приблизно,\(\psi(x)\) буде виглядати,\(A(x)e^{\pm ip(x)x/\hbar}\) де\(p(x)\) знаходиться «місцевий імпульс», який ми визначаємо класично

\[ p(x)^2/2m+V(x)=E, \tag{8.2.2}\]

і повільно\(A(x)\) змінюється в порівнянні з фазовим фактором.

Очевидно, що це напівкласична межа:\(\hbar\) має бути досить малим, щоб було багато коливань на типовій відстані, на якій змінюється потенціал.

Щоб впоратися з цим трохи точніше, ми підкреслюємо швидку фазову варіацію в цій напівкласичній межі, написавши хвильову функцію.

\[ \psi(x)=e^{(i/\hbar)\sigma(x)} \tag{8.2.3}\]

і написання рівняння Шредінгера для\(\sigma(x)\).

Так від

\[ i\hbar\psi′(x)=-\sigma′(x)e^{(i/\hbar)\sigma(x)}, \tag{8.2.4}\]

і

\[ -\hbar^2\psi′′(x)=-i\hbar\sigma′′(x)e^{(i/\hbar)\sigma(x)}+(\sigma′(x))^2e^{(i/\hbar)\sigma(x)}, \tag{8.2.5}\]

Рівняння Шредінгера, записане для фазової функції, таке:

\[ -i\hbar\sigma′′(x)+(\sigma′(x))^2=(p(x))^2. \tag{8.2.6}\]

І, оскільки ми припускаємо, що система близька до класичної, має сенс розширити\(\sigma\) як ряд у\(\hbar\) (після Ландау та Ліфшица):

\[ \sigma =\sigma_0+(\hbar/i)\sigma_1+(\hbar/i)^2\sigma_2+\dots \tag{8.2.7}\]

Наближення нульового порядку дорівнює

\[ (\sigma′_0)^2=p^2 \tag{8.2.8}\]

і фіксація знака\(p\) по

\[ p(x)=+\sqrt{2m(E-V(x))} \tag{8.2.9}\]

робимо висновок, що

\[ \sigma_0=\pm \int p(x)dx. \tag{8.2.10}\]

(Як ми обговорювали в лекції про інтеграли шляху, в класичній межі домінує один шлях, а фаза хвильової функції - це\((i/\hbar )\) раз класична дія на цьому\(S\) шляху. У даному випадку ми вже враховували\(S=-Et\pm \int pdx\),\(Et\) оскільки ми маємо справу тут з незалежною від часу хвильовою функцією.)

Область валідності наближення

З рівняння Шредінгера видно\(-i\hbar\sigma′′(x)+(\sigma′(x))^2=(p(x))^2\), що це наближене рішення є дійсним лише в тому випадку, якщо ми можемо ігнорувати цей перший член. Тобто, ми повинні мати\[ |\hbar\sigma′′(x)/(\sigma′(x))^2|\ll 1, \tag{8.2.11}\]

або\[ \left| \frac{d(\hbar/\sigma′)}{dx}\right| \ll 1. \tag{8.2.12}\]

Але в провідному наближенні\(\sigma′=p\)\(p=2\pi \hbar/\lambda\), і, так умова\[ \frac{1}{2\pi} \left| \frac{d\lambda}{dx}\right|  \ll   1. \tag{8.2.13}\]

Це просто означає, що зміна довжини хвилі на відстані однієї довжини хвилі повинна бути невеликою. Очевидно, що це не завжди так: якщо частка обмежена привабливим потенціалом, на краю класично дозволеної області, тобто де,\(p\) дорівнює нулю\(E=V(x)\), а довжина хвилі нескінченна. Наближення лише добре далеко від тієї точки, до якої ми незабаром повернемося.

Поруч з Корекція провідного замовлення

Другий термін в\(\hbar\) розширенні фази,

\[\sigma =\sigma_0+(\hbar/i)\sigma_1+\dots\]

задовольняє

\[ -i\hbar\sigma′′_0+2\sigma′_0(\hbar/i)\sigma′_1=0 \tag{8.2.14}\]

так\[ \sigma′_1=-\sigma′′_0/2\sigma′_0=-p′/2p, \tag{8.2.15}\]

і\[ \sigma_1=-\frac{1}{2}\ln p. \tag{8.2.16}\]

Отже, хвильова функція в такому порядку:\[ \psi(x)=\frac{C_1}{\sqrt{p(x)}}e^{(i/\hbar )\int pdx}+\frac{C_2}{\sqrt{p(x)}}e^{-(i/\hbar )\int pdx}. \tag{8.2.17}\]

(Нагадаємо, ми зафіксували знак\(p\) бути позитивним.)

Щоб інтерпретувати\(\sqrt{p(x)}\) фактор, розглянемо перший член, хвилю, що рухається вправо. Оскільки\(p\) дійсна, експоненціальна має модуль одиниці, а локальна амплітуда в квадраті пропорційна\(1/p\)\(1/v\),\(v\) тобто де швидкість частинки. Це просто зрозуміти фізично: ймовірність знаходження частки в будь-якому заданому невеликому інтервалі пропорційна часу, який вона там проводить, отже, обернено пропорційна її швидкості.

Перейдемо тепер до хвильової функції в класично забороненому регіоні,\[ p(x)^2/2m=E-V(x)<0. \tag{8.2.18}\]

\(p\)Тут, звичайно, чисте уявне, але те ж формальне фазове рішення рівняння Шредінгера працює, знову за умови, що частка знаходиться далеко від точок, де\(E=V(x)\).

Хвильова функція:

\[ \psi(x)=\frac{C′_1}{\sqrt{|p(x)|}}e^{-(1/\hbar ) \int |p|dx}+\frac{C′_2}{\sqrt{|p(x)|}}e^{(1/\hbar )\int |p|dx}. \tag{8.2.19}\]

Формули з'єднання, граничні умови та правила квантування

Припустимо, ми маємо справу з одновимірним потенціалом, і класично дозволеним регіоном є\(b\le x\le a\). (Я просто слідую позначенню Ландау тут.) Зрозуміло, що в забороненій області праворуч\(\psi(x)\) з'являється лише перший член у вищезгаданому рівнянні для, і\(x<b\) лише для другого члена.\(x>a\) Крім того, у «внутрішньому» (класично дозволеному) області хвильова функція має коливальну форму\(b\le x\le a\), розглянуту раніше.

Але як нам з'єднати три регіони воєдино? Ми робимо припущення: ми вважаємо, що потенціал змінюється досить плавно, що це гарне наближення, щоб прийняти його як лінійний поблизу класичних поворотних точок. Тобто, ми припускаємо, що лінійний потенціал є досить хорошим наближенням до точки, де коротка довжина хвилі (або довжина розпаду для тунельних областей) є адекватним.

Тому поруч\(x=a\) ми беремо потенціал, щоб бути\[ E-V(x)\cong F_0(x-a) \tag{8.2.20}\]

(так\(F_0\) була б сила), а потім наближається хвильова функція відомим точним рішенням для лінійного всюди потенціалу: функції Ейрі.

Відомо, що для функції Ейрі рішення має форму\[ \psi(x)=\frac{C}{2\sqrt{|p(x)|}}e^{-(1/\hbar )\int_a^x |p|dx} \tag{8.2.21}\]

праворуч стає\[ \begin{matrix} \psi(x)=\frac{C}{|p(x)|}\cos\left( (1/h)\int_a^x pdx+\frac{1}{4}\pi \right) \\ =\frac{C}{|p(x)|}\sin\left( (1/h)\int_x^a pdx+\frac{1}{4}\pi \right) \end{matrix} \tag{8.2.22}\]

(Виведення цього «зв'язку» наведено в моїх примітках тут.)

При\(b\), той же аргумент дає\[ \psi(x)=\frac{C}{|p(x)|}\sin\left( (1/h)\int_b^x pdx+\frac{1}{4}\pi \right) . \tag{8.2.23}\]

Щоб ці два вирази були послідовними, ми повинні мати\[ \frac{1}{\hbar}\int_b^a pdx+\frac{1}{2}\pi =(n+1)\pi ,\; or\; \oint pdx=2\pi \hbar \left( n+\frac{1}{2}\right). \tag{8.2.24}\]

де останній інтеграл знаходиться над повним циклом класичного руху.

Тут \(n\) - кількість нулів хвильової функції: це умова квантування.

Пов'язання класичного часу ланцюга з квантованими енергетичними рівнями

Час для повної класичної схеми

\[T=2\int_b^a dx/v=2m\int_b^a dx/p\]

це площа класичного шляху у фазовому просторі, тому ми бачимо, що кожен стан має елемент фазового простору\(2\pi \hbar\). З цього можна з'ясувати приблизне розщеплення енергії між рівнями в квазікласичній межі: зміна інтеграла з енергією,\(\Delta E\) відповідною одному рівню, має бути\(2\pi \hbar\). Тобто,\[ \Delta E\oint (\partial p/\partial E)dx=2\pi \hbar . \tag{8.2.25}\]

Тепер\((\partial E/\partial p)=v\), так

\[\oint (\partial p/\partial E)dx=\oint dx/v=T.\]

Тому,\(\Delta E=2\pi \hbar/T=\hbar \omega.\)

Це просто говорить про те, що якщо частка випромінює один фотон і опускається на наступний рівень, частота випромінюваного фотона - це всього лише орбітальна частота частинки, дуже природний висновок в квазікласичній межі.

Радіальний корпус

У наведеному вище аналізі для частинки, обмеженої одним виміром, формули з'єднання можна зрозуміти за допомогою простої картини: хвильова функція «переливається» в заборонений режим, а її скручування там вважається додатковим\(\frac{1}{4}\pi\) зміною фази, тому в найнижчому стані загальна зміна фази в дозволений регіон потрібно тільки бути\(\frac{1}{2}\pi\). У радіальному випадку, припускаючи, що потенціал добре поводиться на початку, хвильова функція йде туди до нуля. Зв'язаний стан все ще буде виливатися за межі класичного поворотного моменту\(r_0\), скажімо, але очевидно, що має бути повна зміна фази\(\frac{3}{4}\pi\) в дозволеному регіоні для найнижчого стану, оскільки не може бути розливу до негативного\(r\).

Загальна формула буде

\[ \dfrac{1}{\hbar}\int_0^{r_0} p(r)dr=(n+34)\pi ,\; n=0,1,2,\dots , \tag{8.2.26}\]

ряд, що закінчується, якщо і коли точка повороту досягає нескінченності.

Попередження: насправді деякі потенціали, включаючи кулонівський потенціал і відцентровий бар'єр для\(l\neq 0\), насправді є одниною при\(r=0\). Ці випадки вимагають особливого лікування.