2.3: Функціональні простори

Лінійна алгебра в нескінченних розмірах

Мотивацією для нашого огляду лінійної алгебри стало спостереження, що множина розв'язків рівняння Шредінгера задовольняє деяким основним вимогам векторного простору, оскільки лінійні комбінації розв'язків дають інший розв'язок рівняння. Крім того, саме рівняння Шредінгера, як диференціальний оператор, що діє на функцію, передбачає, що концепція матричного оператора, що діє на вектори в n -вимірному векторному просторі, може бути поширена на більш загальні оператори, такі як диференціальні оператори, що діють на функції в нескінченний -вимірний простір.

Наш аналіз лінійних векторних просторів розпочався з визначення внутрішнього добутку, який використовувався для встановлення ортонормальної основи простору. Побудова чітко визначеної основи для простору всіх функцій на реальній осі звучить неможливо, і, ймовірно, є. На щастя, нам не потрібно бути настільки всеосяжними. З одного боку, нас не цікавлять функції з розривами, тому що в квантовій механіці це була б хвильова функція, що відповідає нескінченній енергії. (Ми можемо дозволити розриви в нахилі, хоча, як обговорювалося в лекції «Електрон у коробці», це відбувається лише там, де потенціал нескінченний. Нескінченні потенціали, звичайно, нефізичні, але в деяких випадках є зручними наближеннями, тому ми будемо тримати цю опцію відкритою.) Ще одне важливе обмеження виникає з вимоги, що хвильова функція описує одну частинку - вона повинна бути нормалізованою, тобто нормою.

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)dx <\infty \label{2.3.1}\]

і насправді\(\psi\) повинні бути масштабовані так, щоб цей інтеграл дорівнював одиниці для фактичного обчислення ймовірностей. Відзначимо\(\psi(x,t=0)\), що\(\psi(x)\) означає, але норма виявляється незалежною від часу, як і повинно бути, для випадку однієї частинки.

Спираючись на аналогію з n -мірними векторними просторами, вимога скінченної норми пропонує визначення внутрішнього добутку в функціональному просторі:\[ \langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f^*(x)g(x)dx \label{2.3.2}\]

Це визначення задовольняє вимогу Дірака\(\langle f|g\rangle^*=\langle g|f\rangle\), що, дає позитивну норму, і є лінійним в\(f,\; g\). Простір функцій з цим внутрішнім твором, причому з кінцевою нормою\(\sqrt{\langle f|f\rangle}\), пишеться\(L_2(-\infty,\infty)\) або просто\(L_2\). Кажуть, що функції «квадратні інтегровані».

Зверніть увагу, що цей внутрішній продукт нагадує лінійний алгебраїчний bra-ket продукт, якщо ми уявляємо кожну точку на лінії як незалежний базовий вектор - математично безглуздий, звичайно, але натяк на те, куди ми йдемо.

Електрон у коробці знову

В якості попереднього обговорення функцій на нескінченній лінії варто розглянути ті, які обмежені скінченним інтервалом\((0, L)\) і зникають на двох кінцях. Саме такі умови задовольняють хвильові функції електрон-в-коробці (див. попередню лекцію):

\[ |n\rangle=\psi_n(x,t=0)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L} \label{2.3.3}\]

Нагадаємо з лекції серії Фур'є, що будь-яку функцію без розривів можна представити у вигляді суми над компонентами Фур'є. Для даного випадку функцій, рівних нулю на двох кінцях (як і повинна бути будь-яка фізична хвильова функція в коробці) синусоїди\(|n\rangle\) вище утворюють повну множину, тобто в\(t = 0\), може бути записана будь-яка\(\psi(x)\) задовольняє граничній умові:

\[ |\psi(x)\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} a_n|n\rangle \label{2.3.4}\]

де, з ортонормальності базового множини\(|n\rangle\), коефіцієнти Фур'є\(a_n=\langle n|\psi\rangle\), так (роблячи явним, що насправді\(\psi(x)\) є кетом в цьому векторному просторі)

\[ |\psi\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n|\psi\rangle \label{2.3.5}\]

надання оператора ідентичності у просторі неперервних функцій, що зникають при 0 і\(L\):

\[ I=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n| \label{2.3.6}\]

точно аналогічно тому, що в скінченновимірних векторних просторах. Внутрішній твір двох функцій

\[ \psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n|n\rangle,\; \phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n|n\rangle \label{2.3.7}\]

визначено як у попередньому розділі

\[ \langle \phi|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \phi^*(x)\psi(x)dx \label{2.3.8}\]

еквівалентно, з точки зору коефіцієнтів Фур'є,\[ \langle \phi|\psi\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} b_n^*a_n \label{2.3.9}\]

і нормалізація\[ \langle \psi|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2=1 \label{2.3.10}\]

Отже, для хвильових функцій електрон-в-коробці ортонормальна основа синусоїдальних функцій дає чітко визначений нескінченновимірний векторний простір.

Раніше ми заявляли, що стандартна інтерпретація хвильової функції\(\psi(x)\) полягає в\(|\psi(x)|^2 dx\) тому, що ймовірність знаходження частинки в невеликому інтервалі\(dx\) поблизу\(x\), а на інтеграції\(x\) по всій повній ймовірності знаходження частинки одна. Але ми також могли б шукати частинку в певному стані, а не в певному невеликому інтервалі\(dx\). В даному випадку\(|a_n|^2\) є ймовірність знаходження частки в\(n^{th}\) стані. Це узгоджується з попередньою інтерпретацією, і паралельно нашому попередньому аналізу ймовірності частинки, що має певний імпульс. Коефіцієнт стану\(a_n\) називають амплітудою, а іноді і амплітудою ймовірності.

Вам може бути цікаво, як ми виміряємо, що частка знаходиться в певному стані. Відповідь - чекати, поки він вискочить. Якщо атом збуджується (наприклад, коротким сплеском випромінювання), він буде збуджений до стану, який є лінійною суперпозицією різних енергетичних власних станів\(\sum a_n|E_n\rangle\), а не до одного свого стану. Зазвичай він повернеться до основного стану, випромінюючи один або серію фотонів, а частота випромінюваного фотона виявляє різницю в енергії між атомними станами. Для сукупності атомів, збуджених однаково, відносні інтенсивності різних спектральних ліній дають відносні ймовірності різних станів. Звичайно, довгий майже монохроматичний хвильовий пакет вхідного випромінювання буде прагнути поставити всі збуджені атоми в один і той же стан.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Випишіть оператор ідентичності для електрона в поле,\(I=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n|\) використовуючи явну форму\(|n\rangle=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}\). Доведіть, що це еквівалентно дельта-функції при роботі з іншими функціями в межах коробки. Яка поведінка цієї функції поза коробкою?

Функції на нескінченній лінії

Що станеться, якщо ми візьмемо аналіз попереднього розділу і\(L\) відпустимо до нескінченності? Це паралельно аналізу (дві лекції назад) переходу від ряду Фур'є до перетворення Фур'є, сума над серією плоских хвиль, що задовольняють граничну умову, стає інтегралом над континуумом всіх плоских хвиль. У цій лекції ми побачили, що, як\(L\) йшов до нескінченності, амплітуда нормованих власних станів\(|n\rangle\) пішла до нуля\(1/\sqrt{L}\), як і тому і окремі коефіцієнти\(a_n=\langle n|\psi\rangle\). Однак щільність цих власних станів у імпульсному просторі збільшилася\(L\), так як загалом коефіцієнти\(L\) скасовані, а сума мала тенденцію до кінцевого інтегралу, зокрема

\[ \psi(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} a(k)e^{ikx}dk\]

із

\[a(k)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)e^{-ikx}dx \label{2.3.11}\]

Для електрона в коробці (ряд Фур'є) вище ми написали відповідне рівняння в позначенні Дірака як

\[ |\psi(x)\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} a_n|n\rangle\]

із

\[a_n=\langle n|\psi\rangle, \; so \; I=\sum_{n=1}^{\infty} |n\rangle \langle n| \label{2.3.12}\]

Заманливо записати аналогічні рівняння для нескінченного рядка, переводячи рівняння перетворення Фур'є в позначення Дірака і сліпо записуючи\(e^{ikx}=|k\rangle\):

\[ |\psi(x)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}a(k)|k\rangle, \; a(k)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)e^{-ikx}dx=\langle k|\psi(x)\rangle,\; I=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi} |k\rangle \langle k| \label{2.3.13}\]

Це виглядає добре, але має проблему - на відміну від базисних функцій ряду Фур'є\(|n\rangle\), ці «базисні стани» перетворення Фур'є є нескінченно довгими\(|k\rangle\) площинними хвильовими станами\(e^{ikx}\) і тому не нормалізуються в тому сенсі, який ми використовували цей термін досі. Вони навіть не в просторі, в якому ми повинні працювати!

Крім того, не\(|\langle k|\psi(x)\rangle|^2\) є ймовірність того, що вимірювання імпульсу електрона дасть саме це значення\(p=\hbar k\). Правильна імовірнісна інтерпретація для континууму k-значень точно паралельна континууму x-значень у звичайному просторі:\(|\langle k|\psi(x)\rangle|^2dk\) це ймовірність того, що вимірювання імпульсу знайде k -значення знаходиться в малому інтервалі ширини\(dk\) поблизу\(k\) . Імовірність йде до нуля з шириною інтервалу, і тому зникає мала, якщо ми вимагаємо точного значення\(k\).

Але ми ніколи не вимірюємо\(k\) з нескінченною точністю - це займе нескінченно великий апарат. Фізично значуща величина - це ймовірність знаходження\(k\) в невеликому інтервалі\(dk\) - на практиці, з реальними детекторами, ми завжди інтегруємо в деякому (малому) діапазоні\(k\).

Це означає, що ми можемо бути в порядку з цією основою континууму станів: ми не хочемо, щоб вони були нормалізовані традиційним способом\(\langle k|k\rangle=1\), тому що це відповідало б кінцевій ймовірності частинки, що має математично точне значення\(k\), що не робить фізичного сенсу - насправді це нісенітниця . Нормалізація, яка нам потрібна, - це та, яка має сенс у контексті інтеграла протягом невеликого інтервалу в\(k\) - але все ж, звичайно, протягом безперервної нескінченності базових станів!

З нашого попереднього визначення дельта-функції ми можемо виразити ортогональність цих\(|k\rangle\) станів:\[ \langle k'|k\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k-k')x}dx=2\pi\delta(k-k') \label{2.3.14}\]

і, оскільки\(\delta\) -функція нормалізується в тому сенсі, що вона має загальну вагу один в інтегралі, ми приймаємо це рівняння як визначення нормалізації функцій\(|k\rangle\). Тобто, ми приймаємо стан,\(|k\rangle\) щоб мати хвильову функцію\(Ae^{ikx}\) с\(A=1\).

Тепер дельта-функція значуща лише всередині інтеграла, тому і наша нормалізація, і формалізм, континуумна основа плоских хвильових станів з ортогональністю дельта-функції, хоча, можливо, залишає щось бажати кращого з суворої математичної точки зору, виявляється послідовним і надійний спосіб формулювання квантової механіки.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

З виразу для оператора ідентичності вище:

\(|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}|k\rangle\langle k|\psi\rangle\)

підставити\(|k\rangle=e^{ikx}\) і перевірити, що це має сенс.

Примітка: деякі автори вважають за краще визначати нормовані плоскі хвильові стани за\(|k\rangle=\sqrt{1/2\pi}e^{ikx}\) допомогою\(\langle k'|k\rangle=\delta(k'-k)\), в цьому випадку і\(dk/2\pi\) з'являється в вищезгаданому інтегралі для оператора ідентичності стає просто\(dk\). З нашою\(dk\) умовністю завжди з'являється з a\(2\pi\) в знаменнику.

Додаткове зауваження: деякі вважають за краще переходити до величезної, але не нескінченної коробки, тому базовим імпульсом власні хвильові функції є дискретним набором\(|k\rangle=\sqrt{\frac{1}{L}}e^{ikx}\), або в трьох вимірах\(|k\rangle=\sqrt{\frac{1}{V}}e^{i\vec k \cdot \vec x}\),\(V\) будучи об'ємом. Для цієї величезної коробки можна безпечно замінити суму над дискретними станами імпульсу інтегралом, маючи на увазі, що щільність станів у фазовому просторі пропорційна\(L\) дає\(\sum_n \equiv\int L\frac{dk}{2\pi}\) або\(\int V\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\) в трьох вимірах. \(V\)Фактори\(L\) або остаточно скасовуються в обчисленнях, як ми виявимо пізніше.

Рівняння Шредінгера як оператор на векторному просторі

Як ми розповідали на початку цього курсу, коли Шредінгеру було викликано знайти хвильове рівняння для електронної хвилі, він побудував одну паралель електромагнітному «фотонному хвильовому рівнянню», тобто він взяв рівняння енергії-імпульсу і написав

\[E=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}, \; p_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \label{2.3.15}\]

Він виявив, що тривимірний варіант побудованого таким чином диференціального рівняння може бути розв'язаний стандартними аналітичними методами для електрона в обернено-квадратному силовому полі — атома водню. Рішення стоячої хвилі дали правильний набір енергетичних рівнів - ті, що Бор знайшов раніше зі своєю спрощеною моделлю. Це підтвердило, що дійсно було виявлено хвильове рівняння, що описує поширення електронних хвиль, і це було

\[ \left( E-\frac{p^2}{2m}-V(x) \right)\psi(x,t)=0 \label{2.3.16}\]

з\(E,\; p\) диференціальними операторами, наведеними вище. Оскільки оператор у дужках лінійний, розв'язки\(\psi(x,t)\) утворюють лінійний векторний простір.

Диференціальні оператори: оператор імпульсу на\(L_2\)

Наше завдання тепер полягає в тому, щоб переробити цей старий підхід диференціальних операторів, що діють на хвильові функції в еквівалентній мові Дірака. Почнемо з найпростішого, оператора імпульсу. Для початку потрібно показати, що це Ерміціан. Хитрість полягає в інтеграції частинами:

\[ \langle \phi|p_x|\psi\rangle=-i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \phi^*(x)\frac{d\psi(x)}{dx}=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \psi(x)\frac{d\phi^*(x)}{dx}-[\phi^*(x)\psi(x)]_{-\infty}^{\infty} \label{2.3.17}\]

Останній термін, внесок від нескінченних кінцевих точок інтеграції, повинен бути нульовим, оскільки інтегровні квадратні функції повинні йти до нуля на нескінченності, тому

\[ \langle \phi|p_x|\psi\rangle=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \psi(x)\frac{d\phi^*(x)}{dx} \label{2.3.18}\]

Тепер\(p_x|\phi\rangle=-i\hbar d\phi/dx=|p_x\phi\rangle\), так\(\langle p_x\phi|=i\hbar d\phi^*/dx=\langle \phi|p_x^{\dagger}\), і

\[ \langle \phi|p_x|\psi\rangle=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx \psi(x)\frac{d\phi^*(x)}{dx}=\langle \phi|p_x^{\dagger}|\psi\rangle \label{2.3.19}\]

ми встановили, що\(p_x=p_x^{\dagger}\) між будь-якими двома станами в просторі: так це операторна ідентичність, і\(p_x=-i\hbar d/dx\) є Ермітіан. (\(i\)Важливо: диференціальний оператор\(d/dx\) поодинці не Ерміціан, це анти Ермітіан в\(L_2\)!

Так\(p_x\) і ермітієвий оператор, і тому має реальні власні значення, які він повинен мати, оскільки імпульс є фізичною величиною. Але які його власні вектори? Ми вже знаємо, звичайно, що це плоскі хвильові стани - це вся причина, чому саме цей оператор був обраний при побудові хвильового рівняння в першу чергу. Строго кажучи, хоча, як ми вже обговорювали, ці плоскі хвильові стани не знаходяться в\(L_2\). Тим не менш, будь-яка плавна функція в\(L_2\) може бути виражена як інтеграл над цими станами, тому вони складають повну основу для функцій, що мають відношення до фізики.

(Це правда, що пізніше, в теорії розсіювання та деяких інших місцях, ми можемо говорити про плоскі хвилі, не завжди роблячи інтеграл: таку вільну розмову слід розуміти як посилання на дуже довгий, але скінченний хвильовий пакет, добре наближений плоскою хвилею під час події розсіювання.)

Оператор позиції та його власні стани

«Положення» - це просто координатний\(x\), явно завжди реальний, і ермітієвий оператор.

Доказ:

\[ \langle \varphi|x|\psi\rangle=\int \varphi^*(x)x\psi(x)dx=(\int \psi^*(x)x\varphi(x)dx)^*=\langle \psi|x|\varphi\rangle^*\]

Ми чітко пояснимо, що в цьому контексті ми розглядаємо\(x\) як оператора, написавши його маленькою капелюхом,\(\hat{x}\). Не менш зрозуміло, що власні стани\(\hat{x}\), в яких частка має ймовірність того, що частка має ймовірність знаходження в певній позиції, повинні бути дельта-функціями, відповідними цій позиції: це єдина функція з нульовою ймовірністю знаходження частинки де-небудь ще. Так що якщо\(|a\rangle\) є власним станом\(x\) з власним значенням\(a\),\[ |a\rangle=C\delta(x-a) \label{2.3.20}\]

де\(C\) константа. Але, яке б значення ми не вибрали\(C\), ця хвильова функція, як власний стан імпульсу, не є нормалізованою - так, насправді,\(|a\rangle\) сама ніколи не може бути хвильовою функцією частинки!

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Візьміть своє улюблене визначення дельта-функції, і довести, що вона не нормалізується, як визначено в\(L_2\).

Рішення

(Це не було б фізично розумним у будь-якому випадку - локалізувати частинку до точки займе нескінченну енергію.) Але сукупність усіх\(|a\rangle\), безумовно, завершена, і в цьому полягає його цінність: вона є основою для простору. Конвенція полягає в тому, щоб «нормалізувати» ці кети, а точніше побудувати «ортонормальний набір», за аналогією з конвенцією ортонормалізації для станів імпульсу плоских хвиль, тобто прийняти

\[ \langle a|b\rangle=\delta(a-b)\]

З більш раннього результату

\[ \int \delta(a-x)\delta(x-b)dx=\delta(a-b) \]

з цього випливає відразу, що\(C=1\).

Тому,

\[ \langle x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dx'\delta(x-x')\psi(x')=\psi(x) \label{2.3.22}\]

Беручи внутрішній виріб\(|\psi\rangle\) з бюстгальтером\(\langle x|\) просто дає значення\(\psi\) в точці\(x\). Отже, будь-яка функція\(\psi(x)\) в\(L_2\) може бути записана:

\[ |\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle\langle x|\psi\rangle \label{2.3.23}\]

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Переконайтеся, що рівняння\ ref {2.3.23} вірно, знайшовши\(\langle x'|\psi\rangle\).

З Рівняння\ ref {2.3.23} випливає, що оператор ідентичності в\(L_2\) може бути записаний через власні стани\(\hat{x}\):\[I=\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle \langle x| \label{2.3.24}\]

З цього,\(|k\rangle\) може бути написано\[ |k\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle\langle x|k\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dxe^{ikx}|x\rangle \label{2.3.25}\]

і\[ |x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}|k\rangle\langle k|x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi}e^{-ikx}|k\rangle \label{2.3.26}\]

Це, можливо, найменш суворі рівняння в цьому розділі - ми виражаємо один набір станів поза з\(L_2\) точки зору іншого такого набору, використовуючи обидва множини як основи в\(L_2\)! Очевидно, що це має значення лише при\(|x\rangle\) стані, визначеному як межа нульової ширини звуження Гаусів (скажімо), і\(|k\rangle\) стан як межа довших і довших хвилепакетів, що прагнуть до одного k -значення. Проте, незважаючи на відсутність строгості у вищенаведеному викладі, ці стани, які використовуються з обережністю, насправді є надійними та ефективними інструментами аналізу квантових механічних проблем. Ми будемо використовувати їх часто.

Вправа: показати, що ці рівняння узгоджуються, підставляючи\(|k\rangle\) з першого в праву частину другого, щоб дати\(|x\rangle=|x\rangle\).

Гамільтонівський оператор

Гамільтоновий оператор дає час розвитку хвильової функції. Він відповідає загальній енергії. Якщо хвильова функція відповідає певній енергії, то залежність від часу може бути врахована, а просторова хвильова функція є розв'язком незалежного від часу рівняння Шредінгера:\[ H\psi(x)=\left( \frac{p^2}{2m}+V(x) \right)\psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) \label{2.3.27}\]

_{Оскільки ми розглядаємо тільки простір\(L_2\) хвильових функцій, на якому обидва\(p\) і\(x\) є Ермітієвими,\(H\) повинен бути ермітом, і тому має реальні власні значення.}

Основні правила квантової механіки

Будь-яка квантова механічна хвильова функція повинна бути нормалізованою, оскільки норма являє собою сумарну ймовірність знаходження частинки (або, більш загалом, системи) десь у своєму фазовому просторі, тому

Перше основне правило: будь-який стан частинки є кетом\(|\psi\rangle\), що символізує функцію\(\psi(x)\) в\(L_2\).

Математики використовують термін Гільбертовий простір для позначення внутрішньо-добуткових просторів нормалізованих функцій таким чином, що будь-яка збіжна послідовність у просторі має межу в просторі (властивість, якої, наприклад, раціональні числа не мають, але дійсні числа). Наші функції вище для електрона в коробці утворюють такий простір, при цьому синусоїдальні хвилі є ортонормальною основою. Однак, переходячи до нескінченної лінії, хоча у нас все ще є нормалізовані хвильові функції, дві основи, про які ми говорили вище, плоскі хвилі (базисний імпульс) та дельта-функції (базис позиції) не є самими собою в просторі - під яким ми маємо на увазі, що вони не нормалізовані, як визначено в \(L_2\).

Але ці основи обидва є повними, тобто будь-яка хвильова функція може бути виражена через (безперервну) суму над елементами будь-якого з них.

Побудова цих повних, але не умовно нормованих основ була Діраком і надзвичайно зручна в описі квантової механіки. Але це засмутило математиків. На щастя, пізніше вони обгрунтували це, винайшовши теорію розподілів, які є узагальненими функціями, і включають в себе дельта-функції.

Підсумок: ми будемо слідувати за іншими фізиками, використовуючи термін «Гільбертовий простір» більш вільно, ніж математики, щоб посилатися на\(L_2\), розширені, щоб включити ці нерегулярні основи.

Наступне основне правило: Фізична змінна, або спостережувана, відповідає оператору Ерміта,\(A\) що діє на\(L_2\).

Припустимо, що власники будь-якої такої змінної охоплюють простір: це завжди вірно для скінченномірного простору, як обговорювалося раніше, але не для загального ермітієвого оператора в гільбертовому просторі, тому це нетривіальне припущення.

Для оператора з дискретною множиною власних значень може бути записана будь-яка хвильова функція\(A|n\rangle=\lambda_n|n\rangle\)\[ |\psi\rangle=\sum c_n|n\rangle,\; with \; c_n=\langle n|\psi\rangle \label{2.3.28}\]

Правило для зв'язку операторів з експериментами: будь-яке вимірювання значення фізичної змінної\(A\) дасть одне з власних значень\(\lambda_n\) оператора\(A\), і ймовірність знаходження конкретного значення \(\lambda_n\)дорівнює\(|c_n|^2=|\langle n|\psi\rangle|^2\).

Очікуване значення спостережуваного\(A\) - це середнє значення серії вимірювань на однакових квантових системах,\[ \langle A\rangle=\langle \psi|A|\psi\rangle=\sum |c_n|^2\lambda_n \label{2.3.29}\]

Важливо зазначити, що два вимірювання однакових спостережуваних в\(A\) одній системі, одне вимірювання проводиться відразу за іншим, повинні дати однаковий результат. Тобто, якщо перше вимірювання читає\(\lambda_n\), друге повинно бути\(\lambda_n\) зі 100% ймовірністю. Але це може статися лише в тому випадку, якщо хвильова функція після першого вимірювання є\(|n\rangle\), чого взагалі не було до першого вимірювання. Опис жаргону цього полягає в тому, що акт вимірювання «руйнує хвильову функцію» на одне з власних станів вимірюваної змінної.

Вимірювання змінної континууму: Для змінних, таких як положення та імпульс, що мають набори континууму власних векторів, статистична інтерпретація полягає в знаходженні частинки в деякому малому діапазоні - ймовірність знаходження її між\(x\) і\(x+dx\) - є\[ \langle\psi|\int_{x}^{x+dx} dx|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int_{x}^{x+dx} |\psi(x)|^2dx \label{2.3.30}\]

і очікуване значення\(x\) є\[ \langle \psi|x|\psi\rangle=\langle\psi|\hat{x}\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x|\psi(x)|^2dx \label{2.3.31}\]

де ми поклали маленький капелюх на,\(x\) щоб нагадати нам, що це оператор, з власними\(|x\rangle\).