1.2: Рання квантова механіка

Це лише швидкий огляд експериментальної основи квантової механіки та деяких ранніх формулювань. Звичайно, вам не потрібно знати історичні факти, але деякі аргументи фізики варто згадати - наприклад, виведення Бора константи Рідберга з його модельного атома.

Навіщо потрібна квантова механіка?

Трохи більше 100 років тому, в 1890-х роках, фізика виглядала в досить гарній формі. Прекрасний математичний розвиток механіки Ньютона в поєднанні зі все більш досконалими технологіями передбачали рухи Сонячної системи з неймовірною точністю, крім крихітного розбіжності на орбіті Меркурія. Минуло менше ста років, як було усвідомлено, що електричний струм може чинити силу на магніт, але це відкриття призвело до електростанцій, електропоїздів та мережі телеграфних проводів через сушу та під океанами. Минуло також лише сто років з тих пір, як було встановлено, що світло - це хвиля, і лише сорок років з моменту усвідомлення Максвелла, що хвилі в світловому сигналі були електричними та магнітними полями, задовольняючи хвильове рівняння, яке він зміг вивести чисто, розглядаючи електричне та магнітне поле. явища. Зокрема, він зміг передбачити швидкість світла шляхом вимірювання електростатичних сил притягання між зарядами і магнітних сил між струмами.

Приблизно в той же час у 1860-х роках Максвелл і Больцман дали блискучий звіт про властивості газів, припускаючи, що вони складаються з слабо взаємодіючих молекул, що летять в контейнері, відскакуючи від боків, зі статистичним розподілом енергій так, що ймовірність молекули наявність енергії\(E\) була пропорційною\( e^{-E/kT} \),\(k\) будучи універсальною константою, відомою як константа Больцмана. Больцман узагальнив цей результат від коробки газу до будь-якої системи. Наприклад, тверде тіло можна класично уявити як решітку куль (атомів), з'єднаних пружинами, які можуть витримувати коливання різними способами, кожен такий режим можна розглядати як простий гармонічний генератор, з розумними наближеннями щодо властивостей пружин тощо. Робота Больцмана призводить до висновку, що кожен такий режим коливання, або ступінь свободи,\(T\) мав би при температурі середню енергію\(kT\), що складається з\( \frac{1}{2} kT\) потенційної енергії,\( \frac{1}{2} kT\) кінетичної енергії. Зверніть увагу, що ця середня енергія не залежить від сили пружин, або мас! Всі режими вібрації, які будуть вібрувати з дуже різною швидкістю, містять однакову енергію при одній і тій же температурі. Цей рівний розподіл називається рівноділенням енергії. Це неважко перевірити для одновимірного класичного гармонійного генератора, усереднення енергії шляхом інтеграції по всіх переміщеннях і моментах (незалежно) з ваговим коефіцієнтом\( e^{-E/kT} \) (який, звичайно, потрібно нормалізувати). Результат не залежить від постійної пружини або маси. Результат Больцмана дав відмінний звіт про питомі нагрівання широкого спектру матеріалів в широкому діапазоні температур, але були деякі винятки, наприклад, газ водню при низьких температурах і навіть твердих речовин при досить низьких температурах. Тим не менш, загалом вважалося, що ці проблеми можуть бути вирішені в існуючих рамках, так само, як трохи дивна поведінка Меркурія, ймовірно, була викликана невеликою планетою, названою Вулкан, ближче до сонця, і так дуже важко спостерігати.

Випромінювання чорного тіла

Але була одна проблема, яку важко було отримати зчеплення, очевидно, кричуще порушення рівноділення енергії. Розглянемо піч з невеликим отвором в дверцятах, через яке спостерігається випромінювання всередині. Цю духовку можна нагрівати, поки вона не стане білою гарячою. Випромінювання всередині інфрачервоне при низьких температурах, стає видимим світлом при підвищенні температури. Отже, піч повна електромагнітних хвиль, задовольняючи хвильове рівняння Максвелла, з граничними умовами на стінках печі, електричне поле має бути там по суті нульовим, тому що стінки проводять струми. Звичайно, випромінювання бере початок в коливальних зарядах в стінках, використовуючи той же аналіз рівнянь Максвелла, який надає випромінюванню форму антени. Так чи інакше, всередині печі існує набір режимів стоячої хвилі електромагнітних коливань, всього лише тривимірний варіант серії дозволених стоячих хвиль режимів вібрації струни, закріпленої на обох кінцях. Отже, ми повинні бути в змозі знайти щільність енергії цих хвиль, використовуючи ті самі ідеї, які працювали досить добре для питомої теплоти твердих тіл і газів, тобто припустити, що в кожному режимі вібрації є енергія.\(kT\) (Це\( \frac{1}{2} kT \) кінетична енергія,\( \frac{1}{2} kT \) потенційна енергія для кожного незалежного напрямку вібрації.)

Але—це призводить до катастрофи. Проблема в тому, що режимів вібрації електромагнітного поля в духовці нескінченно багато. Немає верхньої межі кількості коливань, які хвиля може мати між стінами. Отже, якщо взяти\(kT\) в кожному режимі, то виведемо, що піч містить нескінченну кількість енергії, і випромінює нескінченну кількість через наш маленький отвір. Крім того, цей аналіз не дає уявлення про те, чому колір, який ми бачимо, змінюється з температурою. Очевидно, що рівноподіл енергії в даному випадку не працює. У духовці є лише кінцева кількість енергії - і при низьких температурах взагалі немає енергії в режимах, що відповідають видимому світлу, хоча це змінюється, коли все стає спекотнішим.

У 1890-х німецькі експериментатори вимірювали щільність енергії як функцію довжини хвилі з великою точністю, це називається спектром випромінювання чорного тіла. Теоретик Планк знайшов математичну формулу, яка точно відповідає цій кривій,

\[ R_T(\nu) d\nu = \dfrac{8\pi h V \nu^3 df / c^3}{e^{h\nu/kT}-1} \tag{1.2.1}\]

Він спочатку не мав жодного теоретичного обґрунтування цієї формули, але це було дуже точне пристосування до деяких дуже точних експериментів для відповідного значення константи\(h\), яке ми обговорюємо за мить.

Враховуючи кількість режимів коливання в діапазоні частот\(d\nu\), формула Планка дає середню енергію на режим, яка буде

\[ \dfrac{h \nu}{e^{h\nu/kT}-1} \tag{1.2.2}\]

Для низьких\(h \nu << kT\) частот це правильно\(kT\) дає режим.

Але, для більш високих частот зрозуміло, що осцилятори не отримують своєї «справедливої\(kT\) частки» енергії. Якось коливальні заряди в стінках випромінюють не так багато енергії на високих частотах. Єдиний спосіб, яким Планк міг теоретично вивести формулу, - це зробити дивне припущення: він припустив, що коливальні заряди в стінках не можуть просто випромінювати енергію безперервно, як передбачали б рівняння Максвелла (і, як було відомо, вірно для звичайних антен), але були дозволені лише випромінювати енергію в шматках він називав квантами. Крім того, кількість енергії в одному кванті залежало від частоти коливань, фактично лінійно: для\(f\) частоти квант має енергію\(hf\), де\(h\) константа, введена в формулу вище, тепер відома як постійна Планка. Звідси випливає, що самі осцилятори могли коливатися лише з енергіями, які утворюють сходи з кроками\(hf\) один від одного, вище деякої найнижчої енергії, яка була б їх енергією при абсолютній нульовій температурі.

Формула випливає, якщо припустити, що коливальний компонент поля в печі, що має частоту,\(f\) може мати лише ціле число квантів енергії, тобто її енергія повинна бути однією з:\(0, hf, 2hf, 3hf, …\) Якщо ми далі припустимо, що відносна ймовірність того, що вона має енергію\(E\) є\( e^{-E/kT} \), то його відносні ймовірності наявності енергії\(0, hf, 2hf, …\) знаходяться в співвідношенні 1:\( e^{-hf/kT}) \): і\( e^{-2hf/kT} \) т.д.

Фактичні ймовірності задаються діленням цих відносних ймовірностей на суму всіх з них. Вони явно є термінами геометричного ряду, тому їх сума справедлива\( 1/(1-e^{-hf/kT}) \). Отже, щоб знайти середню енергію в осциляторі, ми беремо можливі енергії\(0, hf, 2hf, 3hf, …\) і обтяжуємо кожну з них своєю ймовірністю виникнення, тобто повинні знайти\[0\cdot 1+hf\cdot e^{-hf/kT}+2hf\cdot e^{-2hf/kT}+..., \tag{1.2.3}\] і розділити суму на\( 1/(1-e^{-hf/kT}) \).

Отже, квантове припущення Планка пояснює спостережувану криву випромінювання чорного тіла. Він також дає якісне пояснення зміни кольору випромінюваного світла при підвищенні температури. Осцилятори в стінках отримують свою енергію від теплових коливань сусідніх молекул: як правило, така вібрація має енергію порядку\(kT\), з ймовірністю більшої кількості енергії знижується як\( e^{-E/kT} \). Це означає, що якщо потенційно випромінюючий генератор може поглинати енергії тільки в квантах\(hf\), якщо\(kT\) <<\(hf\), він буде дуже малоймовірно поглинати будь-яку енергію, а тому дуже малоймовірно випромінювати. У тривимірній печі кількість коливань стоячої хвилі в невеликому діапазоні частот\(\Delta f\) збільшується,\(f\) оскільки\(f^2\) ми виявляємо, що максимальна інтенсивність випромінювання відбувається на\(f\) такій частоті, яка\(hf\) є порядком\(kT\). Тому з підвищенням температури збільшується частота, на якій відбувається найбільш інтенсивне випромінювання, а значить, і колір переходить від червоного до синього.

Фотоелектричний ефект

Якщо світло світить на певні метали, випромінюються електрони. Це фотоелектричний ефект. Якщо метал знаходиться в повітрі, електрони відскакують від молекул повітря і майже напевно швидко реабсорбуються, але якщо поверхня металу знаходиться у вакуумі, електрони можуть відлітати, а у вакуумній трубці вони можуть бути зібрані іншим шматком металу, і світло може спричинити потік струму, походження фотоелемент.

У 1902 році Ленард вивчив, як енергія випромінюваних фотоелектронів змінювалася в залежності від інтенсивності світла. Він використовував вуглецевий дуговий світло, і міг збільшити інтенсивність в тисячу разів. Викинуті електрони потрапили в іншу металеву пластину - колектор, який був з'єднаний з катодом проводом з чутливим амперметром, для вимірювання струму, виробленого освітленням. Щоб виміряти енергію викинутих електронів, Ленард зарядив колекторну пластину негативно, щоб відбити надходять до неї електрони. Таким чином, тільки електрони, викинуті з достатньою кінетичною енергією, щоб піднятися на цей потенційний пагорб, сприяли б струму. Ленард виявив, що існує чітко визначена мінімальна напруга, яка зупиняла будь-які електрони, які пробираються, ми це назвемо\(V_{stop}\). На його подив він виявив, що зовсім\(V_{stop}\) не залежить від інтенсивності світла! Подвоєння інтенсивності світла подвоїло кількість випромінюваних електронів, але не впливало на енергії випромінюваних електронів. Він також виявив, використовуючи світло різних кольорів, що максимальна енергія електронів збільшувалася зі збільшенням частоти падаючого світла.

Ейнштейн пропонує пояснення

У 1905 році Ейнштейн дав дуже просту інтерпретацію результатів Ленарда. Він просто припустив, що вхідне випромінювання слід розглядати як кванти частоти\(hf\), з\(f\) частотою. У фотоемісії один такий квант поглинається одним електроном. Якщо електрон знаходиться на деякій відстані від матеріалу катода, деяка енергія буде втрачена, коли він рухається до поверхні. Завжди буде певна електростатична вартість, оскільки електрон залишає поверхню, це зазвичай називається робочою функцією,\(W\). Найбільш енергійними випромінюваними електронами будуть ті, що дуже близькі до поверхні, і вони залишать катод з кінетичною енергією

\[ E=hf-W \tag{1.2.4} \]

На провертання негативної напруги на пластині колектора поки струм просто не припиниться, тобто\(V_{stop}\), щоб електрони найвищої кінетичної енергії повинні були мати енергію\(eV_{stop}\) на вихід з катода. Таким чином,

\[ eV_{stop}=hf-W \tag{1.2.5} \]

Таким чином, теорія Ейнштейна робить дуже певне кількісне прогнозування: якщо частота падаючого світла варіюється, і\(V_{stop}\) побудована як функція частоти, нахил лінії повинен бути\(h/e\). Зрозуміло також, що існує мінімальна частота світла для даного металу, та, для якої квант енергії дорівнює робочій функції. Світло нижче цієї частоти, яким би яскравим не було, не викличе фотовипромінювання.

Спроби Міллікана спростувати теорію Ейнштейна

Якщо прийняти теорію Ейнштейна, то це зовсім інший спосіб вимірювання константи Планка. Американський фізик-експериментал Роберт Міллікан, який не прийняв теорію Ейнштейна, яку він розглядав як напад на хвильову теорію світла, працював десять років, до 1916 року, над фотоефектом, щоб спростувати теорію Ейнштейна. Він навіть розробив методи вискоблювання очищення металевих поверхонь всередині вакуумної трубки. За всі свої зусилля він знайшов невтішні результати (для нього!) : він підтвердив теорію Ейнштейна, вимірюючи константу Планка всередині цим\(0.5\%\) методом. Однією з втіх було те, що він дійсно отримав Нобелівську премію за цю серію експериментів.

Слід підкреслити, що одне і те ж значення для константи Планка,\(6.6 \times 10^{-34} \) Joule.Sec, виникає з двох абсолютно різних експериментів: вимірювання випромінювання чорного тіла та вимірювання енергій випромінюваних електронів у фотоелектричному ефекті. Це явно загальна властивість електромагнітного випромінювання, і підтверджується багатьма більш пізніми експериментами, наприклад Комптонським розсіянням, при якому світло розсіює електрони. Вимірюючи зміну енергії та зміну імпульсу електрона, встановлено, що один квант світла був розсіяний. (При дуже високих енергіях може генеруватися більше частинок.)

Природа світла

Експериментально твердо встановлено, що поширення світла добре описується хвильовим рівнянням, яке насправді нескладно вивести з рівнянь Максвелла:\[ \nabla^2 \vec E -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=0 \tag{1.2.6}\]

Для плоской хвилі, що рухається у напрямку x, це зводиться до

\[ \frac{\partial^2 \vec E}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} =0 \tag{1.2.7} \]

Монохроматичне рішення цього хвильового рівняння має вигляд

\[ \vec E (x,t)= \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} \tag{1.2.8} \]

(Інше можливе рішення пропорційно\( cos(kx-\omega t) \). Виявимо, що експоненціальна форма, хоча і комплексне число, виявляється більш зручною. Фізичне електричне поле можна вважати реальною частиною експоненціальної для класичного випадку.)

Застосування диференціального оператора хвильового рівняння до нашого плоского хвильового розв'язку

\[ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)}= \left(k^2 -\frac{\omega^2}{c^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} =0 \tag{1.2.9} \]

Якщо плоска хвиля є рішенням хвильового рівняння, це повинно бути вірним для всіх\(x\) і\(t\), тому ми повинні мати\[ \omega =ck \tag{1.2.10}\]

Вирішення цього рівняння для граничних умов, таких як антена, може бути досить складним завданням, але все, що нам потрібно розглянути на даний момент, - це деяка ілюстрація дифракції. Ми беремо випадок експерименту з подвійною щілиною: якщо плоска хвиля зіткнеться з бар'єром з двома рівними вузькими паралельними щілинними отворами, передана хвиля, що досягає екрана на деяку відстань далі, покаже ряд яскравих і темних смуг паралельно щілинам. Ця закономірність може бути кількісно врахована. Дві щілини передають випромінювання по фазі один з одним. У кожній точці екрану вектор електричного поля з щілини 1 повинен бути доданий до вектору електричного поля з щілини 2. У точці на екрані, рівновіддаленій від двох щілин, вектори електричного поля будуть рівними. Відсуваючись від цієї точки в напрямку, перпендикулярному до щілин, ми досягнемо точки, де поле з однієї щілини точно поза фазою з поля з іншого щілини - екран буде темним.

Насправді інтенсивність світла в будь-якій точці екрану пропорційна\( |E_0 |^2\).

Тепер розглянемо, що відбувається, коли ми робимо світло диммером і диммером. Наскільки легко побачити цю дифракційну картину? Врешті-решт нам потрібно супнути наш апарат виявлення. Ми замінюємо наш екран і візуальний огляд серією фотоприймачів. Експериментально ми виявляємо, що, як і в фотоелектричному ефекті, наші детектори виявлятимуть лише кванти, так само, як якби світло складався з частинок, фотонів. Припустимо, тепер ми затемнюємо світло, щоб наші фотоприймачі виявляли лише один фотон на хвилину, що надходить через щілини. Якщо ми запишемо, де кожен фотон приземляється, і створимо картинку, то знайдемо той самий візерунок світлих і темних смуг, який ми бачили при яскравому світлі.

Іншими словами, якщо ми посилаємо через один фотон, ми не можемо передбачити, куди він приземлиться, але якщо ми відправимо через тисячу, ми почнемо розпізнавати смуги. Найкраще, що ми можемо зробити для одного фотона, - це сказати, що він, швидше за все, приземлиться там, де рішення хвильового рівняння Максвелла дає великий\( |E_0 |^2\). \( |E_0 (x)|^2\)Тобто пропорційно ймовірності знаходження фотона на\(x\).

Але це означає, що кожен фотон, мабуть, пройшов обидві щілини! Розподіл ймовірності для одного фотона задається смугами, а відстань між смугами залежить від відстані між щілинами. Фотон, отже, знає про обидві щілини. Отже, суть полягає в тому, щоб знайти, де буде один фотон, вирішити хвильове рівняння, щоб знайти електричне поле скрізь на екрані. Імовірність посадки фотона в будь-якій конкретній точці пропорційна\( |E_0 |^2\) цій точці.

Щоб проілюструвати, наскільки це дивно насправді, розглянемо промінь фотонів, розділених на два на половину посріблені дзеркала, два напівпромені, ніж слідують широко відокремленим шляхом, поки вони не возз'єднаються відповідною послідовністю дзеркал, щоб заважати один одному. Відправляючи по одному фотону за раз, ми врешті-решт створимо якусь дифракційну картину. Отже, якщо ми думаємо про початковий фотон як про «хвильовий пакет», він розділиться на дві половини «хвильових пакетів», які, нарешті, будуть заважати один одному. Тепер припустимо, я поставив\(100\%\) ефективні детектори фотонів на обох шляхах. Якщо я посилаю фотони через апарат по одному, то отримую серію кліків від двох детекторів: шлях 1 клацання, шлях 1 клацання знову, шлях 2 клацання і т.д.: випадковий ряд. Я ніколи не отримую обох натискань одним фотоном. (Ми можемо затемнити світло досить, щоб фотони були далеко один від одного, тобто вони, безумовно, приходять по одному.) Що це говорить нам про природу хвильової функції?

Ви можете бути схильні думати, що фотон йде навмання, половина часу, коли він йде по одному шляху, половина часу інший. Тобто фотон дійсно знаходиться на одному з шляхів, ми просто не знаємо, який, поки не виявимо його, і хвильова функція представляє наше незнання. Ми знаємо, що як тільки ми виявимо фотон на одному шляху, існує нульова ймовірність знайти його на іншому шляху - так що частина хвильової функції пішла! Але чи справді це там, в першу чергу, для цього конкретного фотона? Так: інша половина хвильового пакета, мабуть, була там, тому що якби я не захопив фотон детектором на шляху, дві половинні хвильові функції пішли б на перешкоди йому, щоб дати дифракційну картину. Отже, ця лінія мислення неправильна: ми не можемо сказати, що фотон «дійсно знаходиться» на одному з двох шляхів, перш ніж ми його виявимо.

Природа матерії

До 1890-х і початку 1900-х років більшість вчених вірили в існування атомів. Не все—видатний німецький хімік Оствальд, наприклад, не робив. Але чіткої картини навіть атома водню ніхто не мав. Електрон щойно був відкритий, і вважалося, що атом водню має єдиний електрон. Було висловлено припущення, що, можливо, електрон йшов колами навколо центрального заряду, але ніхто не вірив, що тому, що Максвелл встановив, що прискорювальні заряди випромінюють, тому передбачалося, що циркулюючий електрон швидко втратить енергію, спіраль до центру, і атом зруйнується. Натомість вважалося, що атом водню (який, звичайно, був електрично нейтральним) - це кулька позитивно зарядженого желе з електроном всередині, який коливався при нагріванні і випромінював випромінювання. Грубі розрахунки, засновані на прийнятому розмірі атома, припустили, що випромінювання буде знаходитися у видимому діапазоні, але віддалено відтворити відомий спектр водню ніхто не зміг.

Великий прорив стався в 1909 році, коли Резерфорд спробував картографувати розподіл позитивного заряду у важкому атомі (золоті) шляхом розсіювання з нього альфа-частинок. На його подив, він виявив, що позитивний заряд був зосереджений у крихітному ядрі, з радіусом порядку десятитисячного атома. Це означало, що все-таки електрони повинні йти по якихось планетарних орбітах, а прогнозування випромінювання Максвелла рівнянь не застосовувалося, так само, як це не завжди застосовувалося в випромінюванні чорного тіла.

Атом Бора

Датський теоретик Нільс Бор відвідував Манчестер в той час, коли Резерфорд робив цей експеримент, і Бор вирішив, що в атомі, де не відбувалося класичне прискорення випромінювання, повинні бути певні дозволені набори електронних орбіт: він назвав їх «стаціонарними станами». Найнижчий енергетичний стаціонарний стан буде основним станом атома, інші врешті-решт перейдуть до цього стану, випромінюючи фотони, відповідні енергетичним відмінностям між станами.

Але Бор вважав, що дивитися на дуже складні спектри, випромінювані нагрітими атомами, ніколи не буде корисним - він зауважив, що це було б як намагатися зрозуміти фундаментальну біологію, вивчаючи кольори крил метелика.

Він передумав у лютому 1913 року, коли випадкова розмова з спектроскопістом Х.Р. Хансеном виявила, що одна закономірність була помічена в явному хаосі спектральних ліній. Зокрема, Хансен (колега і колишній однокласник Бора) показав йому формулу Балмера для водню. Бальмер був викладачем математики та латинської мови в школі для дівчаток у Швейцарії, і знайшов свою формулу в 1880-х роках.

\[ \frac{1}{\lambda}=R_H \left(\frac{1}{4} -\frac{1}{n^2} \right) \tag{1.2.11} \]

для послідовності довжин хвиль випромінюваного світла, з\(n = 3, 4, 5, 6\) перебуванням у видимому, лініях, використовуваних Бальмером при знаходженні формули. Хансен, безсумнівно, повідомив Бору, що\(1/4\) його можна замінити\(m\) іншим\(1/m^2\) цілим числом. Постійна, що з'являється з правого боку, називається постійною Рідберга,\(R_H\) = 109 737 см ^-1. (Це сучасне значення - Бальмер отримав його право на одну частину в 10 000, про межу спектральних вимірювань на той час.)

Бор сказав пізніше: «Як тільки я побачив формулу Балмера, все це було відразу зрозуміло для мене». Він побачив, що набір дозволених частот (пропорційних зворотним довжинам хвиль), що випромінюється атомом водню, може бути виражений як відмінності. Це відразу ж запропонувало йому узагальнити його уявлення про «стаціонарному стані» найнижчого енергетичного рівня, при якому електрон не випромінював. Повинна бути ціла послідовність цих стаціонарних станів, при цьому випромінювання відбувається лише в міру того, як атом перескакує з однієї на іншу нижчої енергії, випромінюючи єдиний квант частоти,\(f\) такий, що\[ hf=E_n-E_m \tag{1.2.12}\] різниця між енергіями двох станів.

Очевидно, від формули Бальмера та її розширення до загальних цілих чисел\(m\)\(n\), ці дозволені не випромінюючі орбіти, стаціонарні стани, можуть бути позначені 1, 2, 3,... ,\(n\),... і мав енергії

\[ E_n=-hcR_H/n^2 \tag{1.2.13} \]

використовуючи\( \lambda f=c \) і рівняння Бальмера вище.

Енергії, звичайно, негативні, тому що це пов'язані стани, і ми приймаємо нуль енергії, щоб бути там, де дві частинки знаходяться в спокої нескінченно далеко один від одного.

Бор був добре знайомий з динамікою простих кругових орбіт у зворотному квадратному полі. Він знав, що якщо енергія орбіти була\( -hcR_H/n^2 \), це означало кінетичну енергію електрона\( \frac{1}{2} mv^2=hcR_H/n^2 \), а потенційна енергія буде

\[ -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r_n} =-\frac{2hcR_H}{n^2} \tag{1.2.14} \]

Відразу випливає, що радіус\(n^{th}\) орбіти пропорційний\(n^2\), а швидкість на цій орбіті пропорційна\(1/n\).

Звідси випливає, що кутовий імпульс \(n^{th}\)орбіти просто пропорційний \(n\): і Бор знав , що постійна Планка, основу квантової теорії мали розміри кутового моменту!

Очевидно, тоді кутовий імпульс на\(n^{th}\) орбіті був\(nKh\), де\(h\) постійна\(K\) Планка і деякий множник, однаковий для всіх орбіт, ще належить визначити.

По суті, значення\(K\) випливає з наведених вище результатів. \(R_H\),\(m\),\(h\), і всі відомі величини (\(c\)\(R_H\)вимірюються експериментально шляхом спостереження за лініями в ряді Бальмера), тому наведені вище формули відразу дають швидкість електрона і відстань від ядра на\(n^{th}\) орбіті, а отже, і його кутовий імпульс . Тому, вклавши в ці експериментально визначені величини, ми можемо знайти\(K\).

Напівкласичний аргумент Бора для фіксації кванту кутового моменту

Однак Бор знайшов розумний теоретичний спосіб визначити\(R_H\) зі своєї моделі: прирівнюючи його прогнозування частоти, що випромінюється, коли електрон переходить з однієї орбіти на іншу в дуже великому атомі з класичним прогнозом - що було б просто орбітальним частоту електрона, скільки разів в секунду він обходить, він вивів\(K=1/2\pi \) і з того, що з'явилася раніше постійна Рідберга тут дана в терміні\(h\),\(m\) і\(e\). Досить абстрактний аргумент про те, що квантові прогнози повинні відповідати відомим класичним результатам для великих повільних систем, фактично фіксує константу Рідберга.

Його аргумент йде наступним чином: для кругових орбіт\[ \frac{mv^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{e^2}{r^2}\;\; so\;\; mv^2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{e^2}{r},\;\; K.E.=-\frac{1}{2}P.E.,\;\; E=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{e^2}{2r}. \tag{1.2.15}\]

З квантованим кутовим імпульсом для\(n^{th}\) орбіти:\[ mv_n r_n =nKh \tag{1.2.16} \]

де константа\(h\) Планка,\(n\) ціле число,\(K\) невідомий множник (гаразд, фіксується експериментом, але ми знаходимо його самостійно).

З цієї умови квантування ми можемо знайти радіус, а отже, і енергію\(n^{th}\) орбіти:\[ -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r_n} =mv_n^2 =m \left(\frac{nKh}{mr_n} \right)^2 \tag{1.2.17} \]

Даючи\[ r_n=\frac{4\pi\varepsilon_0 n^2K^2h^2}{me^2} , \, E_n =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{2r_n} =-\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{me^4}{2K^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \tag{1.2.18}\]

У великій\(n\) межі,\[ E_{n+1}-E_n \cong \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{me^4}{2K^2 h^2} \cdot \frac{2}{n^3} =h\nu \tag{1.2.19} \]

так\[ \nu =\left(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{me^4}{K^2 h^3 n^3} \tag{1.2.20} \]

де\(\nu\) - частота випромінюваного фотона при стрибку вниз на одне квантове число.

У класичній межі великого\(n\),\(\nu\) повинна відповідати орбітальна частота електрона, так як рівняння Максвелла будуть дійсними. Тобто,\[ \nu =\frac{v_n}{2\pi r_n} =\frac{nKh}{2\pi m r_n^2} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{nKh}{2\pi m} \cdot \frac{m^2 e^4}{n^4 K^4 h^4} =\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{m e^4}{2\pi n^3 K^3 h^3} \tag{1.2.21} \]

Порівнюючи два вирази, ми бачимо, що вони згодні, якщо\(K=1/2\pi \)

\(K=1/2\pi \)Вкладаючи в формулу енергетичного рівня,\[ E_n=-\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\cdot\frac{me^4}{2K^2h^2}\cdot\frac{1}{n^2}=-\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\cdot\frac{2\pi^2me^4}{h^2}\cdot\frac{1}{n^2}. \tag{1.2.22}\]

Тепер константа Рідберга визначається\[ E_n =-hcR_H/n^2 \tag{1.2.23} \]

тому модель Бора прогнозує, що\[ R_H =\left(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{2\pi^2 me^4}{ch^3} \tag{1.2.24} \]

Виявлено, що ця формула є правильною в межах експериментальної похибки вимірювання величин праворуч.

Але мало хто вірив його теорії. З одного боку, незабаром стало очевидним, що в спектрах деяких зірок (фактично включаючи сонце) з'явилися спектральні лінії, мабуть, відповідні половині кванта кутового імпульсу. Як це могло бути?

Відповідь Бора полягала в тому, що ці лінії повинні бути з іонізованого гелію, а не водню. Нейтральний атом гелію має два електрони, у одноіонізованого атома гелію всього один електрон, але ядро має заряд в два рази більше водневого ядра, тому фактор\(e^4\) в постійній Рідберга замінюється на\(4e^4\), що призводить до спостережуваного результату. Але потім спектроскопіст під назвою Фаулер зробив деякі дуже точні вимірювання, і виявив, що насправді\(R_H\) для цих нових ліній відповідає коефіцієнту 4.0016. Як Бор міг це пояснити?

Бор зазначив, що при такому рівні точності слід враховувати кінцеву масу ядра, використовуючи для електрона знижену масу. Це дає якраз правильний фактор. Цей результат сильно вразив Ейнштейна, який зробив висновок, що Бор повинен бути на правильному шляху.

Зауваження: Атом Бора все ще важливий!

Хоча, як ми побачимо незабаром, напівкласичний аналіз Бора давно замінений хвильовою функцією Шредінгера, є останні експерименти в атомній фізиці, де класичний підхід забезпечує цінне розуміння. Зокрема, так звані атоми Рідберга, які є атомами з одним електроном на просторово великій орбіті (великий\(n\), слабо зв'язаний), діють багато в чому подібно класичним системам. Такі атоми можуть іонізуватися мікрохвильовими полями. Для значного діапазону параметрів початок цієї іонізації можна пояснити, ігноруючи квантову механіку взагалі, і інтерпретуючи іонізацію як початок хаотичного руху в класичній керованій системі! (І стандартні теоретичні методи збурень квантової механіки все одно не працюють для цієї системи, оскільки збурене електричне поле НВЧ має такий же порядок величини, як електричне поле атома на цих великих орбітах.) Слід зазначити, що, контрінтуїтивно, квантова механіка знову стає важливою на дуже великій\(n\) (або високій мікрохвильовій частоті), де деякі трюки з фізики конденсованого середовища були успішно використані для інтерпретації експериментів. Це багата тема: якісно відбуваються різні явища, оскільки відношення НВЧ-частоти до орбітальної частоти змінюється.

Принц Луї де Бройль отримує ступінь доктора філософії.

Наступний реальний прогрес у розумінні атома прийшов з малоймовірного кварталу - студентського принца в Парижі. Принц Луї де Брольє був членом знаменитої сім'ї, видатного в політиці і військових з 1600-х років.Луї почав своє університетське навчання з історії, але його старший брат Моріс вивчав рентгенівські промені у власній лабораторії, і Луї зацікавився фізикою. Він працював з абсолютно новою радіотелеграфією під час війни.

Після війни де Брольє зосередив свою увагу на двох основних досягненнях Ейнштейна - теорії особливої відносності та квантуванні світлових хвиль. Він цікавився, чи може бути між ними якийсь зв'язок. Можливо, квант випромінювання дійсно слід розглядати як частинку. Давно було відомо, що світлові хвилі несуть імпульс: це хвацько демонструє «радіометр», невеликий «вітряк» у вакуумі, з лопатками срібла з одного боку і почорнілими з іншого. Якщо вакуум хороший, радіометр починає обертатися під впливом світла, оскільки світло, що відскакує від посрібленої сторони, забезпечує вдвічі більший імпульс світла, поглиненого почорнілою стороною. (Слід додати, що дешеві версії цього пристрою мають погану вакуацію, а нагрітий газ біля почорнілої сторони прагне штовхати лопатки неправильним шляхом.)

Фактично з рівнянь Максвелла випливає, що щільність імпульсу світлового променя пов'язана з його щільністю енергії шляхом\(E = cp\). Тому ми очікуємо, що це ж співвідношення енергії-імпульсу буде вірним для фотонів, з яких складається світловий промінь. Тепер із спеціальної відносності ми знаємо, що всі частинки мають залежність енергії-імпульсу\(E^2= m_0^2 c^4 +c^2 p^2\), де\(m_0\) знаходиться решта маси частинки. Єдиний спосіб це може бути таким же, як\(E = cp\) якщо\(m_0 = 0\), або, принаймні, він настільки малий, що всі наші спостереження стосуються частинок, що мають кінетичну енергію, поки що перевищує їх енергію спокою, що крихітна маса не виявляється.\(m_0\) Де Броґлі підозрював, що фотон мав дуже крихітну ненульову масу спокою, так що якщо швидкість кванта досить низької енергії може бути виміряна, вона виявиться меншою, ніж\(c\). У цьому пункті він помилявся (наскільки ми знаємо!) Тим не менш, було дуже цінним концептуальним проривом думати про квант випромінювання як про частинку, добре знаючи, що випромінювання - це хвиля. Насправді його неправильне уявлення про те, що фотон (як ми зараз називаємо квантом світла) мав масу спокою, змусило його проаналізувати взаємозв'язок між властивостями частинок і хвильовими властивостями шляхом перетворення в решту кадру фотона, і він виявив, що енергія і імпульс частинки пов'язані з частоту і довжину хвилі по:\[ E=hf \; , \; p=h/\lambda \tag{1.2.25}\]

Звичайно, перша умова - квантування Планка-Ейнштейна, а друге тривіально випливає з нього, якщо взяти\(E = cp\) і\(\lambda f=c\). Але де Брольє показав, що це в цілому вірно - він працював, навіть якщо фотон мав масу спокою.

Вирішивши, що фотон цілком може бути частинкою з масою спокою, нехай і дуже маленькою, на де Бройлі осінило, що в інших відношеннях він може не надто відрізнятися від інших частинок, особливо самого світлого електрона. Зокрема, можливо, електрон також мав асоційовану хвилю. Очевидне заперечення полягало в тому, що якщо електрон був хвилеподібним, чому не спостерігалося дифракційних або інтерференційних ефектів? Але відповідь була. Якщо зв'язок де Броля між імпульсом і довжиною хвилі,\(p=h/\lambda\) також утримується для електронів, довжина хвилі була досить короткою, щоб ці ефекти було легко пропустити. Як зазначав сам де Брольє, хвильова природа світла не дуже очевидна в повсякденному житті, або в трасуванні променів у геометричній оптиці. Він підозрював, що очевидно чиста природа частинок електронних траєкторій була аналогічною видимому прямолінійному поширенню променів світла, за шкалами відстані, значно більшими за довжину хвилі.

Однак хвилеподібні властивості повинні бути важливими в атомному масштабі. За десятиліття не було досягнуто жодного прогресу в розумінні того, чому електронні орбіти в атомі Бора були обмежені інтегральними значеннями кутового моменту в одиницях\(h\). Але якби електрон в якомусь сенсі був хвилею, було б дуже природно обмежити орбіти тими, що стоячі хвилі, бо інакше електронна хвиля, що йде навколо орбіти, заважала б собі руйнівно.

Припустимо, тепер електрон, маючи імпульс\(p\), рухається по круговій орбіті радіуса\(r\). Тоді для стоячої хвилі, ціла кількість довжин хвиль повинна відповідати навколо кола, так для деякого цілого числа\(n\),\(n\lambda =2\pi r\). Збираючи це разом,\(p=h/\lambda\) ми знаходимо:\[ 2\pi r=n\lambda =nh/p \tag{1.2.26}\]

так\[ L=pr=nh/2\pi \tag{1.2.27} \]

Умова «стоячої хвилі» відразу дає Бору квантування моменту моменту!

Це була кандидатська дисертація князя, представлена в 1924 році. Його дисертаційний радник був дещо здивований, і не був впевнений, чи це була здорова робота. Він попросив де Брольє додаткову копію дисертації, яку він надіслав Ейнштейну. Ейнштейн написав незабаром після цього: «Я вважаю, що це перший слабкий промінь світла на цю найгіршу з наших загадок фізики». Князь отримав свою докторську дисертацію.

Аварія в телефонній компанії робить все кристально чистим

У квітні 1925 року сталася аварія в телефонних лабораторіях Белла. Клінтон Девіссон і Л.Х. Гермер, шукаючи шляхи поліпшення вакуумних трубок, спостерігали за тим, як електрони з електронної гармати в вакуумній трубці розсіялися від плоскої поверхні нікелю. Раптом, поки експеримент був запущений і нікелева мішень сильно нагрілася, пляшка рідкого повітря біля апарату вибухнула, розбивши одну з вакуумних трубок, і повітря кинулося в апарат. Гаряча мішень нікелю негайно окислюється. Шар оксиду зробив їх ціль марною для подальших досліджень. Вони вирішили очистити оксид, нагріваючи нікель у водневій атмосфері, потім у вакуумі. Проробивши це протягом тривалого періоду, нікель виглядав добре, і вони відновили розслідування.

На їхнє здивування, малюнок розсіювання електронів від щойно очищеної нікелевої мішені був абсолютно іншим, ніж до аварії. Що змінилося? Розглянувши їх щойно очищений кристал уважно, вони знайшли підказку. Початковою мішенню була полікристалічна - складена з безлічі крихітних кристалів, орієнтованих випадково. Під час тривалого нагрівання процесу очищення нікель повторно кристалізувався на кілька великих кристалів.

Цитати з їхньої роботи: «Нам здавалося ймовірним з цих результатів, що інтенсивність розсіювання з монокристалу виявлятиме помітну залежність від напрямку кристала, і ми відразу ж приступили до підготовки експериментів для дослідження цієї залежності. Треба визнати, що результати, отримані в цих експериментах, виявилися досить розходяться з нашими очікуваннями. Здавалося ймовірним, що сильні промені будуть знайдені, що видають з кристала уздовж того, що можна назвати його прозорими напрямками - напрямками, в яких атоми в решітці розташовані уздовж найменшої кількості ліній на одиницю площі. Сильні промені дійсно зустрічаються, що видають з кристала, але тільки тоді, коли швидкість бомбардування лежить поблизу тієї чи іншої серії критичних значень, а потім в напрямках, зовсім не пов'язаних з прозорості кристалів.

«Найяскравішою характеристикою цих променів є відповідність один до одного... який найсильніший з них несе до променів Лауе, які були б знайдені, що випускаються з того ж кристала, якби падаючий промінь був пучком рентгенівських променів. Деякі інші, здається, є аналогами... оптичних дифракційних пучків від плоских відбивних решіток - лінії цих решіток є лініями або рядами атомів на поверхні кристала. Через ці подібності... опис... з точки зору еквівалентного хвильового випромінювання... є не тільки можливим, але найбільш простим і природним. Це передбачає асоціацію довжини хвилі з падаючим електронним пучком, і ця довжина хвилі виявляється в прийнятній відповідності зі значенням\(h/mv\) хвилеподібної механіки, постійної дії Планка, розділеної на імпульс електрона.

«Ці докази хвильової природи механіки частинок були б знайдені в реакції між пучком електронів і монокристалом була передбачена Ельзассером два роки тому - незабаром після появи оригінальних робіт Л. де Бройля з хвильової механіки».

Наведені вище цитати взяті з фізичного огляду 30, 705 (1927).

Слід додати, що двощілинна дифракційна картина, звичайно, виставляється пучком електронів, спостерігалася експериментально багато разів і має точно таку ж форму, як і для світла. Електрони та фотони генерують інтерференційні моделі, які ідентичні - хоча коротка довжина хвилі використовуваних електронів представляє виклик! Подвійна щілина, використана К.Йонссоном в 1961 році, складалася з щілин шириною 0,5 мкм 1-2 мкм один від одного в мідній фользі. Див. Брандт і S Хірші, Am. Дж. фіз. 42, 5 (1974). (Ця довідка з французького та Тейлора «Вступ до квантової фізики».)

Дописувач

• Template:ContribFowler