1.1: Розбивка класичної механіки

Що було неправильно з класичною механікою?

В основному класична статистична механіка не мала сенсу...

Максвелл і Больцман розвивали теорему рівноділення: фізична система може мати безліч станів (газ з частинками, що мають різні швидкості, або пружини в різних станах стиснення).

При ненульовій температурі в системі буде протікати енергія, вона буде постійно переходити з одного стану в інший. Отже, яка ймовірність того, що в будь-яку мить вона знаходиться в певному стані з енергією\(E\)?

M&B доводить, що це було пропорційно\(e^{-E/kT}\). Цей коефіцієнт пропорційності також є правильним для будь-якої підсистеми системи: наприклад однієї молекули.

Зверніть увагу, що це означає, що якщо система являє собою набір осциляторів, різних мас на різних пружині сили, наприклад, то в тепловій рівновазі кожен генератор має в середньому таку ж енергію, як і всі інші. Для тривимірних осциляторів в тепловій рівновазі середня енергія кожного генератора\(k\) становить\( 3kT\), де постійна Больцмана.

Випромінювання чорного тіла

Тепер покладіть це разом з відкриттям Максвелла, що світло - це електромагнітна хвиля: всередині гарячої печі рівняння Максвелла можуть бути вирішені, даючи рішення стоячої хвилі, а набір різної довжини хвилі дозволених стоячих хвиль становить нескінченну серію осциляторів, без верхньої межі на частоти на далеко йдуть в ультрафіолет. Тому, з класичної теореми про рівноділення, піч при тепловій рівновазі при певній температурі повинна містити нескінченну кількість енергії - порядку\(kT\) в кожному з нескінченного числа режимів, і якщо ви випускаєте випромінювання через крихітний отвір в стороні, ви повинні побачити випромінювання всіх частоти.

Це, звичайно, не те, що спостерігається: як піч гріється, то вона випромінює інфрачервоне, то червоне, то жовте світло і т.д. це означає, що осцилятори більш високої частоти (синій і т.д.) насправді не збуджуються при низьких температурах: рівноподіл не відповідає дійсності.

Планк показав, що експериментально спостережувана крива інтенсивності/частоти була точно відтворена, якщо передбачалося, що випромінювання квантоване: світло частоти\(f\) може випромінюватися лише в квантових - тепер фотонах - мають енергію\(hf\),\(h\) будучи постійною Планка. Це стало початком квантової механіки.

Фотоелектричний ефект

Ейнштейн показав таке ж квантування електромагнітного випромінювання, пояснив фотоелектричний ефект: фотон енергії\(hf\) вибиває електрон з металу, для його вилучення потрібна певна робота\(W\), інша енергія фотонів йде в кінетичну енергію електрона, для найшвидші електрони, що випромінюються (ті, що виходять прямо з поверхні, тому не стикаються з подальшим опором). Побудова максимальної кінетичної енергії електронів як функція падаючої світлової частоти підтверджує гіпотезу, даючи таке ж значення для\(h\) того, що необхідно пояснити випромінювання від печі. (Раніше передбачалося, що більш інтенсивне світло збільшить кінетичну енергію - це виявилося не так.)

Атом Бора

Бор об'єднав це квантування світлової енергії з відкриттям Резерфорда про те, що атом мав ядро, причому електрони якось обертаються навколо нього: для атома водню світло, що випромінюється при термічному збудженні атома, має особливу картину, спостережувані довжини випромінюваних хвиль задаються

\[\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n^2}\right) \tag{1.1.1}\]

з тепер\(n = 3, 4, 5...\)\(R_H\) називається постійною Рідберга.) Бор зрозумів, що це фотони, що мають енергію, рівну різниці енергій між двома дозволеними орбітами електрона, що кружляють ядро (протон)\(E_n -E_m =hf\), що призвело до висновку, що дозволені рівні повинні бути:

\[E_n =-\dfrac{hcR_H}{n^2} \tag{1.1.2}\]

Як квантове\(hf\) обмеження дозволених енергій випромінювання також може обмежувати дозволені електронні орбіти? Бор зрозумів, що має бути зв'язок - тому що\(h\) має розміри кутового моменту! Що робити, якби електрону було дозволено перебувати лише на кругових орбітах моменту моменту моменту\(nKh\), з цілим\(n\) числом? Бор зробив математику для орбіт відповідно до закону зворотного квадрата, і виявив, що спостережувані спектри насправді були правильно враховані шляхом прийняття\(K = 1/2\pi \).

Але потім він зрозумів, що йому навіть не потрібні експериментальні результати, щоб знайти\(K\): квантова механіка повинна погодитися з класичною механікою в тому режимі, де ми експериментально знаємо, що класична механіка (включаючи рівняння Максвелла) правильна, тобто для систем макроскопічного розміру. Розглянемо негативний заряд, що обертається навколо фіксованого позитивного заряду в радіусі 10 см., заряди такі, що швидкість становить близько метрів в секунду (ми не хочемо, щоб релятивістські ефекти ускладнювали речі). Тоді від класичного E&M заряд буде випромінюватися на орбітальній частоті. Тепер уявіть, що це насправді атом водню, у ідеальному вакуумі, у високому стані збудження. Він повинен випромінювати з цією ж частотою. Але теорія Бора не може бути правильною лише для малих орбіт, тому випромінювання повинно задовольняти\(E_n -E_m =hf\). Відстань між сусідніми рівнями буде повільно змінюватися для цих великих орбіт, тому\(h\) раз орбітальна частота повинна бути різницею енергії між сусідніми рівнями. Тепер ця різниця енергії залежить від дозволеного кроку моменту моменту між сусідніми рівнями: тобто на\(K\). Узгодження цих двох виразів для частоти випромінювання дає\( K = 1/2\pi \).

Цей класичний граничний аргумент, таким чином, пророкує константу Рідберга через вже відомі величини:

\[R_H= \left(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot\dfrac{2\pi^2 me^4}{ch^3} \tag{1.1.3}\].

Що правильно в атомі Бора?

1. Це дає спектри серії Бальмера.
2. Перший розмір орбіти близький до спостережуваного розміру атома: і пам'ятайте, що регульованих параметрів немає, класичний граничний аргумент визначає спектри і розмір.

Що не так з атомом Бора?

1. Немає пояснень того, чому кутовий імпульс повинен бути квантований. (Це було вирішено де Брольє трохи пізніше.)
2. Чому циркулюючі електрони не випромінюють, як передбачається класично? Ну, той факт, що випромінювання квантоване, означає, що класична картина прискорюючого заряду, плавно випромінюючого випромінювання, не може працювати, якщо задіяні енергії в порядку\(h\) разів перевищують задіяні частоти.
3. Найнижчий стан має ненульовий момент моменту. Це дефект моделі, виправлений в істинно квантовій моделі (рівняння Шредінгера).
4. У зворотному квадратному полі орбіти взагалі еліптичні.

Спочатку це була загадка: чому повинні бути дозволені тільки кругові орбіти? Насправді модель дозволяє еліптичні орбіти, і вони не з'являються в серії Бальмера, тому що, як доведено Зоммерфельдом, якщо дозволені еліптичні орбіти мають ті ж дозволені кутові моменти, що і орбіти Бора, вони мають однаковий набір енергій. Це особлива властивість сили зворотного квадрата.

Хвилі де Бройля

Перше пояснення того, чому лише певні кутові моменти дозволені для циркулюючого електрона, було дано де Брогліе: так само, як фотони діють як частинки (певна енергія та імпульс), але, безсумнівно, є хвилеподібними, будучи світлими, тому частинки, як електрони, можливо, мають хвилеподібні властивості. Для фотонів залежність між довжиною хвилі та імпульсом становить\(p = h/\lambda\). Припускаючи, що це стосується і електронів, і що дозволені кругові орбіти є стоячими хвилями, слід квантування кутового імпульсу Бора.

Хвильове рівняння Шредінгера

Ідея де Броля була явно на правильному шляху - але хвилі в просторі тривимірні, мислення про кругову орбіту як струну під напругою не може бути правильною, навіть якщо відповідь є.

Фотонні хвилі (електромагнітні хвилі) підкоряються рівнянню

\[ \nabla^2 \vec E -\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=0 \tag{1.1.4}\]

Розв'язком певного імпульсу є плоска хвиля

\[ \left(\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} -\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} = \left(k^2 -\dfrac{\omega^2}{c^2} \right)\vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} =0 \tag{1.1.5}\]

Зверніть увагу, що остання рівність по суті просто\(\omega =ck\), де для плоского хвильового рішення енергія і імпульс фотона переводяться в диференціальні оператори по відношенню до часу і простору відповідно, щоб дати диференціальне рівняння для хвилі.

Хвильове рівняння Шредінгера еквівалентно приймає (нерелятивістське) співвідношення енергії-імпульсу\(E = p^2/2m\) і використовує той самий рецепт, щоб перевести його в диференціальне рівняння:

\[ i\hbar \dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} =-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \tag{1.1.6}\]

Здійснюючи природне розширення до трьох вимірів, і припускаючи, що ми можемо додати потенційний термін найбільш наївним способом, тобто переходячи від\(E = p^2/2m\) до\(E = p^2/2m + V(x,y,z)\), ми отримуємо

\[ i\hbar \dfrac{\partial \psi(x,y,z,t)}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,y,z,t) +V(x,y,z) \psi(x,y,z,t) \tag{1.1.7}\]

Це рівняння Шредінгера, записане і вирішене, рішення давали той же набір енергій, що і модель Бора, але тепер стан землі мав нульовий момент моменту, і багато деталей рішень були підтверджені експериментом, про що ми обговоримо далі пізніше.

A Збережений струм

Шредінгер також показав, що збережений струм можна визначити з точки зору хвильової функції\(\psi \):

\[ \dfrac{\partial \rho}{\partial t} +div \vec j =0 \tag{1.1.8}\]

де

• \(\rho =\psi^\ast \psi =|\psi |^2 \)і
• \(\vec j =\dfrac{\hbar}{2mi} (\psi^\ast \vec \nabla \psi -\psi \vec \nabla \psi^\ast ). \)

Інтерпретація його рівняння Шредінгера полягала в тому, що електрон був просто хвилею, а не часткою, і це була інтенсивність хвилі. Але мислення електромагнітних хвиль таким чином не дало поняття про поведінку квантових фотонів - це не може бути цілою історією.

Інтерпретація хвильової функції

Правильна інтерпретація хвильової функції (за рахунок Борна) випливає з аналогії з електромагнітним корпусом. Давайте розглянемо це коротко. Основним прикладом є двощілинна дифракційна картина, побудована шляхом надсилання через один фотон за раз, до банку детекторів фотонів. Поступово виникає закономірність: вирішіть хвильове рівняння, тоді прогнозована локальна щільність енергії (пропорційна\(|E(x,y,z,t)|^2 dxdydz\)) дає ймовірність того, що один фотон проходить через систему, приземлившись на цьому місці.

Борн\( |\psi |^2 \) припустив, що аналогічно в будь-якій точці пропорційна ймовірності виявлення електрона в цій точці. Це виявилося правильним.

Локалізація електрона

Незважаючи на свої хвилеподібні властивості, ми знаємо, що електрон може вести себе як частинка: зокрема, він може переміщатися як досить локалізована сутність з одного місця в інше. Що таке хвильове уявлення про це? Це називається хвильовим пакетом: локалізоване хвильове збудження. Щоб побачити, як це може статися, спочатку пам'ятайте, що рівняння Шредінгера є лінійним рівнянням, сума будь-яких двох або більше розв'язків сама по собі є рішенням. Якщо скласти разом дві плоскі хвилі, близькі по довжині хвилі, ми отримаємо удари, які можна розглядати як рядок хвильових пакетів. Щоб отримати пакет однієї хвилі, ми повинні скласти безперервний діапазон довжин хвиль.

Стандартним прикладом є пакет гаусових хвиль,\( \psi (x, t=0) =A e^{ik_0 x} e^{-x^2 /2 \Delta^2} \) де\( p_0 = \hbar k_0 \)

Використання стандартного результату\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^2}\,dx = \sqrt{ \frac{ \pi}{a}} \tag{1.1.9} \]

ми знаходимо\( |A|^2 =(\pi \Delta^2)^{-1/2} \) так\[ \psi (x,t=0) =\frac{1}{(\pi \Delta^2)^{1/4}} e^{ik_0 x} e^{-x^2 /2 \Delta^2} . \tag{1.1.10}\]

Але як ми можемо побудувати цей конкретний хвильовий пакет шляхом накладання плоских хвиль? Тобто нам потрібно представлення форми:\[ \psi(x) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \phi (k) \tag{1.1.11} \]

Функція\( \phi(k) \) являє собою зважування плоских хвиль в околицях хвильового числа\(k\). Це особливий приклад перетворення Фур'є - загальний випадок ми детально обговоримо трохи пізніше в курсі. Зауважте, що якщо\( \phi(k) \) є обмеженою функцією, будь-яке конкретне\(k\) значення дає зникаючий невеликий внесок, внесок плоских хвиль\(\psi(x)\) до діапазону\(dk\) є\( \phi(k) dk/2\pi \). Фактично,\(\phi(k)\) дається в терміні\(\psi(x)\) на\[ \phi(k) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} dxe^{-ikx} \psi(x) . \tag{1.1.12} \]

Можливо, варто згадати в цей момент, що це можна зрозуміти якісно, спостерігаючи, що префактор плоской хвилі\(e^{-ikx}\) буде руйнівно втручатися в усі компоненти плоских хвиль,\( \psi(x) \) крім хвильового числа\(k\), де спочатку може здатися, що внесок нескінченний, але нагадаємо, що, як зазначено вище, будь-який конкретний\(k\) компонент має зникаючу малу вагу - і, насправді, це правильна відповідь, як ми покажемо більш переконливо пізніше.

У даному випадку вищевказаний аргумент handwaving є зайвим, оскільки обидва інтеграли можна виконати точно, використовуючи стандартний результат:\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2 +bx}\, dx =e^{b^2 /4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{1.1.13} \]

даруючи\[ \phi(k) =(4\pi \Delta^2)^{\frac{1}{4}} e^{-\Delta^2 (k-k_0)^2 /2} . \tag{1.1.14} \].

Принцип невизначеності

Зауважте, що розвороти в x -просторі та p -просторі обернено пов'язані:\(\Delta x\) є порядком\(\Delta\),\( \Delta p=\hbar \Delta k\sim \hbar/\Delta \). Це, звичайно, принцип невизначеності, локалізація в х -просторі вимагає великого поширення в сприяючих імпульсних станах.

Варто переглянути вправи бакалаврату по застосуванню принципу невизначеності. Допомога загострити оцінку хвилі/частинки природи квантових об'єктів.

Існує межа того, наскільки добре можна визначити положення електрона: він виявляється шляхом відскакування фотона від нього, а довжина хвилі фотона встановлює межу\(\Delta x\). Але якщо фотон має достатньо енергії, щоб створити електрон-позитронну пару з вакууму, ви не можете бути впевнені, який електрон ви бачите. Це обмежує\(\Delta x \sim \hbar/mc\) в кращому випадку. (Це називається довжиною хвилі Комптона, написана\(\lambda_c\) - вона з'являється в Комптонському розсіюванні.) Наскільки менше, що це хвильова функція наземного стану атома водню? \(\lambda_c /a_0 =e^2/\hbar c (CGS)=e^2/4\pi \varepsilon_0 \hbar c (SI)=1/137\), відомий як постійна тонка структура. Це також відношення швидкості електронів на першій орбіті Бора до швидкості світла, і так є вказівкою на важливість релятивістських поправок до енергій електронних станів; ці відмінності енергій електронної орбіти для кругових і еліптичних станів, що мають однакову енергію при розрахунку. нерелятивістично призводять до тонкої структури в атомних спектрах.

Дописувач

• Template:ContribFowler