3.7: Принцип невизначеності Гейзенберга
- Page ID
- 77015
Розглянемо оператор Ерміта в реальному просторі,\(O(x)\). Просте узагальнення рівняння ([e3.55a]) дає \[\label{e3.84} \int_{-\infty}^\infty \psi_1^{\ast}\,(O\,\psi_2)\,dx = \int_{-\infty}^\infty (O\,\psi_1)^\ast\,\psi_2\,dx,\]де\(\psi_1(x)\) і\(\psi_2(x)\) є загальними функціями.
Нехай\(f=(A-\langle A\rangle)\,\psi\), де\(A(x)\) є ермітієвим оператором, і\(\psi(x)\) загальна хвильова функція. Ми маємо\[\int_{-\infty}^\infty |f|^{\,2}\,dx= \int_{-\infty}^\infty f^\ast\,f\,dx = \int_{-\infty}^\infty[(A-\langle A\rangle)\,\psi]^{\,\ast}\,[(A-\langle A\rangle)\,\psi]\,dx.\] Використовуючи рівняння ([e3.84]), ми отримуємо \[\label{e3.86} \int_{-\infty}^\infty |f|^{\,2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast\,(A-\langle A \rangle)^{\,2}\,\psi\,dx = \sigma_A^{\,2},\]де\(\sigma_A^{\,2}\) дисперсія\(A\). [Див Рівняння ([e3.24a]).] q4 Аналогічно\(g=(B-\langle B\rangle)\,\psi\), якщо, де\(B\) другий оператор Ерміта, то\[\int_{-\infty}^\infty |g|^{\,2}\,dx = \sigma_B^{\,2},\]
Зараз у математиці є стандартний результат, відомий як нерівність Шварца, який стверджує, що\[\left|\int_a^b\,f^\ast(x)\,g(x)\,dx\right|^{\,2}\leq \int_a^b|f(x)|^{\,2}\,dx\,\int_a^b |g(x)|^{\,2}\,dx,\] де\(f\) і\(g\) є дві загальні функції. Крім того, якщо\(z\) є комплексним числом, то \[\label{e3.89} |z|^{\,2} = [{\rm Re}(z)]^{\,2} + [{\rm Im}(z)]^{\,2} \geq [{\rm Im}(z)]^{\,2} = \left[\frac{1}{2\,{\rm i}}\,(z-z^\ast)\right]^{\,2}.\]Отже, якщо\(z=\int_{-\infty}^\infty f^\ast\,g\,dx\) тоді Рівняння ([e3.86]) — ([e3.89]) дають \[\label{e3.90} \sigma_A^{\,2}\,\sigma_B^{\,2} \geq \left[\frac{1}{2\,{\rm i}}\,(z-z^\ast)\right]^{\,2}.\]Однак,\[z = \int_{-\infty}^{\infty} [(A-\langle A\rangle)\,\psi]^{\,\ast}\,[(B-\langle B\rangle)\,\psi]\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast\,(A-\langle A\rangle)\,(B-\langle B\rangle)\,\psi\,dx,\] де було використано рівняння ([e3.84]). Попереднє рівняння зводиться до\[z =\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast\,A\,B\,\psi\,dx -\langle A\rangle\,\langle B\rangle.\] Крім того, легко продемонструється, що\[z ^\ast=\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast\,B\,A\,\psi\,dx -\langle A\rangle\,\langle B\rangle.\] Отже, Рівняння ([e3.90]) дає \[\label{e3.94} \sigma_A^{\,2}\,\sigma_B^{\,2} \geq \left(\frac{1}{2\,{\rm i}}\langle[A,B]\rangle\right)^{\,2},\]де\[[A,B] \equiv A\,B-B\,A.\]
Рівняння ([e3.94]) є загальною формою принципу невизначеності Гейзенберга в квантовій механіці. У ньому зазначено, що якщо дві динамічні змінні представлені двома ермітовими операторами\(A\) і\(B\), і ці оператори не коммутують (тобто\(A\,B\neq B\,A\)), то неможливо одночасно (точно) виміряти дві змінні. Натомість добуток відхилень у вимірах завжди перевищує деяке критичне значення, яке залежить від того, наскільки два оператори не їздять на роботу.
Наприклад, переміщення і імпульс представлені (у реальному просторі) операторами\(x\) і\(p\equiv-{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x\), відповідно. Тепер легко продемонструвати, що\[[x,p] = {\rm i}\,\hbar.\] Таким чином,\[\sigma_x\,\sigma_p\geq \frac{\hbar}{2},\] який можна визнати стандартним принципом невизначеності зміщення-імпульсу (див. Розділ [sun]). Виходить, що мінімальна невизначеність (тобто\(\sigma_x\,\sigma_p=\hbar/2\)) досягається тільки за допомогою гаусових хвильових пакетів (див. Розділ [s2.9]): тобто
\ почати {рівняння}\ psi (x) =\ frac {\ mathrm {e} ^ {+i p_ {0} x/\ hbar}} {\ ліворуч (2\ пі\ сигма_ {x} ^ {2}\ праворуч) ^ {1/4}}\ mathrm {e} ^ {-\ ліворуч (x-x_ {0}\ праворуч) ^ {1/4}}\ mathrm {e} ^ {-\ ліворуч (x-x_ {0}\ праворуч) ^ {2}/4\ сигма_ {x} ^ {2}}\ end {рівняння}
\ begin {рівняння}\ phi (p) =\ frac {\ mathrm {e} ^ {-\ mathrm {i} p x_ {0}/\ hbar}} {\ ліворуч (2\ пі\ сигма_ {p} ^ {2}\ праворуч) ^ {1/4}}\ mathrm {e} ^ {-\ ліворуч (p-p_ {0}\ праворуч) ^ {2}/4\ сигма_ {p} ^ {2}}\ end {рівняння}
де\(\phi(p)\) - еквівалент моменту-простору\(\psi(x)\).
Енергія і час представлені операторами\(H\equiv{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial t\) і\(t\), відповідно. Ці оператори не їздять на роботу, вказуючи на те, що енергію та час не можна вимірювати одночасно. Насправді,\[[H,t] = {\rm i}\,\hbar,\] так\[\sigma_E\,\sigma_t\geq \frac{\hbar}{2}.\] це можна написати, трохи менш точно, як
\(\begin{equation}\Delta E \Delta t \gtrsim \hbar\end{equation}\)є невизначеності енергії та часу відповідно. Попередній вираз, як правило, відомий як принцип невизначеності енергії часу.
Наприклад, припустимо, що частка проходить певну фіксовану точку на\(x\) -осі. Оскільки частинка є, насправді, розширеним хвильовим пакетом\({\mit\Delta}t\), для проходження частинки потрібно певний проміжок часу. Таким чином, існує невизначеність\({\mit\Delta}t\), у часі прибуття частки. Більш того\(E=\hbar\,\omega\), тому що єдиними хвильовими функціями, які володіють унікальними енергіями, є ті, що мають унікальні частоти: тобто плоски-хвилі. Оскільки хвильовий пакет кінцевого ступеня складається з комбінації плоских хвиль різних хвильових чисел, а отже, і різних частот, буде невизначеність\({\mit\Delta}E\) в енергії частинки, пропорційна діапазону частот плоских хвиль, що складають хвильовий пакет. Чим компактніше хвильовий пакет (а, значить, і менший\({\mit\Delta}t\)), тим більше діапазон частот складових площини-хвиль (а, значить, і великих\({\mit\Delta}E\)), і навпаки.
Якщо бути більш точним, якщо\(\psi(t)\) хвильова функція вимірюється у фіксованій точці як функція часу, то ми можемо записати
\ почати {рівняння}\ psi (t) =\ frac {1} {\ sqrt {2\ пі\ hbar}}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ chi (E)\ mathrm {e} ^ {-i E t/\ hbar} d E\ кінець {рівняння}
Іншими словами, ми можемо висловити\(\psi(t)\) як лінійну комбінацію площин-хвиль певної енергії\(E\). \(\chi(E)\)Ось, складна амплітуда площиних-хвиль енергії\(E\) в цьому поєднанні.
За теоремою Фур'є ми також маємо
\ почати {рівняння}\ чі (Е) =\ frac {1} {\ sqrt {2\ пі\ hbar}}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ psi (t)\ mathrm {e} ^ {+i E t/\ hbar} d t\ кінець {рівняння}
Наприклад, якщо\(\psi(t)\) є гаусовим, то легко показано, що\(\chi(E)\) це також гаусова: тобто
\ begin {рівняння}\ psi (t) =\ frac {\ mathrm {e} ^ {-i E_ {0} t/\ hbar}} {\ ліворуч (2\ пі\ сигма_ {t} ^ {2}\ праворуч) ^ {1/4}}\ mathrm {e} ^ {-\ ліворуч (t_ {0}\ праворуч) ^ {1/4}}\ mathrm {e} ^ {-\ ліворуч (t_ {0}\ праворуч) ^ {2}/4\ сигма_ {t} ^ {2}}\ end {рівняння}
\ begin {рівняння}\ chi (E) =\ frac {\ mathrm {e} ^ {+i E t_ {0}/\ hbar}} {\ лівий (2\ пі\ сигма {E} ^ {2}\ праворуч) ^ {1/4}}\ mathrm {e} ^ {-\ лівий (E-E_ {0}\ праворуч) ^ {2}/\ сигма_ {E} ^ {2}}\ end {рівняння}
де\(\sigma_E\,\sigma_t=\hbar/2\). Як і раніше, гаусові хвильові пакети задовольняють принципу мінімальної невизначеності\(\sigma_E\,\sigma_t=\hbar/2\). І навпаки, негауссівські хвильові пакети характеризуються\(\sigma_E\,\sigma_t>\hbar/2\).