2.10: Хвилеві пакети
- Page ID
- 77146
Попереднє обговорення говорить про те, що хвильова функція масивної частинки імпульсу\(p\) і енергії\(E\), що рухається в позитивному\(x\) -напрямку, може бути записана\[\label{e2.41} \psi(x,t) = \bar{\psi}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)},\] де\(k= p/\hbar>0\) і\(\omega = E/\hbar>0\). Тут\(\omega\) і\(k\) пов'язані за допомогою дисперсійного відношення ([e2.38]). Вираз ([e2.41]) являє собою плоску хвилю, максимуми і мінімуми якої поширюються в\(x\) додатному напрямку з фазовою швидкістю\(v_p=\omega/k\). Як ми бачили, ця фазова швидкість становить лише половину класичної швидкості масивної частинки.
Раніше найбільш розумною фізичною інтерпретацією хвильової функції\(|\psi(x,t)|^{\,2}\) є те, що пропорційна щільності ймовірності знаходження частинки в положенні\(x\) в часі\(t\). Однак модуль пружності у квадраті хвильової функції ([e2.41]) є\(|\bar{\psi}|^{\,2}\), який не залежить ні від\(x\) ні\(t\). Іншими словами, ця хвильова функція являє собою частинку, яка з однаковою ймовірністю буде знайдена будь-де на\(x\) осі -у будь-який час. Звідси той факт, що максимуми і мінімуми хвильової функції поширюються при фазовій швидкості, яка не відповідає класичній швидкості частинок, не має ніяких реальних фізичних наслідків.
Як ми можемо записати хвильову функцію частинки, яка локалізується в\(x\): тобто частинці, яка, швидше за все, буде знайдена в одних положеннях на\(x\) осі, ніж на інших? Виявляється, ми можемо досягти цієї мети, сформувавши лінійну комбінацію площин-хвиль різних хвильових чисел: іншими словами,\[\label{e2.42} \psi(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\psi}(k)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\,dk.\] тут,\(\bar{\psi}(k)\) являє собою складну амплітуду площин-хвиль хвильового числа\(k\) в цій комбінації. При написанні попереднього виразу ми спираємося на припущення, що хвилі частинок суперпозіруються: тобто завжди можна додати два дійсних хвильових рішення для формування третього дійсного хвильового рішення. Кінцевим обґрунтуванням цього припущення є те, що хвилі частинок задовольняють диференціальне хвильове рівняння, яке є лінійним\(\psi\) Як ми побачимо, у розділі 1.15 це дійсно так. До речі, плоска хвиля, яка змінюється як\(\exp[\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)]\) і має негативний\(k\) (але позитивний\(\omega\)) поширюється в негативному\(x\) напрямку на фазовій швидкості\(\omega/|k|\). Отже, суперпозиція ([e2.42]) включає як вперед, так і назад поширюються хвилі.
Існує корисна математична теорема, відома як теорема Фур'є, яка стверджує, що якщо\[\label{e2.43} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \bar{f}(k)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,k\,x}\,dk,\] тоді\[\label{e2.44} \bar{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,k\,x}\,dx.\] Тут,\(\bar{f}(k)\) відомий як перетворення Фур'є функції\(f(x)\). Ми можемо використати теорему Фур'є, щоб знайти функцію\(k\) -space\(\bar{\psi}(k)\), яка генерує будь-яку задану\(x\) хвильову функцію\(\psi(x)\) у заданий час.
Наприклад, припустимо, що при\(t=0\) хвильовій функції наша частинка набуває вигляду.\[\label{e2.45} \psi(x,0) \propto \exp\left[{\rm i}\,k_0\,x - \frac{(x-x_0)^{\,2}}{4\,({\mit\Delta}x)^{\,2}}\right].\] Таким чином, пишеться початкова щільність ймовірності частинки.\[\label{e2.46} |\psi(x,0)|^{\,2} \propto \exp\left[- \frac{(x-x_0)^{\,2}}{2\,({\mit\Delta}x)^{\,2}}\right].\] Цей конкретний розподіл ймовірностей називається гауссовим розподілом і побудовано на малюнку. [f4]. Видно, що вимірювання положення частинки, швидше за все, дасть значення\(x_0\), і дуже навряд чи дасть значення, яке\(x_0\) відрізняється від більш ніж\(3\,{\mit\Delta} x\). Таким чином, Equation ([e2.45]) - це хвильова функція частинки, яка спочатку локалізується навколо\(x=x_0\) в деякій області, ширина якої є порядковою\({\mit\Delta} x\). Цей тип хвильової функції відомий як хвильовий пакет.
Рисунок 7: Гауссовий розподіл ймовірностей у
-просторі.
Відповідно до Рівняння ([e2.42]),\[\psi(x,0) = \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\psi}(k)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,k\,x}\,dk.\] Отже, ми можемо використовувати теорему Фур'є, щоб інвертувати цей вираз, щоб дати\[\label{e2.42a} \bar{\psi}(k)\propto \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x,0)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,k\,x}\,dx.\] Використовуючи рівняння ([e2.45]), ми отримуємо\[\bar{\psi}(k) \propto {\rm e}^{-{\rm i}\,(k-k_0)\,x_0}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left[ -{\rm i}\,(k-k_0)\,(x-x_0) - \frac{(x-x_0)^{\,2}}{4\,({\mit\Delta}x)^{\,2}}\right]dx.\] Зміна змінної інтеграції до\(y=(x-x_0)/ (2\,{\mit\Delta} x)\), це зводиться до\[\bar{\psi}(k) \propto {\rm e}^{-{\rm i}\,k\,x_0} \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-{\rm i}\,\beta\,y - y^{\,2}\right) dy,\] куди\(\beta = 2\,(k-k_0)\,{\mit\Delta}x\). Попереднє рівняння можна переставити, щоб дати\[\bar{\psi}(k) \propto {\rm e}^{-{\rm i}\,k\,x_0 - \beta^{\,2}/4}\int_{-\infty}^{\infty} {\rm e}^{-(y-y_0)^{\,2}}\,dy,\] куди\(y_0 = - {\rm i}\,\beta/2\). Інтеграл тепер просто зводиться до числа, як можна легко побачити, зробивши зміну змінної\(z=y-y_0\). Значить, отримуємо\[\label{e2.51} \bar{\psi}(k) \propto \exp\left[-{\rm i}\,k\,x_0 - \frac{(k-k_0)^{\,2}}{4\,({\mit\Delta}k)^{\,2}}\right],\] де\[{\mit\Delta} k = \frac{1}{2\,{\mit\Delta} x}.\]
Якщо\(|\psi(x)|^{\,2}\) пропорційна щільності ймовірності вимірювання положення частинки, що дає значення,\(x\) то це означає, що\(|\bar{\psi}(k)|^{\,2}\) це пропорційно щільності ймовірності вимірювання хвильового числа частинки, що дає значення\(k\). (Нагадаємо\(p = \hbar\,k\), що, таким чином, вимірювання хвильового числа частинки\(k\), еквівалентно вимірюванню імпульсу частинки,\(p\)). Відповідно до Рівняння ([e2.51]),\[\label{e2.53} |\bar{\psi}(k)|^{\,2} \propto \exp\left[- \frac{(k-k_0)^{\,2}}{2\,({\mit\Delta}k)^{\,2}}\right].\] Зауважте, що цей розподіл ймовірностей є гаусовим у\(k\) -просторі. [Див. Рівняння ([e2.46]) та малюнок [f4].] Отже, вимірювання, швидше за все, дасть значення\(k_0\), і дуже навряд чи дасть значення, яке\(k_0\) відрізняється від більш ніж\(3\,{\mit\Delta}k\).\(k\) До речі, Гаусова є єдиною простою математичною функцією в\(x\) -просторі, яка має ту ж форму, що і її перетворення Фур'є в\(k\) -просторі.
Ми щойно бачили, що розподіл ймовірностей Гаусса по ширині характеристик\({\mit\Delta} x\) у\(x\) -просторі [див. Рівняння ([e2.46])] перетворюється на розподіл гаусових ймовірностей характерної ширини\({\mit\Delta} k\) в\(k\) -просторі [див. Рівняння ([e2.53])], де \[{\mit\Delta}x\,{\mit\Delta} k = \frac{1}{2}.\]Це ілюструє важливу властивість wave-пакетів. А саме, якщо ми хочемо побудувати пакет, який дуже локалізований в\(x\) -space (\({\mit\Delta}x\)тобто якщо маленький), то нам потрібно об'єднати площини-хвилі з дуже широким діапазоном різних\(k\) -значень (тобто\({\mit\Delta}k\) буде великим). І навпаки, якщо ми об'єднаємо тільки плоски-хвилі, чиї хвильові числа відрізняються на невелику кількість (\({\mit\Delta}k\)тобто якщо маленька), то отриманий хвильовий пакет буде дуже розширений в\(x\) -space (тобто\({\mit\Delta}x\) буде великим).