2.10: Хвилеві пакети
Попереднє обговорення говорить про те, що хвильова функція масивної частинки імпульсуp і енергіїE, що рухається в позитивномуx -напрямку, може бути записанаψ(x,t)=ˉψei(kx−ωt), деk=p/ℏ>0 іω=E/ℏ>0. Тутω іk пов'язані за допомогою дисперсійного відношення ([e2.38]). Вираз ([e2.41]) являє собою плоску хвилю, максимуми і мінімуми якої поширюються вx додатному напрямку з фазовою швидкістюvp=ω/k. Як ми бачили, ця фазова швидкість становить лише половину класичної швидкості масивної частинки.
Раніше найбільш розумною фізичною інтерпретацією хвильової функції|ψ(x,t)|2 є те, що пропорційна щільності ймовірності знаходження частинки в положенніx в часіt. Однак модуль пружності у квадраті хвильової функції ([e2.41]) є|ˉψ|2, який не залежить ні відx ніt. Іншими словами, ця хвильова функція являє собою частинку, яка з однаковою ймовірністю буде знайдена будь-де наx осі -у будь-який час. Звідси той факт, що максимуми і мінімуми хвильової функції поширюються при фазовій швидкості, яка не відповідає класичній швидкості частинок, не має ніяких реальних фізичних наслідків.
Як ми можемо записати хвильову функцію частинки, яка локалізується вx: тобто частинці, яка, швидше за все, буде знайдена в одних положеннях наx осі, ніж на інших? Виявляється, ми можемо досягти цієї мети, сформувавши лінійну комбінацію площин-хвиль різних хвильових чисел: іншими словами,ψ(x,t)=∫∞−∞ˉψ(k)ei(kx−ωt)dk. тут,ˉψ(k) являє собою складну амплітуду площин-хвиль хвильового числаk в цій комбінації. При написанні попереднього виразу ми спираємося на припущення, що хвилі частинок суперпозіруються: тобто завжди можна додати два дійсних хвильових рішення для формування третього дійсного хвильового рішення. Кінцевим обґрунтуванням цього припущення є те, що хвилі частинок задовольняють диференціальне хвильове рівняння, яке є лінійнимψ Як ми побачимо, у розділі 1.15 це дійсно так. До речі, плоска хвиля, яка змінюється якexp[i(kx−ωt)] і має негативнийk (але позитивнийω) поширюється в негативномуx напрямку на фазовій швидкостіω/|k|. Отже, суперпозиція ([e2.42]) включає як вперед, так і назад поширюються хвилі.
Існує корисна математична теорема, відома як теорема Фур'є, яка стверджує, що якщоf(x)=1√2π∫∞−∞ˉf(k)eikxdk, тодіˉf(k)=1√2π∫∞−∞f(x)e−ikxdx. Тут,ˉf(k) відомий як перетворення Фур'є функціїf(x). Ми можемо використати теорему Фур'є, щоб знайти функціюk -spaceˉψ(k), яка генерує будь-яку задануx хвильову функціюψ(x) у заданий час.
Наприклад, припустимо, що приt=0 хвильовій функції наша частинка набуває вигляду.ψ(x,0)∝exp[ik0x−(x−x0)24(Δx)2]. Таким чином, пишеться початкова щільність ймовірності частинки.|ψ(x,0)|2∝exp[−(x−x0)22(Δx)2]. Цей конкретний розподіл ймовірностей називається гауссовим розподілом і побудовано на малюнку. [f4]. Видно, що вимірювання положення частинки, швидше за все, дасть значенняx0, і дуже навряд чи дасть значення, якеx0 відрізняється від більш ніж3Δx. Таким чином, Equation ([e2.45]) - це хвильова функція частинки, яка спочатку локалізується навколоx=x0 в деякій області, ширина якої є порядковоюΔx. Цей тип хвильової функції відомий як хвильовий пакет.
Рисунок 7: Гауссовий розподіл ймовірностей у -просторі.
Відповідно до Рівняння ([e2.42]),ψ(x,0)=∫∞−∞ˉψ(k)eikxdk. Отже, ми можемо використовувати теорему Фур'є, щоб інвертувати цей вираз, щоб датиˉψ(k)∝∫∞−∞ψ(x,0)e−ikxdx. Використовуючи рівняння ([e2.45]), ми отримуємоˉψ(k)∝e−i(k−k0)x0∫∞−∞exp[−i(k−k0)(x−x0)−(x−x0)24(Δx)2]dx. Зміна змінної інтеграції доy=(x−x0)/(2Δx), це зводиться доˉψ(k)∝e−ikx0∫∞−∞exp(−iβy−y2)dy, кудиβ=2(k−k0)Δx. Попереднє рівняння можна переставити, щоб датиˉψ(k)∝e−ikx0−β2/4∫∞−∞e−(y−y0)2dy, кудиy0=−iβ/2. Інтеграл тепер просто зводиться до числа, як можна легко побачити, зробивши зміну змінноїz=y−y0. Значить, отримуємоˉψ(k)∝exp[−ikx0−(k−k0)24(Δk)2], деΔk=12Δx.
Якщо|ψ(x)|2 пропорційна щільності ймовірності вимірювання положення частинки, що дає значення,x то це означає, що|ˉψ(k)|2 це пропорційно щільності ймовірності вимірювання хвильового числа частинки, що дає значенняk. (Нагадаємоp=ℏk, що, таким чином, вимірювання хвильового числа частинкиk, еквівалентно вимірюванню імпульсу частинки,p). Відповідно до Рівняння ([e2.51]),|ˉψ(k)|2∝exp[−(k−k0)22(Δk)2]. Зауважте, що цей розподіл ймовірностей є гаусовим уk -просторі. [Див. Рівняння ([e2.46]) та малюнок [f4].] Отже, вимірювання, швидше за все, дасть значенняk0, і дуже навряд чи дасть значення, якеk0 відрізняється від більш ніж3Δk.k До речі, Гаусова є єдиною простою математичною функцією вx -просторі, яка має ту ж форму, що і її перетворення Фур'є вk -просторі.
Ми щойно бачили, що розподіл ймовірностей Гаусса по ширині характеристикΔx уx -просторі [див. Рівняння ([e2.46])] перетворюється на розподіл гаусових ймовірностей характерної шириниΔk вk -просторі [див. Рівняння ([e2.53])], де ΔxΔk=12.Це ілюструє важливу властивість wave-пакетів. А саме, якщо ми хочемо побудувати пакет, який дуже локалізований вx -space (Δxтобто якщо маленький), то нам потрібно об'єднати площини-хвилі з дуже широким діапазоном різнихk -значень (тобтоΔk буде великим). І навпаки, якщо ми об'єднаємо тільки плоски-хвилі, чиї хвильові числа відрізняються на невелику кількість (Δkтобто якщо маленька), то отриманий хвильовий пакет буде дуже розширений вx -space (тобтоΔx буде великим).