2.9: Частинки

Класичні частинки

У цій книзі ми зосередимося, майже виключно, на поведінці нерелятивістських частинок ненульової маси (наприклад, електронів). За відсутності зовнішніх сил такі частинки маси$m$, енергії$E$ та імпульсу$p$, рухаються класично по прямій зі швидкістю

$$\label{e2.31} v = \frac{p}{m},$$ і задовольнити

$$\label{e2.32} E = \frac{p^{\,2}}{2\,m}.$$

Квантові частинки

Подібно до того, як світлові хвилі іноді проявляють властивості, подібні до частинок, виявляється, що масивні частинки іноді проявляють хвилеподібні властивості. Наприклад, можна отримати двощілинну інтерференційну картину з потоку моноенергетичних електронів, що проходить через дві тісно розташовані вузькі щілини. Ефективну довжину хвилі електронів можна визначити шляхом вимірювання ширини світлої та темної смуг в інтерференційній картині. [Див. Рівняння (2.7.6).] Встановлено, що

$$\label{e2.33} \lambda = \frac{h}{p}.$$ Таке ж відношення зустрічається і для інших типів частинок. Попередня довжина хвилі називається довжиною хвилі де Броля, після Луї де Брольє, який вперше припустив, що частинки повинні мати хвилеподібні властивості в 1923 році. Зверніть увагу, що довжина хвилі де Броля, як правило, дуже мала. Наприклад, електронна енергія, $$\lambda_e = 1.2\times 10^{-9}\,[E({\rm eV})]^{-1/2}\,{\rm m},$$ де електронна енергія зручно вимірюється в одиницях електрон-вольт (еВ). (Електрон, прискорений від спокою через різницю потенціалів 1000 В, набуває енергію 1000 еВ і т. Д.) Довжина хвилі де Броля протона $$\lambda_p = 2.9\times 10^{-11}\,[E({\rm eV})]^{-1/2}\,{\rm m}.$$

Враховуючи малу довжину хвиль де Броля загальних частинок, насправді досить складно проводити експерименти з інтерференцією частинок. Загалом, для проведення ефективного інтерференційного експерименту відстань щілин не повинна бути занадто великою, ніж довжина хвилі хвилі. Отже, експерименти з інтерференціями частинок вимагають або дуже низькоенергетичних частинок (тому що$\lambda\propto E^{\,-1/2}$), або дуже близько розташовані щілини. Зазвичай «щілини» складаються з кристалів, які діють трохи як дифракційні решітки з характерним інтервалом порядку міжатомних інтервалів (який зазвичай становить близько$10^{-9}$ m).

Рівняння (2.9.3) можна переставити, щоб дати

$$\label{e2.36} p = \hbar\,k,$$ який точно такий же, як відношення між імпульсом і хвильовимчислом, яке ми отримали раніше для фотонів. [Див. Рівняння ([e2.19b]).] Для випадку частинки, що рухає три виміри, попереднє відношення узагальнюється, щоб дати, $${\bf p} = \hbar\,{\bf k},$$ де${\bf p}$ знаходиться вектор частинки імпульс та${\bf k}$ її хвильовий вектор. Звідси випливає, що імпульс квантової частинки, а, отже, і її швидкість, завжди паралельні її хвильовому вектору.

Оскільки співвідношення ([e2.19b]) між імпульсом і хвильовим числом застосовується як до фотонів, так і до масивних частинок, здається правдоподібним, що тісно пов'язане відношення (2.6.1) між енергією та кутовою частотою хвилі також має застосовуватися як до фотонів, так і до частинок. Якщо це так, і ми можемо записати $$E = \hbar\,\omega$$ для хвиль частинок, то рівняння (2.9.2) і (2.9.6) дають наступне співвідношення дисперсії для таких хвиль:

$$\label{e2.38} \omega = \frac{\hbar\,k^{\,2}}{2\,m}.$$ Раніше ми бачили, що плоска хвиля поширюється з так званою фазовою швидкістю,

$$\label{epha} v_p = \frac{\omega}{k}.$$ Однак, згідно з попереднім співвідношенням дисперсії, частинка плоска хвиля поширюється на $$v_p = \frac{p}{2\,m}.$$ Note, з Equation (2.9.1), що це лише половина класичної швидкості частинок. Чи означає це, що співвідношення дисперсії (2.9.9) є неправильним? Розберемося далі.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick