2.9: Частинки
- Page ID
- 77147
Класичні частинки
У цій книзі ми зосередимося, майже виключно, на поведінці нерелятивістських частинок ненульової маси (наприклад, електронів). За відсутності зовнішніх сил такі частинки маси\(m\), енергії\(E\) та імпульсу\(p\), рухаються класично по прямій зі швидкістю
\[\label{e2.31} v = \frac{p}{m},\]і задовольнити
Квантові частинки
Подібно до того, як світлові хвилі іноді проявляють властивості, подібні до частинок, виявляється, що масивні частинки іноді проявляють хвилеподібні властивості. Наприклад, можна отримати двощілинну інтерференційну картину з потоку моноенергетичних електронів, що проходить через дві тісно розташовані вузькі щілини. Ефективну довжину хвилі електронів можна визначити шляхом вимірювання ширини світлої та темної смуг в інтерференційній картині. [Див. Рівняння (2.7.6).] Встановлено, що
\[\label{e2.33} \lambda = \frac{h}{p}.\]Таке ж відношення зустрічається і для інших типів частинок. Попередня довжина хвилі називається довжиною хвилі де Броля, після Луї де Брольє, який вперше припустив, що частинки повинні мати хвилеподібні властивості в 1923 році. Зверніть увагу, що довжина хвилі де Броля, як правило, дуже мала. Наприклад, електронна енергія,\[\lambda_e = 1.2\times 10^{-9}\,[E({\rm eV})]^{-1/2}\,{\rm m},\] де електронна енергія зручно вимірюється в одиницях електрон-вольт (еВ). (Електрон, прискорений від спокою через різницю потенціалів 1000 В, набуває енергію 1000 еВ і т. Д.) Довжина хвилі де Броля протона\[\lambda_p = 2.9\times 10^{-11}\,[E({\rm eV})]^{-1/2}\,{\rm m}.\]
Враховуючи малу довжину хвиль де Броля загальних частинок, насправді досить складно проводити експерименти з інтерференцією частинок. Загалом, для проведення ефективного інтерференційного експерименту відстань щілин не повинна бути занадто великою, ніж довжина хвилі хвилі. Отже, експерименти з інтерференціями частинок вимагають або дуже низькоенергетичних частинок (тому що\(\lambda\propto E^{\,-1/2}\)), або дуже близько розташовані щілини. Зазвичай «щілини» складаються з кристалів, які діють трохи як дифракційні решітки з характерним інтервалом порядку міжатомних інтервалів (який зазвичай становить близько\(10^{-9}\) m).
Рівняння (2.9.3) можна переставити, щоб дати
\[\label{e2.36} p = \hbar\,k,\]який точно такий же, як відношення між імпульсом і хвильовимчислом, яке ми отримали раніше для фотонів. [Див. Рівняння ([e2.19b]).] Для випадку частинки, що рухає три виміри, попереднє відношення узагальнюється, щоб дати,\[{\bf p} = \hbar\,{\bf k},\] де\({\bf p}\) знаходиться вектор частинки імпульс та\({\bf k}\) її хвильовий вектор. Звідси випливає, що імпульс квантової частинки, а, отже, і її швидкість, завжди паралельні її хвильовому вектору.
Оскільки співвідношення ([e2.19b]) між імпульсом і хвильовим числом застосовується як до фотонів, так і до масивних частинок, здається правдоподібним, що тісно пов'язане відношення (2.6.1) між енергією та кутовою частотою хвилі також має застосовуватися як до фотонів, так і до частинок. Якщо це так, і ми можемо записати\[E = \hbar\,\omega\] для хвиль частинок, то рівняння (2.9.2) і (2.9.6) дають наступне співвідношення дисперсії для таких хвиль:
\[\label{e2.38} \omega = \frac{\hbar\,k^{\,2}}{2\,m}.\]Раніше ми бачили, що плоска хвиля поширюється з так званою фазовою швидкістю,
\[\label{epha} v_p = \frac{\omega}{k}.\]Однак, згідно з попереднім співвідношенням дисперсії, частинка плоска хвиля поширюється на\[v_p = \frac{p}{2\,m}.\] Note, з Equation (2.9.1), що це лише половина класичної швидкості частинок. Чи означає це, що співвідношення дисперсії (2.9.9) є неправильним? Розберемося далі.