15.10: калібрувальні перетворення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78723

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо (рівняння 9.1.1), що статичне електричне поле\(\textbf{E}\) можна вивести з негативного градієнта скалярної потенційної функції простору:

\[ \textbf{E} = -\textbf{grad} \, V. \tag{15.10.1} \label{15.10.1}\]

Нуль потенціалу довільний. До V можна додати будь-яку константу (з розмірами потенціалу). Наприклад, якщо ми визначаємо ne\(V^{\prime}= V +C\) де\(C\) є постійною (в тому сенсі, що це не функція x, y, z), то ми все одно можемо обчислити електричне поле з\(\textbf{E} = - \textbf{grad}V^{\prime}\).

Нагадаємо також (Рівняння 9.2.1), що статичне магнітне поле\(\textbf{B}\) c може бути отримане з завитка функції магнітного вектора потенціалу:

\[ \textbf{B} = \textbf{curl} \,\textbf{A} \tag{15.10.2} \label{15.10.2}\]

Згадаймо також тут поняття B -потоку з Рівняння 6.10.1:

\[ \Phi_B= \iint \textbf{B} \cdot d\textbf{A} \tag{15.10.3} \label{15.10.3}\]

Тут варто буде переосмислити розміри і одиниці СІ цих величин:

Спостережуваний	Розміри	Si Одиниці
Е	МЛТ ^- ² Q ^- ¹	В м ^- ¹
Б	МТ ^- ¹ КВ ^- ¹	Т
V	МЛ ² Т ^- ² Q ^- ¹	V
А	МЛТ ^- ¹ Q ^- ¹	Т м або Вб м ^- ¹
Φ _B	МЛ ² Т ^- ¹ Q ^- ¹	Т м ² або веб

\(\ref{15.10.2}\)Рівняння також вірно для нестатичного поля. Таким чином, магнітне поле, що змінюється в часі, може бути представлено магнітним векторним потенціалом, що змінюється в часі.\(\textbf{curl}\) Однак з явища електромагнітної індукції ми знаємо, що змінне магнітне поле має такий же ефект, як і електричне поле, так що, якщо поля не статичні, електричне поле є результатом градієнта електричного потенціалу та змінного магнітного поля, так що рівняння\(\ref{15.10.1}\) тримає тільки для статичних полів.

Якщо об'єднати рівняння Максвелла\(\textbf{curl}\, \textbf{E} = - \dot{\bf{B}}\) with the equation for the definition of the magnetic vector potenti al\(\textbf{curl}\, \bf{A} = \bf{B}\),\(\textbf{curl}\, (\bf{E} + \dot{\bf{A}}) = 0\) то отримаємо Тоді, оскільки будь-якої\(\textbf{curl grad}\) скалярної функції дорівнює нулю, ми можемо визначити потенційну функцію\(V\) таку, що

\[\textbf{E} + \dot{\bf{A}} = -\textbf{grad} \, V\tag{15.10.4} \label{15.10.4}\]

(Ми могли б вибрати знак плюс, але ми вибираємо знак мінус так, щоб він зводиться до знайомого\(\textbf{E} = -\textbf{grad}V\) for a static field.) Thus equations \(\ref{15.10.4}\) and \(\ref{15.10.2}\) define the electric and magnetic potentials – or at least they define the \(\textbf{grad}\)ient of V and the \(\textbf{curl}\) of \(\textbf{A}\). But we recall that, in the static case, we can add an arbitrary constant t o\(V\) (поки константа розмірно схожа на V), і рівняння\(\textbf{E} = -\textbf{grad}V^{\prime}\), де\(V^{\prime} = V + C\), все ще тримається. Чи можемо ми знайти відповідне перетворення для\(V\) і\(\textbf{A}\) такого, що рівняння\(\ref{15.10.2}\) і\(\ref{15.10.4}\) досі тримаються в нестатичному випадку? Таке перетворення було б калібрувальним перетворенням.

\(\chi\)Дозволяти бути деяка довільна скалярна функція простору і часу. Я вимагаю мало форми\(\chi\) ; дійсно, я вимагаю лише двох речей. Одна з них полягає в тому, що це «добре поводиться» функція, в тому сенсі, що вона всюди і в усі часи однозначна, безперервна та диференційована. Інша полягає в тому, що вона повинна мати розміри ML ² T ^- ¹ Q ^-1 . Це те саме, що розміри магнітного В-потоку, але я не впевнений, що особливо корисно думати про це. Буде, однак, корисно відзначити, що розміри grade\(\chi\) and of \(\dot{\chi}\) are, respectively, the same as the dimensions of magnetic vector potenti al (\(\bf{A}\)) і o f електричного потенціалу (l\(V\)).

Давайте зробимо перетворення

\[\textbf{A}^{\prime}= \textbf{A}-\textbf{grad}\boldsymbol{\chi} \tag{15.10.5} \label{15.10.5}\]

і\[V^{\prime} = V + \dot \chi \tag{15.10.6} \label{15.10.6}\]

Ми побачимо дуже швидко, що це перетворення (а у нас є широкий вибір у вигляді c) зберігає форми рівнянь\(\ref{15.10.2}\) and \(\ref{15.10.4}\), and therefore this transformation (or, rather, these transformations, since c може мати будь-яку добре поведену форму) є калібрувальних перетворень.

Таким чином\(\textbf{curl} \, \textbf{A} = \textbf{B}\) стає\(\textbf{curl}\, ( \textbf{A}^{\prime} + \textbf{grad} \chi)=\textbf{B}\) And since \(\textbf{curl grad}\) of any scalar field is zero, this becomes \(\textbf{curl} \, \textbf{A}^{\prime} = \textbf{B}\).

Крім того,\(\textbf{grad}V = - (\textbf{E} + \dot{\textbf{A}})\) becomes

стає\[\textbf{grad}(V^{\prime}-\dot \chi) = -(\textbf{E} + \dot{\textbf{A}^{\prime}} + \textbf{grad} \dot{\boldsymbol{\chi}}), \text{ or } \textbf{grad}V^{\prime} = -(\textbf{E} + \dot{\textbf{A}^{\prime}}). \tag{15.10.7}\]

Таким чином, форма рівнянь зберігається. Якщо ми зробимо калібрувальне перетворення до потенціалів, таких як рівняння\(\ref{15.10.5}\) and \(\ref{15.10.6}\), this does not change the fields \(\textbf{E}\) and \(\textbf{B}\), so that the fields \(\textbf{E}\) and \(\textbf{B}\) are gauge invariant. Maxwell’s equations in their usual form are expressed in terms of \(\textbf{E}\) and \(\textbf{B}\), and are hence gauge invariant.