15.10: калібрувальні перетворення

Нагадаємо (рівняння 9.1.1), що статичне електричне поле$\textbf{E}$ можна вивести з негативного градієнта скалярної потенційної функції простору:

$$\textbf{E} = -\textbf{grad} \, V. \tag{15.10.1} \label{15.10.1}$$

Нуль потенціалу довільний. До V можна додати будь-яку константу (з розмірами потенціалу). Наприклад, якщо ми визначаємо ne$V^{\prime}= V +C$ де$C$ є постійною (в тому сенсі, що це не функція x, y, z), то ми все одно можемо обчислити електричне поле з$\textbf{E} = - \textbf{grad}V^{\prime}$.

Нагадаємо також (Рівняння 9.2.1), що статичне магнітне поле$\textbf{B}$ c може бути отримане з завитка функції магнітного вектора потенціалу:

$$\textbf{B} = \textbf{curl} \,\textbf{A} \tag{15.10.2} \label{15.10.2}$$

Згадаймо також тут поняття B -потоку з Рівняння 6.10.1:

$$\Phi_B= \iint \textbf{B} \cdot d\textbf{A} \tag{15.10.3} \label{15.10.3}$$

Тут варто буде переосмислити розміри і одиниці СІ цих величин:

Спостережуваний	Розміри	Si Одиниці
Е	МЛТ ^- ^2 Q ^- ^1	В м ^- ^1
Б	МТ ^- ^1 КВ ^- ^1	Т
V	МЛ ^2 Т ^- ^2 Q ^- ^1	V
А	МЛТ ^- ^1 Q ^- ^1	Т м або Вб м ^- ^1
Φ B	МЛ ^2 Т ^- ^1 Q ^- ^1	Т м ^2 або веб

$\ref{15.10.2}$Рівняння також вірно для нестатичного поля. Таким чином, магнітне поле, що змінюється в часі, може бути представлено магнітним векторним потенціалом, що змінюється в часі.$\textbf{curl}$ Однак з явища електромагнітної індукції ми знаємо, що змінне магнітне поле має такий же ефект, як і електричне поле, так що, якщо поля не статичні, електричне поле є результатом градієнта електричного потенціалу та змінного магнітного поля, так що рівняння$\ref{15.10.1}$ тримає тільки для статичних полів.

Якщо об'єднати рівняння Максвелла$\textbf{curl}\, \textbf{E} = - \dot{\bf{B}}$ with the equation for the definition of the magnetic vector potenti al$\textbf{curl}\, \bf{A} = \bf{B}$,$\textbf{curl}\, (\bf{E} + \dot{\bf{A}}) = 0$ то отримаємо Тоді, оскільки будь-якої$\textbf{curl grad}$ скалярної функції дорівнює нулю, ми можемо визначити потенційну функцію$V$ таку, що

$$\textbf{E} + \dot{\bf{A}} = -\textbf{grad} \, V\tag{15.10.4} \label{15.10.4}$$

(Ми могли б вибрати знак плюс, але ми вибираємо знак мінус так, щоб він зводиться до знайомого$\textbf{E} = -\textbf{grad}V$ for a static field.) Thus equations $\ref{15.10.4}$ and $\ref{15.10.2}$ define the electric and magnetic potentials – or at least they define the $\textbf{grad}$ient of V and the $\textbf{curl}$ of $\textbf{A}$. But we recall that, in the static case, we can add an arbitrary constant t o$V$ (поки константа розмірно схожа на V), і рівняння$\textbf{E} = -\textbf{grad}V^{\prime}$, де$V^{\prime} = V + C$, все ще тримається. Чи можемо ми знайти відповідне перетворення для$V$ і$\textbf{A}$ такого, що рівняння$\ref{15.10.2}$ і$\ref{15.10.4}$ досі тримаються в нестатичному випадку? Таке перетворення було б калібрувальним перетворенням.

$\chi$Дозволяти бути деяка довільна скалярна функція простору і часу. Я вимагаю мало форми$\chi$ ; дійсно, я вимагаю лише двох речей. Одна з них полягає в тому, що це «добре поводиться» функція, в тому сенсі, що вона всюди і в усі часи однозначна, безперервна та диференційована. Інша полягає в тому, що вона повинна мати розміри ML ² T ^{- 1} Q ^-1 . Це те саме, що розміри магнітного В-потоку, але я не впевнений, що особливо корисно думати про це. Буде, однак, корисно відзначити, що розміри grade$\chi$ and of $\dot{\chi}$ are, respectively, the same as the dimensions of magnetic vector potenti al ($\bf{A}$) і o f електричного потенціалу (l$V$).

Давайте зробимо перетворення

$$\textbf{A}^{\prime}= \textbf{A}-\textbf{grad}\boldsymbol{\chi} \tag{15.10.5} \label{15.10.5}$$

і $$V^{\prime} = V + \dot \chi \tag{15.10.6} \label{15.10.6}$$

Ми побачимо дуже швидко, що це перетворення (а у нас є широкий вибір у вигляді c) зберігає форми рівнянь$\ref{15.10.2}$ and $\ref{15.10.4}$, and therefore this transformation (or, rather, these transformations, since c може мати будь-яку добре поведену форму) є калібрувальних перетворень.

Таким чином$\textbf{curl} \, \textbf{A} = \textbf{B}$ стає$\textbf{curl}\, ( \textbf{A}^{\prime} + \textbf{grad} \chi)=\textbf{B}$ And since $\textbf{curl grad}$ of any scalar field is zero, this becomes $\textbf{curl} \, \textbf{A}^{\prime} = \textbf{B}$.

Крім того,$\textbf{grad}V = - (\textbf{E} + \dot{\textbf{A}})$ becomes

стає $$\textbf{grad}(V^{\prime}-\dot \chi) = -(\textbf{E} + \dot{\textbf{A}^{\prime}} + \textbf{grad} \dot{\boldsymbol{\chi}}), \text{ or } \textbf{grad}V^{\prime} = -(\textbf{E} + \dot{\textbf{A}^{\prime}}). \tag{15.10.7}$$

Таким чином, форма рівнянь зберігається. Якщо ми зробимо калібрувальне перетворення до потенціалів, таких як рівняння$\ref{15.10.5}$ and $\ref{15.10.6}$, this does not change the fields $\textbf{E}$ and $\textbf{B}$, so that the fields $\textbf{E}$ and $\textbf{B}$ are gauge invariant. Maxwell’s equations in their usual form are expressed in terms of $\textbf{E}$ and $\textbf{B}$, and are hence gauge invariant.