15.9: Електромагнітні хвилі

Максвелл передбачив існування електромагнітних хвиль, і вони були створені експериментально Герц незабаром після цього. Крім того, передбачувана швидкість хвиль була такою ж$3 \times 10^{8}\, \text{m s}^{-1}$, як і вимірювана швидкість світла, показуючи, що світло - це електромагнітна хвиля.

В ізотропному, однорідному, непровідному, незарядженому середовищі, де діелектрична проникність і проникність є скалярними величинами, можна записати рівняння Максвелла

$$\boldsymbol{\nabla} \cdot \textbf{E} = \rho. \tag{15.9.1} \label{15.9.1}$$

$$\boldsymbol{\nabla} \cdot \textbf{H} = 0. \tag{15.9.2} \label{15.9.2}$$

$$\boldsymbol{\nabla} \times \textbf{H} = \epsilon \dot {\textbf{E}}. \tag{15.9.3} \label{15.9.3}$$

$$\boldsymbol{\nabla} \times \textbf{E} = - \mu \dot{ \textbf{H}}. \tag{15.9.4} \label{15.9.4}$$

Ці рівняння в вольве$\textbf{E}$$\textbf{H}$, і$t$. Давайте подивимося, чи зможемо ми усунути мене і$\textbf{E}$, отже, знайти рівняння в справедливому$\textbf{H}$ і$t$.

Візьмемо$\textbf{curl}$ рівняння$\ref{15.9.3}$, and make use of equation 15.6.4:

$$\textbf{grad}\, \text{div} \textbf{H} - \nabla^2\textbf{H} = \epsilon \dfrac{\partial}{\partial t} \textbf{curl}\, \textbf{E} \tag{15.9.5} \label{15.9.5}$$

Заміна$\textbf{curl}\, \textbf{E}$ рівнянь$\text{div} \ \textbf{H}$ і з$\ref{15.9.2}$ and $\ref{15.9.4}$ to obtain

$$\nabla^2 \textbf{H} = \epsilon \mu \ddot{\textbf{H}}\tag{15.9.6} \label{15.9.6}$$

Це рівняння з точки зору just t$\textbf{H}$ і$t$ th at ми шукали.

Порівняння з рівнянням 15.1.2 показує, що це хвиля швидкості$1/ \sqrt{\epsilon \mu}$ (Verify that this has the dimensions of speed.)

Аналогічним чином читач повинен легко мати можливість усунути e$\textbf{B}$ t, щоб вивести рівняння.

$$\nabla^2 \textbf{E} = \epsilon \mu \ddot{\textbf{E}} \tag{15.9.7} \label{15.9.7}$$

У вакуумі швидкість$1/ \sqrt{\epsilon_o \mu_o}$. Wit h$\mu_o = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{H m}^{-1}$ і$\epsilon_o = 8.854 \times 10^{-12} \text{F m}^{-1}$, це з mes to$2.998 \times 10^8 \, \text{m s}^{-1}$.

Чи можемо ми виключити те$t$ з рівнянь і, отже, отримати відношення між ju st$\textbf{E}$ і$\textbf{H}$? Якщо ви це зробите, ви отримаєте

$$\dfrac{E}{H} = \sqrt{\dfrac{\mu}{\epsilon}}, \tag{15.9.8} \label{15.9.8}$$

який у вакуумі, або вільному просторі, стає

$$\dfrac{E}{H} = \sqrt{\dfrac{\mu_o}{\epsilon_o}} = 377\, \Omega, \tag{15.9.9} \label{15.9.9}$$

який є імпедансом вакууму, або вільного простору. Так як одиниці СІ$\textbf{E}$ і$\textbf{H}$ складають відповідно V m ^{- 1} і A m ^- 1 , легко перевірити, що одиницями імпедансу є V A ^{- 1}, або$\Omega$ .