15.9: Електромагнітні хвилі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78709

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Максвелл передбачив існування електромагнітних хвиль, і вони були створені експериментально Герц незабаром після цього. Крім того, передбачувана швидкість хвиль була такою ж\(3 \times 10^{8}\, \text{m s}^{-1}\), як і вимірювана швидкість світла, показуючи, що світло - це електромагнітна хвиля.

В ізотропному, однорідному, непровідному, незарядженому середовищі, де діелектрична проникність і проникність є скалярними величинами, можна записати рівняння Максвелла

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \textbf{E} = \rho. \tag{15.9.1} \label{15.9.1}\]

\[ \boldsymbol{\nabla} \cdot \textbf{H} = 0. \tag{15.9.2} \label{15.9.2}\]

\[\boldsymbol{\nabla} \times \textbf{H} = \epsilon \dot {\textbf{E}}. \tag{15.9.3} \label{15.9.3}\]

\[\boldsymbol{\nabla} \times \textbf{E} = - \mu \dot{ \textbf{H}}. \tag{15.9.4} \label{15.9.4}\]

Ці рівняння в вольве\(\textbf{E}\)\(\textbf{H}\), і\(t\). Давайте подивимося, чи зможемо ми усунути мене і\(\textbf{E}\), отже, знайти рівняння в справедливому\(\textbf{H}\) і\(t\).

Візьмемо\(\textbf{curl}\) рівняння\(\ref{15.9.3}\), and make use of equation 15.6.4:

\[ \textbf{grad}\, \text{div} \textbf{H} - \nabla^2\textbf{H} = \epsilon \dfrac{\partial}{\partial t} \textbf{curl}\, \textbf{E} \tag{15.9.5} \label{15.9.5}\]

Заміна\(\textbf{curl}\, \textbf{E}\) рівнянь\(\text{div} \ \textbf{H}\) і з\(\ref{15.9.2}\) and \(\ref{15.9.4}\) to obtain

\[ \nabla^2 \textbf{H} = \epsilon \mu \ddot{\textbf{H}}\tag{15.9.6} \label{15.9.6}\]

Це рівняння з точки зору just t\(\textbf{H}\) і\(t\) th at ми шукали.

Порівняння з рівнянням 15.1.2 показує, що це хвиля швидкості\(1/ \sqrt{\epsilon \mu}\) (Verify that this has the dimensions of speed.)

Аналогічним чином читач повинен легко мати можливість усунути e\(\textbf{B}\) t, щоб вивести рівняння.

\[ \nabla^2 \textbf{E} = \epsilon \mu \ddot{\textbf{E}} \tag{15.9.7} \label{15.9.7}\]

У вакуумі швидкість\(1/ \sqrt{\epsilon_o \mu_o}\). Wit h\(\mu_o = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{H m}^{-1}\) і\(\epsilon_o = 8.854 \times 10^{-12} \text{F m}^{-1}\), це з mes to\(2.998 \times 10^8 \, \text{m s}^{-1}\).

Чи можемо ми виключити те\(t\) з рівнянь і, отже, отримати відношення між ju st\(\textbf{E}\) і\(\textbf{H}\)? Якщо ви це зробите, ви отримаєте

\[ \dfrac{E}{H} = \sqrt{\dfrac{\mu}{\epsilon}}, \tag{15.9.8} \label{15.9.8}\]

який у вакуумі, або вільному просторі, стає

\[ \dfrac{E}{H} = \sqrt{\dfrac{\mu_o}{\epsilon_o}} = 377\, \Omega, \tag{15.9.9} \label{15.9.9}\]

який є імпедансом вакууму, або вільного простору. Так як одиниці СІ\(\textbf{E}\) і\(\textbf{H}\) складають відповідно V m ^- ¹ і A m ^- 1 , легко перевірити, що одиницями імпедансу є V A ^- ¹, або\(\Omega\) .