Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.3: Комплексні числа

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78683

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тепер я повторю аналізи розділів 13.1 та 13.2, використовуючи позначення комплексних чисел. У контексті теорії змінного струму уявної одиниці прийнято давати символ\(j\) rather than \(i\), so that the symbol \(i\) is available, if need be, for electric currents. I am making the assumption that the reader is familiar with the basics of complex numbers; without that background, the reader may have difficulty with much of this chapter.

    Починаємо з індуктивності. Якщо струм змінюється, буде зворотна ЕРС, задана\(V=L\dot I\). If the current is changing as

    \[I=\hat{I}e^{j\omega t},\label{13.3.1}\]

    потім

    \[\dot I = \hat{I}j\omega e^{j\omega t}=j\omega I.\]

    Тому напруга задається

    \[\label{13.3.2}V=jL\omega I.\]

    Кількість\(jL\omega\) називається імпедансом індуктора, і є\(j\) times its reactance. Its reactance is \(L\omega\), and, in SI units, is expressed in ohms. Equation \ref{13.3.2} (in particular the operator \(j\) on the right hand side) tells us that \(V\) leads on \(I\) by 90o.

    Тепер припустимо, що на конденсатор подається змінна напруга. Заряд на конденсаторі в будь-який момент\(Q = CV\), and the current is \(I=C\dot V\). If the voltage is changing as

    \[V=\hat{V}e^{j\omega t},\label{13.3.3}\]

    потім

    \[\dot V = \hat{V}j\omega e^{j\omega t}=j\omega V.\]

    Тому струм задається

    \[\label{13.3.4}I=jC\omega V.\]

    Тобто

    \[V=-\frac{j}{C\omega}I.\label{13.3.5}\]

    Кількість\(-j/(C\omega )\) is called the impedance of the capacitor, and is \(j\) times its reactance. Its reactance is \(-1/(C\omega )\), а, в одиницях СІ, виражається в Омах. Рівняння\ ref {13.3.5} (зокрема оператор з правого\(-j\) боку) говорить нам, що\(V\) lags behind \(I\) by 90o.

    Підсумовуючи:

    \[\nonumber \begin{align} &\text{Inductor : Reactance} = L\omega. \qquad &&\text{Impedance} = jL\omega. \quad &&&V \text{ leads on }I. \\ \nonumber &\text{Capacitor : Reactance} = -1/(C\omega ) &&\text{Impedance} = -j/(C\omega). \quad &&&V \text{ lags behind }I. \\ \end{align}\]

    Можливо, на цьому етапі ви не отримали дуже чіткого уявлення про різницю між реактивним опором (символом)\(X\)) and impedance (symbol \(Z\)) other than that one seems to be \(j\) times the other. The next section deals with a slightly more complicated situation, namely a resistor and an inductor in series. (In practice, it may be one piece of equipment, such as a solenoid, that has both resistance and inductance.) Paradoxically, you may find it easier to understand the distinction between impedance and reactance from this more complicated situation.