13.3: Комплексні числа

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 13.2: Змінна напруга на конденсаторі
- 13.4: Опір та індуктивність послідовно

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тепер я повторю аналізи розділів 13.1 та 13.2, використовуючи позначення комплексних чисел. У контексті теорії змінного струму уявної одиниці прийнято давати символ $j$ rather than $i$ , so that the symbol $i$ is available, if need be, for electric currents. I am making the assumption that the reader is familiar with the basics of complex numbers; without that background, the reader may have difficulty with much of this chapter.

Починаємо з індуктивності. Якщо струм змінюється, буде зворотна ЕРС, задана $V=L\dot I$ . If the current is changing as

$I=\hat{I}e^{j\omega t},\label{13.3.1}$

потім

$\dot I = \hat{I}j\omega e^{j\omega t}=j\omega I.$

Тому напруга задається

$\label{13.3.2}V=jL\omega I.$

Кількість $jL\omega$ називається імпедансом індуктора, і є $j$ times its reactance. Its reactance is , and, in SI units, is expressed in ohms. Equation $\ref{13.3.2}$ (in particular the operator $j$ on the right hand side) tells us that $V$ leads on $I$ by 90^o.

Тепер припустимо, що на конденсатор подається змінна напруга. Заряд на конденсаторі в будь-який момент $Q = CV$ , and the current is $I=C\dot V$ . If the voltage is changing as

$V=\hat{V}e^{j\omega t},\label{13.3.3}$

потім

$\dot V = \hat{V}j\omega e^{j\omega t}=j\omega V.$

Тому струм задається

$\label{13.3.4}I=jC\omega V.$

Тобто

$V=-\frac{j}{C\omega}I.\label{13.3.5}$

Кількість $-j/(C\omega )$ is called the impedance of the capacitor, and is $j$ times its reactance. Its reactance is $-1/(C\omega )$ , а, в одиницях СІ, виражається в Омах. Рівняння\ ref {13.3.5} (зокрема оператор з правого $-j$ боку) говорить нам, що $V$ lags behind $I$ by 90^o.

Підсумовуючи:

$\nonumber \begin{align} &\text{Inductor : Reactance} = L\omega. \qquad &&\text{Impedance} = jL\omega. \quad &&&V \text{ leads on }I. \\ \nonumber &\text{Capacitor : Reactance} = -1/(C\omega ) &&\text{Impedance} = -j/(C\omega). \quad &&&V \text{ lags behind }I. \\ \end{align}$

Можливо, на цьому етапі ви не отримали дуже чіткого уявлення про різницю між реактивним опором (символом) $X$ ) and impedance (symbol $Z$ ) other than that one seems to be $j$ times the other. The next section deals with a slightly more complicated situation, namely a resistor and an inductor in series. (In practice, it may be one piece of equipment, such as a solenoid, that has both resistance and inductance.) Paradoxically, you may find it easier to understand the distinction between impedance and reactance from this more complicated situation.