Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

22.2: Схеми змінного струму

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    74946

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    цілі навчання

    • Опишіть властивості індуктора

    Індуктивність

    ОГЛЯД

    Індукція - це процес, при якому ЕРС індукується зміною магнітного потоку. Зокрема, у випадку з електронікою індуктивність - це властивість провідника, за допомогою якого зміна струму в провіднику створює напругу як в самому провіднику (самоіндуктивність), так і в будь-яких сусідніх провідниках (взаємна індуктивність). Цей ефект випливає з двох фундаментальних спостережень фізики: по-перше, що постійний струм створює стійке магнітне поле, а по-друге, що змінюється в часі магнітне поле індукує напругу в сусідньому провіднику (закон індукції Фарадея). З закону Ленца, мінливий електричний струм через ланцюг, який має індуктивність, індукує пропорційну напругу, яка виступає проти зміни струму (якщо це не було правдою, можна легко побачити, як енергія не може бути збережена, зі змінним струмом, що підсилює зміну позитивного зворотного зв'язку петлі).

    ВЗАЄМНА ІНДУКТИВНІСТЬ

    Взаємна індуктивність - це вплив закону індукції Фарадея для одного пристрою на інший, наприклад, первинної котушки в передачі енергії вторинному в трансформаторі. Дивіться, де прості котушки індукують ЕРС один в одному.

    зображення

    Взаємна індуктивність в котушках: Ці котушки можуть викликати ЕРС один в одному, як неефективний трансформатор. Їх взаємна індуктивність M вказує на ефективність зчеплення між ними. Тут спостерігається зміна струму в котушці 1, щоб викликати ЕРС в котушці 2. (Зверніть увагу, що «індукований Е2» представляє індуковану ЕРС в котушці 2.)

    У багатьох випадках, коли геометрія приладів зафіксована, потік змінюється змінним струмом. Тому ми зосереджуємося на швидкості зміни струму, Δ I/Δ t, як причини індукції. Зміна струму I 1 в одному пристрої, котушка 1 на малюнку, індукує ЕРС 2 в іншому. Ми виражаємо це у формі рівняння як

    \[\mathrm { emf } _ { 2 } = - \mathrm { M } \dfrac { \Delta \mathrm { I } _ { 1 } } { \Delta \mathrm { t } } \]

    де M визначається як взаємна індуктивність між двома пристроями. Знак мінус - це вираз закону Ленца. Чим більше взаємна індуктивність М, тим ефективніше муфта. Одиницями для M є (V⋅s) /A=ωS, який названий Генрі (H), на честь Джозефа Генрі (виявлено самоіндуктивність). Тобто 1 Н = 1Ом.

    Природа тут симетрична. Якщо змінити струм I 2 в котушці 2, то індукуємо ЕРС 1 в котушці 1, яка задається

    \[\mathrm { emf } _ { 1 } = - \mathrm { M } \dfrac { \Delta \mathrm { I } _ { 2 } } { \Delta \mathrm { t } }\]

    де M - те ж саме, що і для зворотного процесу. Трансформатори працюють назад з однаковою ефективністю, або взаємною індуктивністю М.

    Велика взаємна індуктивність М може бути бажаною або не бажаною. Ми хочемо, щоб трансформатор мав велику взаємну індуктивність. Але такий прилад, як електрична сушарка для білизни, може викликати небезпечну ЕРС на своєму корпусі, якщо взаємна індуктивність між його котушками і корпусом велика. Одним із способів зменшити взаємну індуктивність M є протимотування котушок для скасування магнітного поля, що виробляється. (Див.).

    зображення

    Противообмотка: Нагрівальні котушки електричної сушарки для білизни можуть бути зустрічні, так що їх магнітні поля скасовують один одного, значно зменшуючи взаємну індуктивність з корпусом сушарки.

    САМОІНДУКТИВНІСТЬ

    Самоіндуктивність, вплив закону Фарадея індукції приладу на себе, також існує. Коли, наприклад, збільшується струм через котушку, магнітне поле і потік також збільшуються, викликаючи лічильник ЕРС, як того вимагає закон Ленца. І навпаки, якщо струм зменшується, індукується ЕРС, яка виступає проти зниження. Більшість приладів мають фіксовану геометрію, і тому зміна потоку обумовлено повністю зміною струму ΔI через прилад. Індукована ЕРС пов'язана з фізичною геометрією приладу і швидкістю зміни струму. Це дається

    \[\mathrm { emf } = - \mathrm { L } \dfrac { \Delta \mathrm { I } } { \Delta \mathrm{t} }\]

    де L - самоіндуктивність приладу. Пристрій, який проявляє значну самоіндуктивність, називається індуктором, і дається символ в.

    зображення

    Індуктор Символ

    Знак мінус - це вираз закону Ленца, що вказує на те, що ЕРС виступає проти зміни струму. Одиницями самоіндуктивності є Генріс (Н) так само, як і для взаємної індуктивності. Чим більше самоіндуктивність L приладу, тим більше його протистояння будь-якій зміні струму через нього. Наприклад, велика котушка з безліччю витків і залізним сердечником має великий L і не дасть струму швидко змінюватися. Щоб уникнути цього ефекту, повинен бути досягнутий невеликий L, наприклад, шляхом зустрічного намотування котушок, як в.

    СОЛЕНОЇДИ

    Можна обчислити L для індуктора, враховуючи його геометрію (розмір і форму) і знаючи магнітне поле, яке він виробляє. Це складно в більшості випадків, через складність створюваного поля. Індуктивність L зазвичай є заданою величиною. Одним з винятків є соленоїд, оскільки він має дуже рівномірне поле всередині, майже нульове поле зовні і просту форму. Самоіндуктивність соленоїда площі поперечного перерізу A і довжини

    \[\mathrm { L } = \frac { \mu _ { 0 } \mathrm { N } ^ { 2 } \mathrm { A } } { l } \mathrm{ (solenoid)}.\]

    Повчально вивести це рівняння, але це залишається як вправа читачеві. (Підказка: почніть із зауваження, що індукована ЕРС задається законом індукції Фарадея як ЕРС = −n (Δ/Δt), а за визначенням самоіндуктивності дається як ЕРС = −l (Δi//Δt) і прирівнюють ці два вирази). Відзначимо, що індуктивність залежить тільки від фізичних характеристик соленоїда, узгоджених з його визначенням.

    RL ланцюги

    Ланцюг RL складається з індуктора і резистора, послідовно або паралельно один одному, зі струмом, що рухається джерелом напруги.

    цілі навчання

    • Опишіть співвідношення струм-напруга в ланцюзі RL і розрахуйте енергію, яка може зберігатися в індукторі

    RL ланцюги

    Резистор-індуктор ланцюга (RL ланцюг) складається з резистора і індуктора (послідовно або паралельно), що приводиться в дію джерелом напруги.

    Рецензія

    Нагадаємо, що індукція - це процес, при якому ЕРС індукується зміна магнітного потоку. Взаємна індуктивність - це вплив закону індукції Фарадея для одного пристрою на інший, тоді як самоіндуктивність - це вплив закону Фарадея індукції пристрою на себе. Індуктор - це пристрій або компонент схеми, який проявляє самоіндуктивність.

    Енергія індуктора

    Ми знаємо із закону Ленца, що індуктори виступають проти змін струму. Ми можемо думати про цю ситуацію з точки зору енергії. Енергія зберігається в магнітному полі. Потрібен час, щоб накопичити енергію, а також потрібен час, щоб виснажити енергію; отже, існує протидія швидким змінам. У індукторі магнітне поле прямо пропорційно струму і індуктивності пристрою. Можна показати, що енергія, що зберігається в індукторі E ind, задається:

    \[\mathrm { E } _ { \mathrm { ind } } = \dfrac { 1 } { 2 } \mathrm { LI } ^ { 2 }\]

    Індуктори в ланцюгах

    Ми знаємо, що струм через індуктор L неможливо включити або вимкнути миттєво. Зміна струму змінює магнітний потік, викликаючи ЕРС, протилежну зміні (закон Ленца). Як довго триває опозиція? Струм буде протікати і його можна відключити, але скільки часу це займе? На наступному малюнку показана схема комутації, яка може бути використана для дослідження струму через індуктор як функція часу.

    зображення

    Струм в ланцюзі RL: (a) RL ланцюг з вимикачем для включення та виключення струму. Перебуваючи в положенні 1, акумулятор, резистор і індуктор знаходяться послідовно і встановлюється струм. У положенні 2 акумулятор знімається і струм з часом припиняється через втрати енергії в резисторі. (b) Графік зростання струму в порівнянні з часом, коли перемикач переміщується в положення 1. (c) Графік спаду струму при переміщенні перемикача в положення 2.

    При першому переміщенні перемикача в положення 1 (при t = 0) струм дорівнює нулю і він в підсумку підвищується до I 0 = V/ R, де R - сумарний опір ланцюга, А V - напруга акумулятора. Протистояння індуктора L найбільше на початку, тому що зміна струму найбільша в той час. Протистояння, яку він ставить, має форму індукованої ЕРС, яка зменшується до нуля у міру наближення струму до свого кінцевого значення. Це відмінна риса експоненціальної поведінки, і це може бути показано (з обчисленням), що

    \[\mathrm { I } = \mathrm { I } _ { 0 } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { \dfrac { - t } { \tau } } \right)\]

    струм в ланцюзі RL при включенні. (Зверніть увагу на схожість з експоненціальною поведінкою напруги на зарядному конденсаторі.) Початковий струм дорівнює нулю і наближається I 0 = V/ R з характерною постійною часу для ланцюга RL, заданої:

    \[\tau = \dfrac { \mathrm { L } } { \mathrm { R } }\]

    де τ має одиниці секунди, починаючи з 1H=1ω⋅S1H = 1ω⋅с. у першому проміжку часу τ струм піднімається від нуля до 0,632I 0, оскільки I=I 0 (1−e −1) =I 0 (1−e −1) =I 0 (1−0,368) =0.632I 0. Поточний буде дорівнює 0.632 від залишку в наступний раз. Відома властивість експоненціальної функції полягає в тому, що кінцеве значення ніколи точно не досягається, але 0,632 залишку до цього значення досягається в кожен характеристичний час τ. Всього за кілька кратних часу τ кінцеве значення дуже майже досягається (див. Частина (b) наведеного вище малюнка).

    Характерний час τ залежить тільки від двох факторів, індуктивності L і опору R. Чим більше індуктивність L, тим вона більша, що має сенс, оскільки велика індуктивність дуже ефективна у протистоянні змінам. Чим менше опір R, тим більше τ дорівнює. Знову ж таки, це має сенс, оскільки малий опір означає великий кінцевий струм і більшу зміну, щоб потрапити туди. В обох випадках (великий L і малий R) більше енергії зберігається в індукторі і потрібно більше часу, щоб отримати його всередину і назовні.

    Коли перемикач в (а) переміщується в положення 2 і відрізає батарею з ланцюга, струм падає через розсіювання енергії резистором. Однак це теж не миттєво, так як індуктор виступає проти зменшення струму, індукуючи ЕРС в тому ж напрямку, що і акумулятор, який приганяв струм. Крім того, існує певна кількість енергії (1/2) LI 0 2, зберігається в індукторі, і вона розсіюється з кінцевою швидкістю. У міру наближення струму до нуля швидкість зниження сповільнюється, так як швидкість розсіювання енергії дорівнює I 2 R. Знову поведінка експоненціальна, і я виявляється

    \[\mathrm { I } = \mathrm { I } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \frac { - t } { \tau } }\]

    В (c), в перший проміжок часу Δ=L/Rτ = L/R після закриття вимикача струм падає до 0,368 від його початкового значення, так як I=I 0 e −1 = 0,368I 0. У кожен наступний час τ струм падає до 0,368 від попереднього значення, а в декількох кратних τ струм стає дуже близьким до нуля.

    Схема серії RLC: на великих і малих частотах; Фазорна діаграма

    Відгук схеми RLC залежить від частоти водіння - на досить великих частотах домінує індуктивний (ємнісний) термін.

    цілі навчання

    • Розрізняють поведінку ланцюгів серії RLC як великих, так і малих частот

    У попередніх атомах ми дізналися, як ланцюг серії RLC, як показано на зображенні, реагує на джерело напруги змінного струму. Поєднуючи закон Ома (I середньоквадратичне значення = V середньоквадратичне значення = V середньоквадратичне значення струму та напруги) та виразу для імпедансу Z, від:

    зображення

    Серія RLC Circuit: Серія RLC ланцюга: резистор, індуктор і конденсатор (зліва).

    \[\mathrm { Z } = \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \mathrm { X } _ { \mathrm { L } } - \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } \right) ^ { 2 } } \left( \mathrm { X } _ { \mathrm { L } } = 2 \pi \nu \mathrm { L } , \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } = \dfrac { 1 } { 2 \pi \nu C } \right)\]

    ми приїхали:\(\mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \mathrm { X } _ { \mathrm { L } } - \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } \right) ^ { 2 } } }\).

    З рівняння ми вивчали резонансні умови для схеми. Ми також дізналися фазові відносини між напругами на резисторі, конденсаторі та індукторі: при подачі синусоїдальної напруги струм відстає напруга на 90º фази в ланцюзі з індуктором, тоді як струм веде напругу на 90 в ланцюзі з конденсатором. Тепер ми розглянемо реакцію системи на межах великих і малих частот.

    На великих частотах

    При досить великих частотах (\(\nu \gg \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \mathrm { LC } } }\)) X L набагато більше X C. Якщо частота досить висока, що X L набагато більше, ніж R, а також, імпеданс Z переважає індуктивний термін. Коли\(\mathrm{Z≈X_{L}}\), схема майже еквівалентна ланцюгу змінного струму лише з індуктором. Тому середньоквадратичне значення струму складе V rms/X L, а струм відстає від напруги майже на 90. Ця відповідь має сенс, оскільки на високих частотах закон Ленца передбачає, що імпеданс через індуктор буде великим.

    На малих частотах

    Імпеданс Z на малих частотах (\(\nu \ll \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \mathrm { LC } } }\)) переважає ємнісний термін, припускаючи, що частота досить висока, так що X C набагато більше\(\mathrm{Z≈X_C}\), ніж R. Коли схема майже еквівалентна ланцюгу змінного струму з лише конденсатором. Тому середньоквадратичний струм буде подаватися як V rms/X C, а струм веде напругу майже на 90.

    Резистори в ланцюгах змінного струму

    У ланцюзі з резистором і джерелом живлення змінного струму все ще діє закон Ома (V = IR).

    цілі навчання

    • Застосуйте закон Ома для визначення струму і напруги в ланцюзі змінного струму

    Постійний струм (DC) - це потік електричного заряду тільки в одному напрямку. Це сталий стан ланцюга постійної напруги. Однак більшість відомих додатків використовують джерело напруги, що змінюється в часі. Змінний струм (AC) - це потік електричного заряду, який періодично змінює напрямок. Якщо джерело періодично змінюється, особливо синусоїдально, схема відома як ланцюг змінного струму. Приклади включають комерційну та житлову потужність, яка обслуговує стільки наших потреба. показує графіки напруги та струму в порівнянні з часом для типового постійного та змінного струму. Напруги та частоти змінного струму, які зазвичай використовуються в будинках та на підприємствах, різняться у всьому світі.

    зображення

    Синусоїдальна напруга і струм: (а) Напруга постійного струму і струм є постійними в часі, як тільки струм встановлений. (b) Графік напруги та струму в порівнянні з часом для 60 Гц змінного струму. Напруга і струм синусоїдальні і знаходяться в фазі для простого ланцюга опору. Частоти і пікові напруги джерел змінного струму сильно відрізняються.

    Ми вивчили закон Ома:

    \[\mathrm { I } = \dfrac { \mathrm { V } } { \mathrm { R } }\]

    де I - струм, V - напруга, а R - опір ланцюга. Закон Ома застосовується як до ланцюгів змінного струму, так і до ланцюгів постійного струму. Тому з напругою змінного струму подається:

    \[\mathrm { V } = \mathrm { V } _ { 0 } \sin ( 2 \pi \nu \mathrm { t } )\]

    де V 0 - пікова напруга і τ - частота в герцах, струм в ланцюзі задається як:

    \[\mathrm { I } = \dfrac { \mathrm { V } _ { 0 } } { \mathrm { R } } \sin ( 2 \pi \nu t )\]

    У цьому прикладі, в якому у нас є резистор і джерело напруги в ланцюзі, напруга і струм, як кажуть, знаходяться в фазі, як показано в (b). Струм в резисторі чергується назад і назад без різниці фаз, так само, як і напруга руху.

    Розглянемо ідеальний резистор, який світлішає і тьмяніє 120 разів в секунду, оскільки струм неодноразово проходить через нуль. (Мерехтіння 120 Гц занадто швидке, щоб ваші очі могли виявити.) Той факт, що світловий потік коливається, означає, що потужність коливається. Оскільки потужність, що подається, дорівнює P = IV, якщо використовувати вищевказані вирази для I і V, то бачимо, що залежність від часу потужності дорівнює:

    \[\mathrm { P } = \dfrac { \mathrm { V } _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R } } \cdot \sin ( 2 \pi \nu \mathrm { t } )\]

    Щоб знайти середню потужність, споживану цією схемою, нам потрібно взяти середнє за часом функції. Так як:

    \[\dfrac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { 2 } ( \mathrm { x } ) \mathrm { d } \mathrm { x } = \dfrac { 1 } { 2 }\]

    ми бачимо, що:

    \[\mathrm { P } _ { \mathrm { avg } } = \dfrac { \mathrm { V } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \mathrm { R } }\]

    Конденсатори в ланцюгах змінного струму: ємнісні діаграми реактивного опору та фазорів

    Напруга на конденсаторі відстає від струму. Через різницю фаз корисно вводити фазори для опису цих схем.

    цілі навчання

    • Поясніть переваги використання фазорного представлення

    У попередньому Atom на «Резистори в ланцюгах змінного струму» ми ввели джерело живлення змінного струму і вивчили, як поводяться резистори в ланцюгах змінного струму. Там ми використовували закон Ома (V = IR), щоб вивести залежність між напругою і струмом в ланцюгах змінного струму. У цьому та наступних атомах ми узагальнимо закон Ома, щоб ми могли використовувати його, навіть коли у нас є конденсатори та індуктори в схемі. Щоб потрапити туди, ми спочатку введемо дуже загальний, мальовничий спосіб представлення синусоїдальної хвилі за допомогою фазора.

    Конденсатори в ланцюгах змінного струму з фазорами

    Фазора

    Ключова ідея в фазорному поданні полягає в тому, що складний сигнал, що змінюється в часі, може бути представлений як добуток комплексного числа (що не залежить від часу) і складного сигналу (що залежить від часу). Фазори розділяють залежності від A (амплітуда), θ (частота) та θ (фаза) на три незалежні фактори. Це може бути особливо корисно, оскільки частотний фактор (який включає залежність від часу синусоїди) часто є загальним для всіх компонентів лінійної комбінації синусоїдів. У цих ситуаціях фазори дозволяють враховувати цю загальну особливість, залишаючи лише функції A та θ. Наприклад, ми можемо уявити\(\mathrm { A } \cdot \cos ( 2 \pi \nu t + \theta )\) просто як складну константу,\(\mathrm{A e ^ { i \theta }}\). Оскільки фазори представлені величиною (або модулем) і кутом, то він зображений обертається стрілкою (або вектором) в x-y площині.

    зображення

    Рис. 3: Фазер можна розглядати як вектор, що обертається навколо початку в складній площині. Функція косинуса - це проекція вектора на дійсну вісь. Його амплітуда є модулем вектора, а аргументом є сумарна фаза\ omega t+\ theta. Фазова константа\ тета являє собою кут, який вектор утворює з дійсною віссю при t = 0.

    конденсатори в ланцюгах змінного струму

    Раніше в попередньому атомі ми вивчали, як змінювалися напруга і струм з часом. Якщо блок живлення змінного струму підключений до резистора, то струм і напруга будуть пропорційні один одному. Це означає, що струм і напруга будуть «піковими» одночасно. Ми говоримо, що струм і напруга знаходяться в фазі.

    При підключенні конденсатора до змінної напруги максимальна напруга пропорційно максимальному струму, але максимальна напруга не виникає одночасно з максимальним струмом. Струм має свій максимум (він пік) за чверть циклу до піків напруги. Інженери стверджують, що «струм веде напруга на 90». Це показано в.

    зображення

    Мал. 2: Піки струму (має свій максимум) на одну чверть хвилі перед напругою при підключенні конденсатора до змінної напруги.

    Для ланцюга з конденсатором миттєве значення V/I не є постійним. Однак значення V max/I max є корисним, і називається ємнісним реактивним опором (X C) компонента. Оскільки це все ще напруга, розділена на струм (як опір), його одиницею є ом. Значення X C (C, що стоїть для конденсатора) залежить від його ємності (С) і частоти (f) змінного струму. \(\mathrm { X } _ { \mathrm { C } } = \frac { 1 } { 2 \pi \nu \mathrm { C } }\).

    Конденсатор впливає на струм, маючи можливість зупинити його зовсім при повній зарядці. Так як подається змінна напруга, є середньоквадратичний струм, але він обмежений конденсатором. Це вважається ефективним опором конденсатора змінному струму, і тому середньоквадратичний струм I середньоквадратичне значення в ланцюзі, що містить тільки конденсатор С, дається іншим варіантом закону Ома бути\(\mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } } { \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } }\), де V rms - середньоквадратичне напруга. Зверніть увагу, що X C замінює R в DC версії закону Ома.

    Фазове представлення

    Оскільки напруга на конденсаторі відстає від струму, фазор, що представляє струм і напругу, буде віддаватися як в. На схемі стрілки обертаються в напрямку проти годинникової стрілки на частоті ων. (Отже, напруга підводить струм.) У наступних атомах ми побачимо, як ці фазори можуть бути використані для аналізу RC, RL, LC та RLC ланцюгів.

    зображення

    Рис. 4: Фазорна схема для ланцюга змінного струму з конденсатором

    Індуктори в ланцюгах змінного струму: індуктивні реактивні та фазорні діаграми

    У ланцюзі змінного струму з індуктором напруга на індукторі «веде» струм через закон Ленца.

    цілі навчання

    • Поясніть, чому напруга на індукторі «веде» струм в ланцюзі змінного струму з індуктором

    Припустимо, індуктор підключений безпосередньо до джерела змінної напруги, як показано в. Розумно припустити незначний опір, оскільки на практиці ми можемо зробити опір індуктора настільки малим, що це має незначний вплив на ланцюг. Графік показує напругу і струм як функції часу. (б) починається з напруги на максимумі. Зверніть увагу, що струм починається з нуля, потім піднімається до свого піку після напруги, що рухає його (як видно в попередньому розділі, коли була включена напруга постійного струму).

    зображення

    Джерело напруги змінного струму послідовно з індуктором: (а) Джерело напруги змінного струму послідовно з індуктором, що має незначний опір. (b) Графік струму та напруги на індукторі як функції часу.

    Коли напруга стає негативним в точці а, струм починає зменшуватися; він стає нулем в точці b, де напруга є його самим негативним. Струм тоді стає негативним, знову слідуючи за напругою. Напруга стає позитивним в точці c, де починає робити струм менш негативним. У точці d струм проходить через нуль так само, як напруга досягає свого позитивного піку, щоб почати ще один цикл. Отже, коли синусоїдальна напруга подається на індуктор, напруга веде струм на одну четверту циклу, або на кут фази 90º.

    Струм відстає від напруги, так як індуктори виступають проти зміни струму. Зміна струму індукує ЕРС. Це вважається ефективним опором індуктора змінному струму. Середньоквадратичний струм I середньоквадратичне значення через індуктор L задається версією закону Ома:\(\mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } } { \mathrm { X } _ { \mathrm { L } } }\) де V rms - середньоквадратичне напруга на індукторі і\(\mathrm { X } _ { \mathrm { L } } = 2 \pi \nu \mathrm { L }\) з\(\nu\) частотою джерела змінної напруги в герцах. X L називається індуктивним реактивним опором. Оскільки індуктор реагує на перешкоджання струму, X L має одиниці Ом (1 Н = 1 Ом, так що частота разів індуктивності має одиниці (цикли/с) (ωs) = Ω), що відповідає його ролі як ефективного опору.

    Фазорне представництво

    Напруга на індукторі «веде» струм через закон Ленца. Тому фасор, що представляє струм і напругу, буде задано як в. Знову ж фазори - це вектори, що обертаються проти годинникової стрілки з частотою\(\nu\) (видно, що напруга веде струм). Наступні атоми обговорюватимуть, як ці фазони можуть бути використані для аналізу RC, RL, LC та RLC схем.

    зображення

    Фазорна діаграма: Фазорна схема для ланцюга змінного струму з індуктором.

    Фазори для індукторів в ланцюгах змінного струму

    Резонанс в RLC ланцюгах

    Резонанс - це тенденція системи коливатися з більшою амплітудою на деяких частотах - у ланцюзі серії RLC це відбувається на\(\nu _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { \mathrm{L C} }\)}.

    цілі навчання

    • Порівняти резонансні характеристики ланцюгів вищого і нижчого опору

    Резонанс - це тенденція системи коливатися з більшою амплітудою на одних частотах, ніж на інших. Частоти, на яких амплітуда відгуку є відносним максимумом, відомі як резонансні частоти системи. Для вивчення резонансу в схемі RLC, як показано нижче, ми можемо побачити, як схема поводиться як функція частоти джерела рушійної напруги.

    зображення

    Схема серії RLC: ланцюг серії RLC з джерелом напруги змінного струму. f - частота джерела.

    Поєднуючи закон Ома, I середньоквадратичне значення = V середньоквадратичний/Z, і вираз для імпедансу Z від

    \(\mathrm { Z } = \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \mathrm { X } _ { \mathrm { L } } - \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } \right) ^ { 2 } } \)дає

    \[\mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } = \dfrac { \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \mathrm { X } _ { \mathrm { L } } - \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } \right) ^ { 2 } } }\]

    де I середньоквадратичне і V середньоквадратичне значення струму і напруги відповідно. Реактивні опори змінюються з частотою τ, з X L великий на високих частотах і X C великий на низьких частотах, заданий як:

    \[\mathrm { X } _ { \mathrm { L } } = 2 \pi \nu \mathrm { L } , \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } = \frac { 1 } { 2 \pi \nu \mathrm { C } }\]

    На деякій проміжній\(\nu _ { 0 }\) частоті реактивні опори будуть рівними і скасовуються, даючи Z = R - це мінімальне значення для імпедансу, і максимальне значення для I середньоквадратичних результатів. Ми можемо отримати вираз для 00, взявши X L = X C. Підстановка визначень X L і X C дає:

    \[\nu _ { 0 } = \dfrac { 1 } { 2 \pi \sqrt { \mathrm{L C} } }\]

    \(\nu _ { 0 }\)є резонансною частотою ланцюга серії RLC. Це також власна частота, при якій ланцюг коливається, якщо не приводиться в дію джерелом напруги. В\(\nu _ { 0 }\), ефекти індуктора і конденсатора скасовують, так що Z = R, а I середньоквадратичне значення є максимумом. Резонанс в ланцюгах змінного струму аналогічний механічному резонансу, де резонанс визначається як вимушене коливання (в даному випадку вимушене джерелом напруги) на власній частоті системи.

    Приймач в радіо - це ланцюг RLC, який коливається найкраще на своєму\(\nu _ { 0 }\). Змінний конденсатор часто використовується для регулювання резонансної частоти для отримання бажаної частоти та відхилення інших. являє собою графік струму в залежності від частоти, що ілюструє резонансний пік в I середньоквадратичному значенні при\(\nu _ { 0 } = f _ { 0 }\). Дві криві призначені для двох різних ланцюгів, які відрізняються лише величиною опору в них. Пік нижчий і ширший для ланцюга з вищим опором. Таким чином, схеми більш високого опору не резонують так сильно, і вони не будуть настільки вибірковими, наприклад, у радіоприймачі.

    зображення

    Струм проти частоти: Графік струму проти частоти для двох ланцюгів серії RLC, що відрізняються лише величиною опору. Обидва мають резонанс при f0, але це для більш високого опору нижче і ширше. Джерело напруги змінного струму має фіксовану амплітуду V0.

    Потужність

    Потужність, що подається на ланцюг змінного струму серії RLC, розсіюється опором в ланцюзі, і подається як\(\mathrm { P } _ { \mathrm { avg } } = \mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } \cos \phi\). Тут,\(ϕ\) називається фазовим кутом.

    цілі навчання

    • Обчисліть потужність, що подається на ланцюг змінного струму серії RLC, враховуючи струм і напругу

    Якщо струм змінюється в залежності від частоти в ланцюзі RLC, то подається йому потужність також змінюється в залежності від частоти. Однак середня потужність - це не просто поточний час напруги, як це відбувається в чисто резистивних ланцюгах. Як видно з попередніх атомів, напруга і струм поза фазою в ланцюзі RLC. Існує фазовий кут ν між напругою джерела V і струмом I, заданий як

    \(\cos \phi = \frac { \mathrm { R } } { \mathrm { Z } }\), як показано на схемі в.

    зображення

    Фазорна діаграма для ланцюга серії RLC: Фазорова діаграма для ланцюга серії RLC. \ phi - фазовий кут, рівний різниці фаз між напругою і струмом.

    Наприклад, на резонансній частоті (\( \nu _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { L C } }\)) або в чисто резистивній схемі Z = R, так що cos= 1. Це означає, що = 0º і що напруга та струм знаходяться у фазі, як очікується для резисторів. На інших частотах середня потужність менше, ніж при резонансі, тому що напруга і струм поза фазою, а I середньоквадратичне менше.

    Те, що напруга джерела і струм знаходяться поза фазою, впливає на потужність, що подається в ланцюг. Можна показати, що середня потужність

    \[\mathrm { P } _ { \mathrm { avg } } = \mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } \cos \phi\]

    (Рівняння, отримане шляхом прийняття середнього часу потужності, P (t) = I (t) V (t), протягом періоду. I (t) і V (t) - струм і напруга в момент t). Таким чином cosназивається коефіцієнтом потужності, який може коливатися від 0 до 1. Коефіцієнти потужності поблизу 1 бажані, наприклад, при проектуванні ефективного двигуна. На резонансній частоті cos= 1.

    Потужність, що подається на ланцюг змінного струму серії RLC, розсіюється лише опором. Індуктор і конденсатор мають вхід і вихід енергії, але не розсіюють енергію з ланцюга. Швидше за все, вони передають енергію вперед і назад один одному, при цьому резистор розсіює точну величину, яку джерело напруги дає ланцюг. Це передбачає відсутність значного електромагнітного випромінювання від індуктора та конденсатора (наприклад, радіохвиль).

    Схема аналогічна колесу автомобіля, що рухається по рифленій дорозі, як видно в. Регулярно розташовані нерівності на дорозі аналогічні джерелу напруги, рухаючи колесо вгору і вниз. Амортизатор є аналогом гасіння опору і обмеження амплітуди коливань. Енергія всередині системи йде вперед і назад між кінетичною (аналогічно максимальному струму, і енергії, що зберігається в індукторі) і потенційною енергією, що зберігається в автомобільній пружині (аналогічно відсутності струму, і енергії, що зберігається в електричному полі конденсатора). Амплітуда руху коліс максимальна, якщо нерівності в дорозі потрапили на резонансну частоту.

    зображення

    Примусове затухання руху колеса на автомобільній пружині: Примусовий, але демпфований рух колеса на автомобільній пружині аналогічний ланцюгу змінного струму серії RLC. Амортизатор гасить рух і розсіює енергію, аналогічну опору в ланцюзі RLC. Маса і пружина визначають резонансну частоту.

    Ключові моменти

    • У випадку з електронікою індуктивність - це властивість провідника, за допомогою якого зміна струму в провіднику створює напругу як в самому провіднику, зване самоіндуктивністю, так і будь-яких прилеглих провідниках, зване взаємною індуктивністю.
    • З закону Ленца, мінливий електричний струм через ланцюг, який має індуктивність, індукує пропорційну напругу, яка виступає проти зміни струму.
    • Взаємна індуктивність ілюструється. Зміна струму I 1 в одному пристрої, котушка 1 на малюнку, індукує ЕРС 2 в іншому. Ми виражаємо це у вигляді рівняння як\(\mathrm { emf } _ { 2 } = - \mathrm { M } \frac { \Delta \mathrm { I } _ { 1 } } { \Delta \mathrm { t } }\). М - те ж саме для зворотного процесу.
    • Самоіндуктивність - це вплив закону Фарадея індукції пристрою на себе. Індукована ЕРС пов'язана з фізичною геометрією приладу і швидкістю зміни струму, заданої\(\mathrm { emf } = - \mathrm { L } \frac { \Delta \mathrm { I } } { \Delta \mathrm{t} }\).
    • Пристрій, який проявляє значну самоіндуктивність, називається індуктором, і дається символ в.
    • Енергія, що зберігається в індукторі, є\(\mathrm { E } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { L } \mathrm { I } ^ { 2 }\). Потрібен час, щоб накопичити накопичену енергію в провіднику і час, щоб виснажити її.
    • Коли резистор і індуктор послідовно з'єднані з джерелом напруги, залежний від часу струм задається\(\mathrm { I } = \mathrm { I } _ { 0 } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { \frac { - t } { \tau } } \right)\). Кінцевий струм через тривалий час є\(\mathrm{I_0}\).
    • Характерна постійна часу задається тим\(\tau = \frac { \mathrm { L } } { \mathrm { R } }\), де R - опір, а L - індуктивність. Це являє собою час, необхідний для того, щоб струм в щойно замкнутому ланцюзі йшов від нуля до\(\mathrm{0.632⋅I_0}\).
    • При відключенні джерела напруги від індуктора струм буде падати відповідно до\(\mathrm { I } = \mathrm { I } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \frac { - t } { \tau } }\). У першому часовому інтервалі τ струм падає в коефіцієнт\(\mathrm{\frac{1}{e}}\) до\(\mathrm{0.368⋅I_0}\).
    • RLC схеми можуть бути описані (узагальненим) законом Ома. Що стосується фази, то при подачі синусоїдальної напруги струм відстає напруга на 90º фазу в ланцюзі з індуктором, тоді як струм веде напругу на 90в ланцюзі з конденсатором.
    • При досить великих частотах (\(\nu \gg \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \mathrm { LC } } }\)) схема майже еквівалентна ланцюгу змінного струму лише з індуктором. Тому середньоквадратичне значення струму буде VRMS/XL, а струм відстає від напруги майже на 90.
    • На досить малих частотах (\(\nu \ll \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \mathrm { LC } } }\)) схема майже еквівалентна ланцюгу змінного струму лише з конденсатором. Тому середньоквадратичний струм буде подаватися як V rms/X C, а струм веде напругу майже на 90.
    • При змінному напрузі, заданому:\(\mathrm { V } = \mathrm { V } _ { 0 } \sin ( 2 \pi \nu t )\) струм в ланцюзі задається так:\(\mathrm { I } = \frac { \mathrm { V } _ { 0 } } { \mathrm { R } } \sin ( 2 \pi \nu t )\) Цей вираз походить від закону Ома:\(\mathrm { V } = \mathrm { IR }\).
    • Більшість поширених додатків використовують джерело напруги, що змінюється в часі, замість джерела постійного струму. Приклади включають комерційну та житлову владу, яка обслуговує стільки наших потреб.
    • Потужність, що розсіюється ланцюгом змінного струму з резистором у прикладі, така:\(\mathrm { P } = \frac { \mathrm { V } _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R } } \cdot \sin ( 2 \pi \nu t )\) Отже, середня потужність змінного струму становить:\(\frac { \mathrm { V } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \mathrm { R } }\).
    • При підключенні конденсатора до змінної напруги максимальна напруга пропорційно максимальному струму, але максимальна напруга не виникає одночасно з максимальним струмом.
    • Якщо блок живлення змінного струму підключений до резистора, то струм і напруга будуть пропорційні один одному. Це означає, що струм і напруга будуть «піковими» одночасно.
    • Середньоквадратичний струм в ланцюзі, що містить тільки конденсатор С, задається іншою версією закону Ома бути\(\mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } } { \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } }\), де\(\mathrm{X_c}\) - ємнісний реактивний опір.
    • З індуктором в ланцюзі змінного струму напруга веде струм на одну четверту циклу, або на кут фази 90º.
    • Середньоквадратичний струм I rms через індуктор L задається версією закону Ома:\(\mathrm { I } _ { \mathrm { rms } } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { rms } } } { \mathrm { X } _ { \mathrm { L } } }\). X L називається індуктивним реактивним опором, дається як\(\mathrm { X } _ { \mathrm { L } } = 2 \pi \nu \mathrm { L }\).
    • Фазори - це вектори, що обертаються проти годинникової стрілки. Фасор для індуктора показує, що напруга веде струм на фазу 90º.
    • Резонансний стан ланцюга серії RLC можна отримати, прирівнюючи X L і X C, так що два протилежні фазори скасовують один одного.
    • При резонансі ефекти індуктора і конденсатора скасовуються, так що Z = R, а I середньоквадратичне значення є максимумом.
    • Ланцюги з вищим опором не резонують настільки сильно порівняно з ланцюгами низького опору, а також не будуть такими селективними, наприклад, у радіоприймачі.
    • Фазовий кут - різниця фаз між напругою джерела V і струмом I Див. Фазорну діаграму в.
    • На резонансній частоті або в чисто резистивному ланцюзі Z = R, так що cos= 1. Це означає, що = 0º і що напруга і струм знаходяться у фазі.
    • Середню потужність, розсіяну в ланцюзі RLC, можна обчислити, взявши середню за часом потужність, P (t) = I (t) V (t) протягом певного періоду.

    Ключові умови

    • взаємна індуктивність: Ставлення напруги в ланцюзі до зміни струму в сусідньому ланцюзі.
    • самоіндуктивність: Ставлення напруги до зміни струму в тій же ланцюзі.
    • індуктор: пасивний пристрій, який вводить індуктивність в електричний ланцюг.
    • Характеристична постійна часу: Позначається тим\(\tau\), що в ланцюгах RL він задається тим,\(\tau=\frac{L}{R}\) де R - опір, а L - індуктивність. Коли вимикач замкнутий, це час, необхідний для того, щоб струм затухав в коефіцієнт 1/е.
    • індуктор: пристрій або компонент ланцюга, який проявляє значну самоіндуктивність; пристрій, який зберігає енергію в магнітному полі.
    • Закон Ленца: Закон електромагнітної індукції, який стверджує, що електрорушійна сила, індукована в провіднику, завжди знаходиться в такому напрямку, що вироблений струм буде протистояти зміні, яка її викликала; цей закон є формою закону збереження енергії.
    • резонанс: Збільшення амплітуди коливання системи під впливом періодичної сили, частота якої близька до частоти власної системи.
    • rms: Середній квадрат кореня: статистична міра величини різної величини.
    • phasor: Представлення комплексного числа в терміні комплексної експоненції.
    • реактивний опір: протидія зміні потоку струму в ланцюзі змінного струму, обумовлена індуктивністю та ємністю; уявна частина імпедансу.
    • імпеданс: Міра протистояння потоку змінного струму в ланцюзі; агрегація його опору, індуктивного та ємнісного реактивного опору. Представлений символом Z.
    • Закон Ома: Спостереження Ома полягає в тому, що постійний струм, що протікає в електричному ланцюзі, що складається тільки з опорів, прямо пропорційний прикладеному напрузі.

    ЛІЦЕНЗІЇ ТА АВТОРСТВА

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ КОНТЕНТ, РАНІШЕ ДІЛИВСЯ

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ ВМІСТ, СПЕЦИФІЧНА АТРИБУЦІЯ