14.10: Узагальнений імпеданс

У главі 13 ми мали справу з синусоїдально змінною напругою, прикладеною до індуктивності, опору та ємності послідовно. Рівняння, яке регулює співвідношення між напругою і струмом, є

$$V=L\dot I + RI + Q/C.\label{14.10.1}$$

Якщо помножити на$C$, differentiate with respect to time, and write $I$ for $\dot Q$, this becomes just

$$C \dot V = LC \ddot I + RC \dot I + I.\label{14.10.2}$$

Якщо припустити, що прикладена напруга$V$ is varying sinusoidally (that is, $V=\hat{V}e^{j\omega t}$, or, if you prefer, $V=\hat{V}\sin \omega t$), то оператор$d^2/dt^2$, або «подвійна точка», еквівалентно множенню на$-\omega ^2$, а оператор$d/dt$, або «точка», еквівалентний множенню на$j\omega$ . Таким чином, рівняння\ ref {14.10.2} еквівалентно

$$j\omega CV = -LC\omega^2I+ jRC\omega I + I.\label{14.10.3}$$

Тобто, $$V=[R+jL\omega + 1/jC\omega]I.\label{14.10.4}$$

Складний вираз всередині дужок - це тепер знайомий імпеданс Z, і ми можемо написати

$$V=IZ.\label{14.10.5}$$

Але що робити, якщо$V$ is not varying sinusoidally? Suppose that $V$ is varying in some other manner, perhaps not even periodically? This might include, as one possible example, the situation where $V$ is constant and not varying with time at all. But whether or not $V$ varying with time, Equation $\ref{14.10.2}$ is still valid – except that, unless the time variation is sinusoidally, we cannot substitute $j\omega$ для$d/dt$. We are faced with having to solve the differential Equation $\ref{14.10.2}$.

Але ми щойно вивчили новий акуратний спосіб розв'язання диференціальних рівнянь цього типу. Ми можемо взяти перетворення Лапласа кожної сторони рівняння. Таким чином

$$C\bar{\dot V} = LC \bar{\ddot I} + RC \bar{\dot I} + \bar{I}.\label{14.10.6}$$

Тепер ми будемо використовувати теорему диференціювання, рівняння 14.7.2 та 14.7.3.

$$C(s\bar{V}-V_0) = LC(s^2\bar{I} - sI_0 - \dot I_0) + RC(s\bar{I} - I_0) + \bar{I}.\label{14.10.7}$$

Припустимо, що$t=0$, $V_0$ and $I_0$ are both zero – i.e. before $t=0$ a switch was open, and we close the switch at $t=0$. Furthermore, since the circuit contains inductance, the current cannot change instantaneously, and, since it contains capacitance, the voltage cannot change миттєво, так рівняння стає

$$\bar{V} = (R+Ls+1/Cs)\bar{I}.\label{14.10.8}$$

Це так незалежно від форми варіації$V$: it could be sinusoidal, it could be constant, or it could be something quite different. This is a generalized Ohm's law. The generalized impedance of the circuit is $R+Ls+\frac{1}{Cs}$. Recall that in the complex number treatment of a steady-state sinusoidal voltage, the complex impedance was $R+jL\omega+\frac{1}{jCw}$.

Щоб дізнатися, як змінюється струм, все, що нам потрібно зробити, це взяти зворотне перетворення Лапласа

$$\bar{I}=\frac{\bar{V}}{R+Ls+1/(Cs)}.\label{14.10.9}$$

Ми розглянемо пару прикладів в наступних розділах.