Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

14.10: Узагальнений імпеданс

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78765

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У главі 13 ми мали справу з синусоїдально змінною напругою, прикладеною до індуктивності, опору та ємності послідовно. Рівняння, яке регулює співвідношення між напругою і струмом, є

    \[V=L\dot I + RI + Q/C.\label{14.10.1}\]

    Якщо помножити на\(C\), differentiate with respect to time, and write \(I\) for \(\dot Q\), this becomes just

    \[C \dot V = LC \ddot I + RC \dot I + I.\label{14.10.2}\]

    Якщо припустити, що прикладена напруга\(V\) is varying sinusoidally (that is, \(V=\hat{V}e^{j\omega t}\), or, if you prefer, \(V=\hat{V}\sin \omega t\)), то оператор\(d^2/dt^2\), або «подвійна точка», еквівалентно множенню на\(-\omega ^2\), а оператор\(d/dt\), або «точка», еквівалентний множенню на\(j\omega\) . Таким чином, рівняння\ ref {14.10.2} еквівалентно

    \[j\omega CV = -LC\omega^2I+ jRC\omega I + I.\label{14.10.3}\]

    Тобто,\[V=[R+jL\omega + 1/jC\omega]I.\label{14.10.4}\]

    Складний вираз всередині дужок - це тепер знайомий імпеданс Z, і ми можемо написати

    \[V=IZ.\label{14.10.5}\]

    Але що робити, якщо\(V\) is not varying sinusoidally? Suppose that \(V\) is varying in some other manner, perhaps not even periodically? This might include, as one possible example, the situation where \(V\) is constant and not varying with time at all. But whether or not \(V\) varying with time, Equation \ref{14.10.2} is still valid – except that, unless the time variation is sinusoidally, we cannot substitute \(j\omega\) для\(d/dt\). We are faced with having to solve the differential Equation \ref{14.10.2}.

    Але ми щойно вивчили новий акуратний спосіб розв'язання диференціальних рівнянь цього типу. Ми можемо взяти перетворення Лапласа кожної сторони рівняння. Таким чином

    \[C\bar{\dot V} = LC \bar{\ddot I} + RC \bar{\dot I} + \bar{I}.\label{14.10.6}\]

    Тепер ми будемо використовувати теорему диференціювання, рівняння 14.7.2 та 14.7.3.

    \[C(s\bar{V}-V_0) = LC(s^2\bar{I} - sI_0 - \dot I_0) + RC(s\bar{I} - I_0) + \bar{I}.\label{14.10.7}\]

    Припустимо, що\(t=0\), \(V_0\) and \(I_0\) are both zero – i.e. before \(t=0\) a switch was open, and we close the switch at \(t=0\). Furthermore, since the circuit contains inductance, the current cannot change instantaneously, and, since it contains capacitance, the voltage cannot change миттєво, так рівняння стає

    \[\bar{V} = (R+Ls+1/Cs)\bar{I}.\label{14.10.8}\]

    Це так незалежно від форми варіації\(V\): it could be sinusoidal, it could be constant, or it could be something quite different. This is a generalized Ohm's law. The generalized impedance of the circuit is \(R+Ls+\frac{1}{Cs}\). Recall that in the complex number treatment of a steady-state sinusoidal voltage, the complex impedance was \(R+jL\omega+\frac{1}{jCw}\).

    Щоб дізнатися, як змінюється струм, все, що нам потрібно зробити, це взяти зворотне перетворення Лапласа

    \[\bar{I}=\frac{\bar{V}}{R+Ls+1/(Cs)}.\label{14.10.9}\]

    Ми розглянемо пару прикладів в наступних розділах.