15.3: Рівняння руху
Спочатку розглянемо рух астероїда під гравітаційним впливом одного тільки Сонця, ігноруючи збурень від інших планет. Ми приймаємо масу Сонця рівною M, а масу астероїда - m. Сила на астероїді − і, звичайно, за третім законом Ньютона сила на Сонце - єGMmr2, де r - відстань між двома тілами. Ці два тіла, звичайно, рухаються навколо свого загального центру маси, який, у випадку астероїда, знаходиться дуже близько до центру Сонця.
Прискорення астероїда до центру маси єGMr2, і прискорення Сонця до центру маси єGmr2. Якщо ми називаємо рух Сонця як походження, ми бачимо, що прискорення астероїда до Сонця єG(M+m)r2. У векторній формі ми можемо написати це як
¨r=−G(M+m)r3r,
де r - вектор, спрямований від Сонця до астероїда, з геліоцентричними прямокутними складовими (x, y, z). Ці геліоцентричні координати можуть бути або екліптичними координатами, для яких ми досі використовували символи (X, Y, Z); або вони можуть бути екваторіальними координатами, для яких ми досі використовували символи (, η,). Символи (x, y, z) будуть зрозумілі тут, щоб посилатися на будь-який, на нашу зручність. Більш імовірно, що у нас будуть доступні екваторіальні, а не екліптичні координати. Косинуси напряму r є(xr,yr,zr), а отже, прямокутні складові Рівняння 15.3.1
¨x=−G(M+m)r3x
¨y=−G(M+m)r3y
¨z=−G(M+m)r3z
Це рівняння руху астероїда по відношенню до Сонця як походження. x,y,z,r(=√x2+y2+z2)Величини - це, звичайно, функції часу. Розв'язок цих рівнянь описує еліптичні (або інші конічні перерізи) орбіти астероїда та всі інші властивості, які ми обговорювали в попередніх розділах.
Якщо ми використовуємо екліптичні координати (X, Y, Z), вісь X спрямована в сторону Першої точки Овна, вісь Y спрямована уздовж напрямку наростаючої екліптичної довготи, а вісь Z спрямована в бік північного полюса екліптики.
Якщо ми використовуємо екваторіальні координати (θ, η,), то -вісь спрямована до Першої точки Овна, η -вісь спрямована уздовж напрямку 6 годин прямого підйому, а -вісь спрямована до північного небесного полюса. Земля буде на осі X- або у вересні (не в березні).
Тепер введемо третє тіло, збурену планету, таку як, мабуть, Юпітер. Ми припустимо, що його маса дорівнює m 1, що його відстань від Сонця дорівнює r 1, а відстань від астероїда - ρ 1 (див. Рис. XV.I, на якому S - Сонце, А - астероїд, а P - збурена планета). Це тепер задача з трьох тіл, і загальне рішення з точки зору алгебраїчних функцій неможливо, і його доводиться вирішувати числовими обчисленнями.
Окрім прискорень астероїда до Сонця та Сонця до астероїда, описаних на сторінці 3, використовуваних при розробці рівнянь 15.3.1-4, тепер нам доведеться також розглянути прискорення астероїда та Сонця до збуреної планети, як зазначено на малюнку XV.II.
Х-складовими єGm1ρ21×x1−xρ1 іGm1r21×x1r1, отже, додаткове прискорення A, відносно Сонця, у напрямку X єGm1(x1−xρ31−x1r31), і це тепер має бути додано до правого боку Рівняння 15.3.2:
¨x=−G(M+m)r3x+Gm1(x1−xρ31−x1r31)
Ні G, ні M не відомі з великою точністю, але продукт GM відомий з дуже великою точністю. Дійсно, в обчислювальній практиці ми використовуємо константу Гаусаk=√GMa0, де 0 - астрономічна одиниця довжини. Ця константа має розмірність T −1 і дорівнює кутовій швидкості частинки мізерно малої маси на круговій орбіті радіусом 1 ау навколо Сонця, що становить 0,017 202 098 95 радіанів на середню сонячну добу. Тому в обчислювальній практиці рівняння 15.3.5 зазвичай пишеться як
¨x=−k2(1+m)r3x+k2m1(x1−xρ31−x1r31),
в якому одиницями маси, довжини і часу є, відповідно, сонячна маса, астрономічна одиниця і середній сонячний день. Нагадаємо, що m - маса астероїда, орбіту якого ми обчислюємо, а m 1 - маса збуреної планети, і що походження координат - це центр Сонця. Подібні рівняння застосовуються до y - і z -компонентів:
¨y=−k2(1+m)r3y+k2m1(y1−yρ31−y1r31)
¨z=−k2(1+m)r3z+k2m1(z1−zρ31−z1r31)
Якщо додати збурень від усіх основних планет від Меркурія (М) до Нептуна (N), ці Рівняння стануть, звичайно,
¨x=−k2(1+m)r3x+k2N∑i=Mmi(xi−xρ3i−xir3i)
і подібні рівняння в y і z.
У випадку з астероїдом або кометою може бути допустимо знехтувати m в цьому Рівнянні (тобто встановити m = 0), але не, звичайно, m 1. Ми зробимо це тут, так рівняння руху в х стає
¨x=−k2xr3+k2N∑i=Mmi(xi−xρ3i−xir3i),
з подібними рівняннями у та z.
X, x i, ρ i, r i тощо - це числові дані, які повинні надаватися незалежними обчисленнями (підпрограмами) для всіх планет. Як зазначено в кінці попереднього розділу, ми припускаємо, що у нас є підпрограми в нашій програмі, які ми можемо закликати обчислити ці дані в будь-яку дату. Ми також зазначили, що рівняння руху дійсні для екліптичних або екваторіальних координат, хоча координати планет, швидше за все, будуть доступні екваторіальні, а не екліптичні координати. Всі вони є функціями часу, так що, по суті, доводиться розробляти числові методи інтеграції рівнянь виду, де f (t) - це не алгебраїчний вираз, а скоріше таблиця числових значень.
¨x=f(t)
Тобто
d˙xdt=f(t).
Ми припускаємо, що ми знаємо x & в епоху оскуляції. Тоді ми можемо знайти˙x в будь-яку наступну дату будь-якою стандартною технікою числового інтегрування, наприклад, правилами Сімпсона чи Веддла, або квадратурою Гаусса, або процесом Рунге-Кутти. Таким чином, тепер у нас є таблиця˙x як функція часу:
˙x=g(t)
Тобто
dxdt=g(t)
Ми інтегруємо вдруге, поки не дійдемо як до x, так і˙x в деяку наступну епоху оскуляції (можливо, 200, або 40, днів у майбутнє). Повторіть з y і z компонентів, так що ми в кінцевому підсумку є новий набір(x,y,z,˙x,˙y,˙z) для більш пізньої епохи, а отже, і з a, e, i, Ω, ω, T.