13.9: Ітерація

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 13,8: Покращені коефіцієнти трикутника
- 13.10: Наближення вищого порядку

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тепер ми можемо використовувати рівняння 13.8.35a, b і отримати кращу оцінку коефіцієнтів трикутників. Чисельні дані

$b_1 = 2/3 , \quad b_3 = 1/3 , \quad r_2 = 3.481 \ 33 ,$

$τ_1 = t_3 − t_2 = 10$ означають сонячні дні і $τ_3 = t_2 − t_1 = 5$ середні сонячні дні, але нагадаємо, що ми виражаємо часові інтервали в одиницях $1/k$ , що $58.132 \ 440 \ 87$ означає сонячні дні, і тому

$τ_1 = 0.172 \ 021 \quad \text{and} \quad τ_3 = 0.086 \ 010.$

Рівняння 13.8.35 потім призводять до

$a_1 = 0.666 \ 764, a_3 = 0.333 \ 411$ .

Тепер ми можемо повернутися до Рівняння 13.7.4 і почати знову з нашими новими значеннями для коефіцієнтів трикутників - und so weiter - поки не отримаємо нових значень для $∆_1 , \ ∆_2 , \ ∆_3$ і $r_2$ . Нижче я показую в перших двох стовпцях перші сирі оцінки (вже наведені вище), у других двох стовпцях 16 результати першої ітерації, а в останніх двох стовпцях - значення, наведені в опублікованих $\text{IAU}$ ефемеридах.

\ begin {масив} {l c c c}
&\ text {Перші сирі оцінки} &\ текст {Перша ітерація} &\ текст {MPC}
\\\
&\\ quad r &\ quad r & Δ\\ quad r\\\
1 & 2.72571\ 3.48532 & 2.65825\ 3.41952 & 2.644\ 3.406\
2 & підсилювач; 2.68160\ 3.48133 & 2.61558\ 3.41673 & 2.603\ 3.404\
3 & 2.61073\ 3.47471 & 2.54579\ 3.41082 & 2.536\ 3.401\
\ кінець {масив}

Ми бачимо, що ми зробили істотне поліпшення, але ми ще не там. Тепер ми можемо обчислити нові значення $a_1$ і $a_3$ з Рівняння 13.8.35a, b, щоб отримати

$a_1 = 0.666 \ 770 \quad a_3 = 0.333 \ 416$ .

Ми могли б (якщо ми так хотіли) тепер повернутися до Рівняння 13.7.4,5,6, і повторювати знову. Однак це призведе до лише невеликих змін, $∆$ і $a_1$ $a_3$ $r$ , і ми повинні мати на увазі, що рівняння 13.8.35a, b є лише наближеннями (на замовлення $τ^3$ ). Тому навіть якщо послідовні ітерації сходяться, вони все одно не дадуть точних правильних відповідей на $∆$ і $r$ .

Щоб передбачити, врешті-решт ми прийдемо до деяких точних рівнянь (рівняння 13.12.25 та 13.12.26), які дозволять нам вирішити проблему. Але ці Рівняння буде непросто вирішити. Вони повинні бути вирішені шляхом ітерації, використовуючи досить хорошу першу здогадку. Наша сьогоднішня мета - отримати досить хорошу першу здогадку для $a_1$ , $∆$ і $a_3$ $r$ , для того, щоб підготуватися до розв'язання точних рівнянь 13.12.25 і 13.12.26. Наші поточні значення $a_1$ і $a_3$ , хоча і не точні, дозволить нам вирішити Рівняння 13.12.25 і 13.12.26 точно, тому ми повинні тепер, замість того, щоб повернутися знову до Рівняння 13.7.4,5,6, перейти прямо до розділів 13.11, 13.12 і 13.13.

Тим не менш, у наступному розділі ми надаємо (у рівняннях 13.10.9 та 13.10.10), після значних зусиль, розширення вищого порядку для $a_1$ і $a_3$ . Вони можуть бути корисними, але з причин, пояснених у попередньому пункті, може бути простіше пропустити Розділ 13.10 повністю.