1.5: Розв'язок поліноміальних рівнянь
- Page ID
- 78085
Метод Ньютона-Рафсона дуже підходить для розв'язання поліноміальних рівнянь, наприклад для розв'язання квінтного рівняння:
\[a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 = 0 . \label{1.5.1}\]
Перш ніж проілюструвати метод, слід зазначити, що, незважаючи на те, що він може виглядати неелегантно в друкованому вигляді, для того, щоб оцінити поліноміальний вираз чисельно, набагато простіше і швидше вкласти дужки і записати многочлен у вигляді.
\[a_0 + x(a_1 + x(a_2 + x(a_3 + x(a_4 + xa_5)))). \label{1.5.2}\]
Працюючи зсередини назовні, ми бачимо, що процес - це множення з подальшим додаванням, повторюється знову і знову. Це дуже легко, чи проводиться розрахунок комп'ютером, калькулятором, або в голові.
Наприклад, оцініть наступний вираз у вашій голові, для\(x = 4\):
\[ 2 - 7x + 2x^2 - 8x^3 - 2x^4 + 3x^5 . \nonumber\]
Ти не міг? Але тепер оцініть наступний вислів у вашій голові для\(x = 4\) і подивіться, наскільки (відносно) легко це:
\[2 + x(-7 + x(2 + x(-8 + x (-2 + 3x)))). \nonumber\]
Фортран
Як приклад того, наскільки ефективні вкладені дужки в комп'ютерній програмі, ось програма FORTRAN для оцінки полінома п'ятого ступеня. Передбачається, що значення x було визначено у змінній FORTRAN під назвою X, і що шість коефіцієнтів\(a_0, a_1, ... a_5\) були збережені у векторі як\(\text{A}(1), \ \text{A}(2),... \ \text{A}(6)\).
\(\text{Y} = 0 .\)
\(\text{DO1I} = 1,5\)
\(1 \quad \text{Y} = (\text{Y + A}(7-\text{I}))^* \text{X}\)
\(\text{Y} = \text{Y} + \text{A}(1)\)
Розрахунок закінчений!
Повертаємося зараз до вирішення
\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 = 0. \label{1.5.3}\]
У нас є\[f^\prime (x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + 5a_5 x^4 . \label{1.5.4}\]
Зараз\[x = x - f / f^\prime , \label{1.5.5}\]
і після спрощення,
\[ x = \frac{-a_0 + x^2 ( a_2 + x(2a_3 + x(3a_4 + 4a_5 x )))}{a_1 + x(2a_2 + x(3a_3 + x(4a_4 + 5a_5 x)))}, \label{1.5.6}\]
який тепер готовий до числової ітерації.
Наприклад, вирішимо
\[205 + 111x + 4x^2 -31x^3 - 10x^4 + 3x^5 = 0 \label{1.5.7}\]
Розумне перше припущення можна отримати, намалювавши графік цієї функції, щоб побачити, де вона перетинає\(x\) вісь -, але, по правді кажучи, процес Ньютона-Рафсона зазвичай працює настільки добре, що потрібно витратити мало часу на перше припущення; просто використовуйте перше число, яке приходить вам в голову, наприклад, \(x = 0\). Наступні ітерації потім йдуть
\ begin {масив}
-1.846\ 847\\
-1.983\ 713\\
-1.967\ 392\
-1.967\ 111\\
-1.967\ 110\\
\ nonномер
\ кінець {масив}
Залишається питання: Скільки існує рішень? Загальна відповідь полягає в тому, що рівняння полінома n-го ступеня має n розв'язків. Це твердження потрібно трохи кваліфікувати. Наприклад, рішення не повинні бути реальними. Розв'язки можуть бути уявними, як вони є, наприклад, в Рівнянні
\[1 + x^2 = 0 \label{1.5.8}\]
або складні, як вони є, наприклад, в Рівнянні
\[1 + x + x^2 = 0 . \label{1.5.9}\]
Якщо рішення реальні, вони можуть не відрізнятися. Наприклад, Рівняння
\[1 - 2x + x^2 = 0 \label{1.5.10}\]
має два рішення на\(x = 1\), і читачеві можуть бути прощені за те, що він думав, що це дещо розтягує значення «двох рішень». Однак, якщо включати складні коріння і повторювані справжні корені, то завжди вірно, що будь-який поліном\(n\) ступеня має\(n\) рішення. П'ять розв'язків квінтичного рівняння, яке ми розв'язали вище, наприклад, є
\ почати {масив} {c c}
4.947\ 845\\
2.340\ 216\
-1.967\ 110\\
-0.993\ 808 & + & 1.418\ 597i\\
-0.993\ 808 & - & 1.418\ 597i\
\ nonномер
\ кінець {масив}
Чи можна заздалегідь сказати, скільки реальних коренів має поліноміальне рівняння? Найбільш певний спосіб сказати - це побудувати графік поліноміальної функції і побачити, скільки разів він перетинає\(x\) вісь -. Однак можна в обмеженій мірі заздалегідь визначити, скільки існує реальних коренів. Наступні «правила» можуть допомогти. Деякі будуть досить очевидними; інші вимагають доказів.
Число дійсних коренів многочлена непарного ступеня непарне. Таким чином, квінтове рівняння може мати один, три або п'ять реальних коренів. Однак не всі ці корені повинні бути виразними, тому це має обмежену допомогу. Проте многочлен непарного ступеня завжди має хоча б один реальний корінь. Число дійсних коренів рівняння парного ступеня парне - але коріння не повинні бути різними, а кількість реальних коренів може дорівнювати нулю.
Верхню межу кількості реальних коренів можна визначити, вивчивши ознаки коефіцієнтів. Наприклад, розглянемо ще раз Рівняння
\[205 + 111x + 4x^2 -31x^3 -10x^4 + 3x^5 = 0 . \label{1.5.11}\]
Ознаками коефіцієнтів, написаних по порядку, починаючи з\(a_0\), є
\[ +++--+\nonumber\]
Проведіть око по цьому списку, і порахуйте кількість разів, коли відбувається зміна знака. Знак змінюється двічі. Це говорить нам про те, що позитивних реальних коренів існує не більше двох. (Якщо один з коефіцієнтів у рівнянні полінома дорівнює нулю, тобто якщо один з членів «відсутній», це не рахується зміною знака.)
Тепер змініть ознаки всіх коефіцієнтів непарних степеней\(x\):
\[+-++--\nonumber\]
Цього разу відбувається три зміни знака. Це говорить нам про те, що існує не більше трьох негативних реальних коренів.
Іншими словами, кількість змін знака\(f(x)\) дає нам верхню межу кількості позитивних реальних коренів, а кількість змін знака\(f(−x)\) дає нам верхню межу кількості негативних реальних коренів.
Останнє «правило» полягає в тому, що складні коріння зустрічаються в сполучених парах. У нашому конкретному прикладі ці правила говорять нам про те, що існує не більше двох позитивних реальних коренів, і не більше трьох негативних реальних коренів. Оскільки ступінь многочлена непарна, існує принаймні один реальний корінь, хоча ми не можемо сказати, позитивний він чи негативний.
Насправді конкретне рівняння, як ми бачили, має два позитивних дійсних кореня, один негативний реальний корінь і два сполучених складних кореня.