Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

32.5: Детермінанти

  • Page ID
    26768
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Детермінант - корисне значення, яке можна обчислити з елементів квадратної матриці.

    Розглянемо скорочення рядків стандартної матриці 2х2. Припустимо, що\(a\) це ненульове значення.

    \[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber \]

    \[\frac{1}{a} R_1 \rightarrow R_1, \;\;\; R_2-cR_1 \rightarrow R_2 \nonumber \]

    \[\begin{pmatrix} 1 &\frac{b}{a} \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber \]

    \[\begin{pmatrix} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & d-\frac{cb}{a}\end{pmatrix} \nonumber \]

    Тепер зверніть увагу, що ми не можемо зробити нижній правий кут a 1 якщо

    \[d - \frac{cb}{a} = 0 \nonumber \]

    або

    \[ad - bc = 0. \nonumber \]

    Визначення: Детермінант

    \(ad - bc\)Називаємо визначник матриці 2 на 2

    \[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber \]

    він говорить нам, коли можна рядків зменшити матрицю і знайти рішення лінійної системи.

    Приклад Template:index:

    Визначник матриці

    \[\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix} \nonumber \]

    є

    \[3(2) - 1(5) = 6 - 5 = 1. \nonumber \]

    Детермінанти матриць 3 х 3

    Визначаємо детермінанту трикутної матриці

    \[\begin{pmatrix} a &d &e \\ 0 &b &f \\ 0 &0 &c \end{pmatrix} \nonumber \]

    від

    \[\text{det} = abc. \nonumber \]

    Зверніть увагу, що якщо ми помножимо ряд на постійну,\(k\) то новий детермінант\(k\) раз старий. Нижче ми перерахуємо ефект всіх трьох рядкових операцій.

    Теорема

    Вплив трьох основних рядкових операцій на визначник полягає в наступному:

    1. Множення рядка на константу множить детермінант на цю константу.
    2. Перемикання двох рядків змінює знак визначника.
    3. Заміна одного рядка цим рядком+множення іншого рядка не впливає на визначник.

    Щоб знайти детермінант матриці, ми використовуємо операції, щоб зробити матрицю трикутною, а потім працювати назад.

    Приклад Template:index:

    Знайдіть детермінант

    \[\begin{pmatrix} 2 & 6 &10 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]

    Ми використовуємо операції рядків, поки матриця не стане трикутною.

    \[\dfrac{1}{2}R_1 \rightarrow R_1 \text{(Multiplies the determinant by } \dfrac{1}{2}) \nonumber \]

    \[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]

    \[R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2 \text{ (No effect on the determinant)} \nonumber \]

    \[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]

    Зверніть увагу, що нам не потрібно обнуляти верхнє середнє число. Нам потрібно лише обнулити нижні ліві цифри.

    \[R_3 + 2R_2 \rightarrow R_3 \text{ (No effect on the determinant)}. \nonumber \]

    \[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &0 &-24 \end{pmatrix} \nonumber \]

    Зверніть увагу, що нам не потрібно робити середнє число 1.

    Визначник цієї матриці дорівнює 48. Оскільки ця\(\frac{1}{2}\) матриця має визначник вихідної матриці, визначник вихідної матриці має

    \[\text{determinant} = 48(2) = 96. \nonumber \]

    Інверси

    Ми називаємо квадратну матрицю I з усіма 1 вниз по діагоналі і нулями скрізь ще ідентичність матриці. Він має унікальну властивість, що якщо\(A\) квадратна матриця з однаковими розмірами, то

    \[AI = IA = A. \nonumber \]

    Визначення

    Якщо\(A\) квадратна матриця, то обернена\(A^{-1}\)\(A\) - це унікальна матриця така, що

    \[AA^{-1}=A^{-1}A=I. \nonumber \]

    Приклад Template:index:

    Нехай

    \[A=\begin{pmatrix} 2 &5 \\ 1 &3 \end{pmatrix} \nonumber \]

    потім

    \[A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 &-5 \\ -1 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]

    Переконайтеся в цьому!

    Теорема: Існування

    Обернена матриця існує тоді і лише тоді, коли визначник ненульовий.

    Щоб знайти зворотну матрицю, ми запишемо нову розширену матрицю з ідентичністю праворуч. Потім ми повністю рядки зменшуємо, отримана матриця справа буде зворотною матрицею.

    Приклад Template:index:

    \[\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \nonumber \]

    Спочатку зауважимо, що визначником цієї матриці є

    \[-2 + 1 = -1 \nonumber \]

    звідси і зворотне існує. Тепер встановлюємо доповнену матрицю як

    \[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}2&-1&1&0 \\1&-1&0&1\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]

    \[R_1 {\leftrightarrow} R_2 \nonumber \]

    \[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&1 \\2&-1&1&0\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]

    \[ R_2 - 2R_1 {\rightarrow} R_2 \nonumber \]

    \[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&1 \\0&1&1&-2\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]

    \[ R_1 + R_2 {\rightarrow} R_1 \nonumber \]

    \[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&0&1&-1 \\0&1&1&-2\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]

    Зверніть увагу, що ліва частина тепер ідентичність. Права сторона - зворотна. Звідси

    \[A^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber \]

    Розв'язування рівнянь з використанням матриць

    Приклад Template:index:

    Припустимо, у нас є система

    \[2x - y = 3 \nonumber \]

    \[ x - y = 4 \nonumber \]

    Тоді ми можемо записати це у вигляді матриці

    \[Ax = b \nonumber \]

    де

    \[A=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}, \;\;\; x= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \;\;\; \text{and} \; b=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \nonumber \]

    Ми можемо помножити обидві сторони на\(A^{-1}\):

    \[A^{-1}A x = A^{-1}b \nonumber \]

    або

    \[x = A^{-1}b \nonumber \]

    Від раніше,

    \[A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber \]

    Отже, наше рішення

    \[\begin{pmatrix} -1&-5 \end{pmatrix} \nonumber \]

    або

    \[x = -1 \text{ and } y = 5 \nonumber \]

    Дописувачі та авторства

    • Was this article helpful?