32.5: Детермінанти
- Page ID
- 26768
Детермінант - корисне значення, яке можна обчислити з елементів квадратної матриці.
Розглянемо скорочення рядків стандартної матриці 2х2. Припустимо, що\(a\) це ненульове значення.
\[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber \]
\[\frac{1}{a} R_1 \rightarrow R_1, \;\;\; R_2-cR_1 \rightarrow R_2 \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 &\frac{b}{a} \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & d-\frac{cb}{a}\end{pmatrix} \nonumber \]
Тепер зверніть увагу, що ми не можемо зробити нижній правий кут a 1 якщо
\[d - \frac{cb}{a} = 0 \nonumber \]
або
\[ad - bc = 0. \nonumber \]
\(ad - bc\)Називаємо визначник матриці 2 на 2
\[\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber \]
він говорить нам, коли можна рядків зменшити матрицю і знайти рішення лінійної системи.
Визначник матриці
\[\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix} \nonumber \]
є
\[3(2) - 1(5) = 6 - 5 = 1. \nonumber \]
Детермінанти матриць 3 х 3
Визначаємо детермінанту трикутної матриці
\[\begin{pmatrix} a &d &e \\ 0 &b &f \\ 0 &0 &c \end{pmatrix} \nonumber \]
від
\[\text{det} = abc. \nonumber \]
Зверніть увагу, що якщо ми помножимо ряд на постійну,\(k\) то новий детермінант\(k\) раз старий. Нижче ми перерахуємо ефект всіх трьох рядкових операцій.
Вплив трьох основних рядкових операцій на визначник полягає в наступному:
- Множення рядка на константу множить детермінант на цю константу.
- Перемикання двох рядків змінює знак визначника.
- Заміна одного рядка цим рядком+множення іншого рядка не впливає на визначник.
Щоб знайти детермінант матриці, ми використовуємо операції, щоб зробити матрицю трикутною, а потім працювати назад.
Знайдіть детермінант
\[\begin{pmatrix} 2 & 6 &10 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Ми використовуємо операції рядків, поки матриця не стане трикутною.
\[\dfrac{1}{2}R_1 \rightarrow R_1 \text{(Multiplies the determinant by } \dfrac{1}{2}) \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]
\[R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2 \text{ (No effect on the determinant)} \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Зверніть увагу, що нам не потрібно обнуляти верхнє середнє число. Нам потрібно лише обнулити нижні ліві цифри.
\[R_3 + 2R_2 \rightarrow R_3 \text{ (No effect on the determinant)}. \nonumber \]
\[\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &0 &-24 \end{pmatrix} \nonumber \]
Зверніть увагу, що нам не потрібно робити середнє число 1.
Визначник цієї матриці дорівнює 48. Оскільки ця\(\frac{1}{2}\) матриця має визначник вихідної матриці, визначник вихідної матриці має
\[\text{determinant} = 48(2) = 96. \nonumber \]
Інверси
Ми називаємо квадратну матрицю I з усіма 1 вниз по діагоналі і нулями скрізь ще ідентичність матриці. Він має унікальну властивість, що якщо\(A\) квадратна матриця з однаковими розмірами, то
\[AI = IA = A. \nonumber \]
Визначення
Якщо\(A\) квадратна матриця, то обернена\(A^{-1}\)\(A\) - це унікальна матриця така, що
\[AA^{-1}=A^{-1}A=I. \nonumber \]
Нехай
\[A=\begin{pmatrix} 2 &5 \\ 1 &3 \end{pmatrix} \nonumber \]
потім
\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 &-5 \\ -1 &2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Переконайтеся в цьому!
Теорема: Існування
Обернена матриця існує тоді і лише тоді, коли визначник ненульовий.
Щоб знайти зворотну матрицю, ми запишемо нову розширену матрицю з ідентичністю праворуч. Потім ми повністю рядки зменшуємо, отримана матриця справа буде зворотною матрицею.
\[\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \nonumber \]
Спочатку зауважимо, що визначником цієї матриці є
\[-2 + 1 = -1 \nonumber \]
звідси і зворотне існує. Тепер встановлюємо доповнену матрицю як
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}2&-1&1&0 \\1&-1&0&1\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]
\[R_1 {\leftrightarrow} R_2 \nonumber \]
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&1 \\2&-1&1&0\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]
\[ R_2 - 2R_1 {\rightarrow} R_2 \nonumber \]
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&1 \\0&1&1&-2\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]
\[ R_1 + R_2 {\rightarrow} R_1 \nonumber \]
\[\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&0&1&-1 \\0&1&1&-2\end{array}\end{pmatrix} \nonumber \]
Зверніть увагу, що ліва частина тепер ідентичність. Права сторона - зворотна. Звідси
\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Розв'язування рівнянь з використанням матриць
Припустимо, у нас є система
\[2x - y = 3 \nonumber \]
\[ x - y = 4 \nonumber \]
Тоді ми можемо записати це у вигляді матриці
\[Ax = b \nonumber \]
де
\[A=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}, \;\;\; x= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \;\;\; \text{and} \; b=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \nonumber \]
Ми можемо помножити обидві сторони на\(A^{-1}\):
\[A^{-1}A x = A^{-1}b \nonumber \]
або
\[x = A^{-1}b \nonumber \]
Від раніше,
\[A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber \]
Отже, наше рішення
\[\begin{pmatrix} -1&-5 \end{pmatrix} \nonumber \]
або
\[x = -1 \text{ and } y = 5 \nonumber \]