32.5: Детермінанти

Last updated

Oct 25, 2022
Save as PDF
- 32.4: Сферичні координати
- 32.6: Матриці

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Детермінант - корисне значення, яке можна обчислити з елементів квадратної матриці.

Розглянемо скорочення рядків стандартної матриці 2х2. Припустимо, що $a$ це ненульове значення.

$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber$

$\frac{1}{a} R_1 \rightarrow R_1, \;\;\; R_2-cR_1 \rightarrow R_2 \nonumber$

$\begin{pmatrix} 1 &\frac{b}{a} \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber$

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & d-\frac{cb}{a}\end{pmatrix} \nonumber$

Тепер зверніть увагу, що ми не можемо зробити нижній правий кут a 1 якщо

$d - \frac{cb}{a} = 0 \nonumber$

або

$ad - bc = 0. \nonumber$

Визначення: Детермінант

$ad - bc$ Називаємо визначник матриці 2 на 2

$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \nonumber$

він говорить нам, коли можна рядків зменшити матрицю і знайти рішення лінійної системи.

Приклад Template:index:

Визначник матриці

$\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix} \nonumber$

$3(2) - 1(5) = 6 - 5 = 1. \nonumber$

Детермінанти матриць 3 х 3

Визначаємо детермінанту трикутної матриці

$\begin{pmatrix} a &d &e \\ 0 &b &f \\ 0 &0 &c \end{pmatrix} \nonumber$

від

$\text{det} = abc. \nonumber$

Зверніть увагу, що якщо ми помножимо ряд на постійну, $k$ то новий детермінант $k$ раз старий. Нижче ми перерахуємо ефект всіх трьох рядкових операцій.

Теорема

Вплив трьох основних рядкових операцій на визначник полягає в наступному:

Множення рядка на константу множить детермінант на цю константу.
Перемикання двох рядків змінює знак визначника.
Заміна одного рядка цим рядком+множення іншого рядка не впливає на визначник.

Щоб знайти детермінант матриці, ми використовуємо операції, щоб зробити матрицю трикутною, а потім працювати назад.

Приклад Template:index:

Знайдіть детермінант

$\begin{pmatrix} 2 & 6 &10 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber$

Ми використовуємо операції рядків, поки матриця не стане трикутною.

$\dfrac{1}{2}R_1 \rightarrow R_1 \text{(Multiplies the determinant by } \dfrac{1}{2}) \nonumber$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 2 &4 &-3 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber$

$R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2 \text{ (No effect on the determinant)} \nonumber$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &4 &2 \end{pmatrix} \nonumber$

Зверніть увагу, що нам не потрібно обнуляти верхнє середнє число. Нам потрібно лише обнулити нижні ліві цифри.

$R_3 + 2R_2 \rightarrow R_3 \text{ (No effect on the determinant)}. \nonumber$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 &5 \\ 0 &-2 &-13 \\ 0 &0 &-24 \end{pmatrix} \nonumber$

Зверніть увагу, що нам не потрібно робити середнє число 1.

Визначник цієї матриці дорівнює 48. Оскільки ця $\frac{1}{2}$ матриця має визначник вихідної матриці, визначник вихідної матриці має

$\text{determinant} = 48(2) = 96. \nonumber$

Інверси

Ми називаємо квадратну матрицю I з усіма 1 вниз по діагоналі і нулями скрізь ще ідентичність матриці. Він має унікальну властивість, що якщо $A$ квадратна матриця з однаковими розмірами, то

$AI = IA = A. \nonumber$

Визначення

Якщо $A$ квадратна матриця, то обернена $A^{-1}$ $A$ - це унікальна матриця така, що

$AA^{-1}=A^{-1}A=I. \nonumber$

Приклад Template:index:

Нехай

$A=\begin{pmatrix} 2 &5 \\ 1 &3 \end{pmatrix} \nonumber$

потім

$A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 &-5 \\ -1 &2 \end{pmatrix} \nonumber$

Переконайтеся в цьому!

Теорема: Існування

Обернена матриця існує тоді і лише тоді, коли визначник ненульовий.

Щоб знайти зворотну матрицю, ми запишемо нову розширену матрицю з ідентичністю праворуч. Потім ми повністю рядки зменшуємо, отримана матриця справа буде зворотною матрицею.

Приклад Template:index:

$\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix} \nonumber$

Спочатку зауважимо, що визначником цієї матриці є

$-2 + 1 = -1 \nonumber$

звідси і зворотне існує. Тепер встановлюємо доповнену матрицю як

$\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}2&-1&1&0 \\1&-1&0&1\end{array}\end{pmatrix} \nonumber$

$R_1 {\leftrightarrow} R_2 \nonumber$

$\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&1 \\2&-1&1&0\end{array}\end{pmatrix} \nonumber$

$R_2 - 2R_1 {\rightarrow} R_2 \nonumber$

$\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&1 \\0&1&1&-2\end{array}\end{pmatrix} \nonumber$

$R_1 + R_2 {\rightarrow} R_1 \nonumber$

$\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&0&1&-1 \\0&1&1&-2\end{array}\end{pmatrix} \nonumber$

Зверніть увагу, що ліва частина тепер ідентичність. Права сторона - зворотна. Звідси

$A^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber$

Розв'язування рівнянь з використанням матриць

Приклад Template:index:

Припустимо, у нас є система

$2x - y = 3 \nonumber$

$x - y = 4 \nonumber$

Тоді ми можемо записати це у вигляді матриці

$Ax = b \nonumber$

де

$A=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}, \;\;\; x= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \;\;\; \text{and} \; b=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \nonumber$

Ми можемо помножити обидві сторони на $A^{-1}$ :

$A^{-1}A x = A^{-1}b \nonumber$

або

$x = A^{-1}b \nonumber$

Від раніше,

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-2 \end{pmatrix} \nonumber$

Отже, наше рішення

$\begin{pmatrix} -1&-5 \end{pmatrix} \nonumber$

або

$x = -1 \text{ and } y = 5 \nonumber$