32.4: Сферичні координати

Цілі

• Зрозумійте поняття площі та об'ємних елементів у декартових, полярних та сферичних координатах.
• Вміти інтегрувати функції, виражені в полярних або сферичних координатах.
• Зрозумійте, як нормалізувати орбіталі, виражені в сферичних координатах, і виконувати обчислення за участю потрійних інтегралів.

Системи координат

Найпростіша система координат складається з осей координат, орієнтованих перпендикулярно один одному. Ці координати відомі як декартові координати або прямокутні координати, і ви вже знайомі з їх двовимірним і тривимірним зображенням. У площині будь-яку точку\(P\) можна представити двома підписаними числами, зазвичай записуються як\((x,y)\), де координата\(x\) - відстань, перпендикулярна\(x\) осі, а координата\(y\) - відстань, перпендикулярне\(y\) осі (рис.\(\PageIndex{1}\), зліва). У просторі точка представлена трьома знаковими числами, зазвичай записуються як\((x,y,z)\) (рис.\(\PageIndex{1}\), праворуч).

Часто позиції зображуються вектором\(\vec{r}\), показаним червоним кольором на малюнку\(\PageIndex{1}\). У трьох вимірах цей вектор може бути виражений через значення координат як\(\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\), де\(\hat{i}=(1,0,0)\),\(\hat{j}=(0,1,0)\) і\(\hat{z}=(0,0,1)\) є так званими одиничними векторами.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Декартові координати (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

Ми вже знаємо, що часто симетрія проблеми робить її природною (і простішою!) використовувати інші системи координат. У двох вимірах полярна система координат визначає точку на площині двома числами: відстань\(r\) до початку та кут,\(\theta\) який вектор положення формує з\(x\) віссю -. Зверніть увагу на різницю між\(\vec{r}\), вектор\(r\), і, відстань до початку (а отже, і модуль вектора). Вектори часто позначаються жирним шрифтом (наприклад, r) без стрілки зверху, тому будьте обережні, щоб не переплутати його з\(r\), яка є скаляром.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Плоскі полярні координати (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

У той час як в декартових координатах\(x\)\(y\) (і\(z\) в тривимірних) можуть приймати значення від\(-\infty\) до\(\infty\), в полярних координатах\(r\) є додатним значенням (узгоджується з відстанню), і\(\theta\) може приймати значення в діапазоні\([0,2\pi]\).

Взаємозв'язок між декартовими і полярними координатами у двох вимірах можна узагальнити як:

\[\label{eq:coordinates_1} x=r\cos\theta\]

\[\label{eq:coordinates_2} y=r\sin\theta\]

\[\label{eq:coordinates_3} r^2=x^2+y^2\]

\[\label{eq:coordinates_4} \tan \theta=y/x\]

У трьох вимірах сферична система координат визначає точку в просторі трьома числами: відстань\(r\) до початку, полярний кут,\(\phi\) який вимірює кут між позитивною\(x\) -віссю та лінією від початку до точки, що\(P\) проектується на\(xy\) -площину , і кут, який\(\theta\) визначається як кут між\(z\) -віссю і лінією від початку до точки\(P\):

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Сферичні координати (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

Перш ніж рухатися далі, важливо згадати, що залежно від поля, ви можете побачити грецьку букву\(\theta\) (замість\(\phi\)), яка використовується для кута між позитивною\(x\) віссю та лінією від початку до точки, що\(P\) проектується на\(xy\) площину -plane. Тобто\(\theta\) і\(\phi\) можуть з'явитися поміняні. Це може бути дуже заплутаним, тому доведеться бути обережним. При використанні сферичних координат важливо, щоб ви бачили, як ці два кути визначені, щоб ви могли визначити, який є який.

Сферичні координати корисні при аналізі систем, які симетричні щодо точки. Наприклад, сфера, яка має декартове рівняння,\(x^2+y^2+z^2=R^2\) має дуже просте рівняння\(r = R\) в сферичних координатах. Сферичні координати - це природні координати для фізичних ситуацій, коли існує сферична симетрія (наприклад, атоми). Взаємозв'язок між декартовими координатами та сферичними координатами можна узагальнити як:

\[\label{eq:coordinates_5} x=r\sin\theta\cos\phi\]

\[\label{eq:coordinates_6} y=r\sin\theta\sin\phi\]

\[\label{eq:coordinates_7} z=r\cos\theta\]

Ці відносини не важко вивести, якщо врахувати трикутники, показані на малюнку\(\PageIndex{4}\):

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Сферичні координати (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

Елементи площі та об'єму

У будь-якій системі координат корисно визначити диференціальну площу та елемент диференціального об'єму. У декартових координатах елемент диференціальної площі просто\(dA=dx\;dy\) (рис.\(\PageIndex{1}\)), а об'ємний елемент просто\(dV=dx\;dy\;dz\).

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Елементи площі та об'єму в декартових координатах (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

Ми вже виконували подвійні та потрійні інтеграли в декартових координатах і використовували елементи площі та об'єму, не звертаючи особливої уваги. Наприклад, у прикладі [c2v:c2vex1] нам було потрібно інтегрувати функцію\({\left | \psi (x,y,z) \right |}^2\) по всьому простору, і, не замислюючись, ми використовували елемент volume\(dx\;dy\;dz\) (див. сторінку). Ми також знали, що «весь простір» означає\(-\infty\leq x\leq \infty\),\(-\infty\leq y\leq \infty\) і\(-\infty\leq z\leq \infty\), тому ми писали:

\[\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }{\left | \psi (x,y,z) \right |}^2\; dx \;dy \;dz=1 \nonumber\]

Але що робити, якщо нам довелося інтегрувати функцію, яка виражається в сферичних координатах? Ми б просто замінити\(dx\;dy\;dz\) на\(dr\; d\theta\; d\phi\)? Відповідь - ні, тому що елемент об'єму в сферичних координатах залежить також від фактичного положення точки. Це матиме більше сенсу через хвилину. Повертаючись до координат у двох вимірах, інтуїтивно зрозуміло, чому елемент площі в декартових координатах\(dA=dx\;dy\) не залежить від значень\(x\) і\(y\). Це показано в лівій частині малюнка\(\PageIndex{2}\). Однак в полярних координатах ми бачимо, що площі сірих ділянок, які як будуються\(r\) збільшенням на\(dr\), так і\(\theta\) збільшенням на\(d\theta\), залежать від фактичного значення\(r\). Зверніть увагу, що область, виділена сірим кольором, збільшується, коли ми віддаляємося від початку.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Диференціал площі в декартових і полярних координатах (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

Площа, показана сірим кольором, може бути обчислена з геометричних аргументів як

\[dA=\left[\pi (r+dr)^2- \pi r^2\right]\dfrac{d\theta}{2\pi}.\]

Тому що\(dr<<0\), можна знехтувати\((dr)^2\) терміном і\(dA= r\; dr\;d\theta\) (див. Рис.\(10.2.3\)).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Диференціал площі в полярних координатах (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

Давайте подивимося, як це впливає на подвійний інтеграл на прикладі з квантової механіки. Хвильова функція наземного стану двовимірного гармонічного осцилятора становить:\(\psi(x,y)=A e^{-a(x^2+y^2)}\). Ми знаємо, що величина\(|\psi|^2\) являє собою щільність ймовірності, і як така, її потрібно нормалізувати:

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dA=1 \nonumber\]

Це твердження вірно незалежно від того, виражена функція в полярних або декартових координатах. Однак межі інтеграції та вираз, який використовується для\(dA\), залежатимуть від системи координат, яка використовується в інтеграції.

У декартових координатах «весь простір» означає\(-\infty<x<\infty\) і\(-\infty<y<\infty\). Диференціал площі становить\(dA=dxdy\):

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dA=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} A^2e^{-2a(x^2+y^2)}\;dxdy=1 \nonumber\]

У полярних координатах «весь простір» означає\(0<r<\infty\) і\(0<\theta<2\pi\). Диференціал площі є\(dA=r\;drd\theta\). Функція\(\psi(x,y)=A e^{-a(x^2+y^2)}\) може бути виражена в полярних координатах як:\(\psi(r,\theta)=A e^{-ar^2}\)

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dA=\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{0}^{2\pi} A^2 e^{-2ar^2}r\;d\theta dr=1 \nonumber\]

Обидві версії подвійного інтеграла еквівалентні, і обидві можуть бути вирішені, щоб знайти значення константи нормалізації (\(A\)), що робить подвійний інтеграл рівним 1. У полярних координатах:

\[\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{0}^{2\pi} A^2 e^{-2ar^2}r\;d\theta dr=A^2\int\limits_{0}^{\infty}e^{-2ar^2}r\;dr\int\limits_{0}^{2\pi}\;d\theta =A^2\times\dfrac{1}{4a}\times2\pi=1 \nonumber\]

Тому ¹,\(A=\sqrt{2a/\pi}\). Таке ж значення, звичайно, отримується шляхом інтеграції в декартові координати.

Настав час звернути нашу увагу на потрійні інтеграли в сферичних координатах. У декартових координатах диференціальний об'ємний елемент просто\(dV= dx\,dy\,dz\), незалежно від значень\(x, y\) і\(z\). Використовуючи ті самі аргументи, які ми використовували для полярних координат в площині, ми побачимо, що диференціала об'єму в сферичних координатах немає\(dV=dr\,d\theta\,d\phi\). Геометричне виведення об'єму трохи складніше, але з малюнка\(\PageIndex{4}\) ви повинні бути в змозі побачити, що\(dV\) залежить від\(r\) і\(\theta\), але не від\(\phi\). Обсяг затіненої області дорівнює

\[\label{eq:dv} dV=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,dr\]

Рисунок\(\PageIndex{4}\): Диференціал об'єму в сферичних координатах (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

Ми наведемо приклад використання потрійних інтегралів у сферичних координатах з деякими задачами квантової механіки. Ми вже ввели рівняння Шредінгера і навіть розв'язали його для простої системи в розділі 5.4. Ми також згадували, що сферичні координати є очевидним вибором при написанні цього та інших рівнянь для таких систем, як атоми, які симетричні навколо точки.

Як ми бачили у випадку з частинкою в коробці (Розділ 5.4), рішення рівняння Шредінгера має довільну мультиплікативну константу. Через імовірнісну інтерпретацію хвильових функцій ми визначаємо цю константу шляхом нормалізації. Така ж ситуація виникає в трьох вимірах, коли ми вирішуємо рівняння Шредінгера для отримання виразів, які описують можливі стани електрона в атомі водню (тобто орбіталі атома). Рівняння Шредінгера - це рівняння з частинними похідними в трьох вимірах, і розв'язками будуть хвильові функції, які є функціями\(r, \theta\) і\(\phi\). Найнижчий енергетичний стан, який в хімії ми називаємо орбітальною 1s, виявляється:

\[\psi_{1s}=Ae^{-r/a_0} \nonumber\]

Ця конкретна орбіталь залежить\(r\) тільки від того, що не повинно дивувати хіміка, враховуючи, що електронна щільність у всіх\(s\) -орбіталів сферично симетрична. Ми побачимо, що\(p\) і\(d\) орбіталі залежать і від кутів. Незалежно від орбітальної, і системи координат, умова нормалізації говорить, що:

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dV=1 \nonumber\]

Для хвильової функції, вираженої в декартових координатах,

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dV=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x,y,z)\psi(x,y,z)\,dxdydz \nonumber\]

де ми використовували те, що\(|\psi|^2=\psi^* \psi\).

У сферичних координатах «весь простір» означає\(0\leq r\leq \infty\),\(0\leq \phi\leq 2\pi\) і\(0\leq \theta\leq \pi\). Диференціал\(dV\) є\(dV=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,dr\), так

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dV=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\psi^*(r,\theta,\phi)\psi(r,\theta,\phi)\,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi=1 \nonumber\]

Давайте подивимося, як ми можемо нормалізувати орбіталі за допомогою потрійних інтегралів у сферичних координатах.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

При вирішенні рівняння Шредінгера для атома водню отримаємо\(\psi_{1s}=Ae^{-r/a_0}\), де\(A\) знаходиться довільна константа, яку потрібно визначити шляхом нормалізації. Знайти\(A\).

Рішення

У сферичних координатах,

\[\int\limits_{all\; space} |\psi|^2\;dV=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\psi^*(r,\theta,\phi)\psi(r,\theta,\phi)\,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi=1 \nonumber\]

тому що ця орбітальна є реальною функцією,\(\psi^*(r,\theta,\phi)\psi(r,\theta,\phi)=\psi^2(r,\theta,\phi)\). В даному випадку,\(\psi^2(r,\theta,\phi)=A^2e^{-2r/a_0}\).

Тому,

\[\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\psi^*(r,\theta,\phi)\psi(r,\theta,\phi) \, r^2 \sin\theta \, dr d\theta d\phi=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}A^2e^{-2r/a_0}\,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi=1 \nonumber\]

\[\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}A^2e^{-2r/a_0}\,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi=A^2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\pi}\sin\theta \;d\theta\int\limits_{0}^{\infty}e^{-2r/a_0}\,r^2\;dr \nonumber\]

Результатом є добуток трьох інтегралів в одну змінну:

\[\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi=2\pi \nonumber\]

\[\int\limits_{0}^{\pi}\sin\theta \;d\theta=-\cos\theta|_{0}^{\pi}=2 \nonumber\]

\[\int\limits_{0}^{\infty}e^{-2r/a_0}\,r^2\;dr=? \nonumber\]

З листа формул:

\[\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax}dx=\dfrac{n!}{a^{n+1}}, \nonumber\]

де\(a>0\) і\(n\) - натуральне число.

У цьому випадку\(n=2\) і\(a=2/a_0\), так:

\[\int\limits_{0}^{\infty}e^{-2r/a_0}\,r^2\;dr=\dfrac{2!}{(2/a_0)^3}=\dfrac{2}{8/a_0^3}=\dfrac{a_0^3}{4} \nonumber\]

Збираємо три частини разом:

\[A^2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\pi}\sin\theta \;d\theta\int\limits_{0}^{\infty}e^{-2r/a_0}\,r^2\;dr=A^2\times2\pi\times2\times \dfrac{a_0^3}{4}=1 \nonumber\]

\[A^2\times \pi \times a_0^3=1\rightarrow A=\dfrac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} \nonumber\]

Отже, нормалізована орбітальна 1s є:

\[\displaystyle{\color{Maroon}\dfrac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}} \nonumber\]