8.4: Електрон має внутрішній спіновий кутовий момент
- Page ID
- 26743
- Зрозумійте четверте квантове число для електронів - спін.
- Зрозумійте, як спін пов'язаний з магнітними властивостями електронів і атомів.
- Зрозумійте, як розірвати виродження за допомогою зовнішньо застосованих магнітних полів в електронах і атомах.
Уявіть, що ви проводите гіпотетичний експеримент, який призвів би до відкриття електронного спіна. Ваша лабораторія щойно придбала мікрохвильовий спектрометр зі змінною ємністю магнітного поля. Ми пробуємо новий прилад з атомами водню за допомогою магнітного поля 10 4 Гаусса і шукаємо поглинання мікрохвильового випромінювання під час сканування частоти нашого мікрохвильового генератора (Рисунок Template:index).
Нарешті ми бачимо поглинання на частоті мікрохвильових фотонів\(28 \times 10^9\, Hz\) (28 гігагерц). Цей результат дійсно дивує з кількох точок зору. Кожен атом водню знаходиться в основному стані, з електроном в 1s орбіталі. Найнижча енергія електронного переходу, який ми прогнозуємо на основі існуючої теорії (електронний перехід з основного стану (\(\psi _{100}\)до\(\psi _{21m}\)) вимагає енергії, яка лежить у вакуумному ультрафіолеті (нижня лінія Лаймана на 121 нм), а не мікрохвильовій, області спектра. Крім того, коли ми змінюємо магнітне поле, ми відзначаємо, що частота, на якій відбувається поглинання, змінюється пропорційно магнітному полю.
Ефект Зеємана: Порушення вироджень магнітними полями
Магнетизм виникає в результаті кругового руху заряджених частинок. Це властивість демонструється в макроскопічних масштабах шляхом виготовлення електромагніту з котушки дроту і акумулятора. Електрони, що рухаються через котушку, виробляють магнітне поле, яке можна розглядати як походить від магнітного диполя або стрижневого магніту. Електрони в атомах також є рухомими зарядами з кутовим імпульсом, тому вони теж виробляють магнітний диполь, тому деякі матеріали є магнітними. Магнітний диполь взаємодіє з магнітним полем, і енергія цієї взаємодії задається скалярним добутком магнітного дипольного моменту, і магнітним полем,\(\vec{B}\).
\[E_B = -\vec{\mu}_m \cdot \vec{B} \label {8.4.0} \]
Пітер Зееман одним з перших спостерігав розщеплення спектральних ліній в магнітному полі, викликаному цією взаємодією. Отже, такі розщеплення відомі як ефект Зеемана. (Рисунок Template:index). Очікуване значення для загальної енергії в даному випадку - це сума енергії при відсутності поля\(E_n\), плюс енергія Зеемана:
\[\begin{align} \left \langle E \right \rangle &= E_n + \dfrac {e \hbar B_z m_l}{2m_e} \\[4pt] &= E_n + \mu _B B_z m_l \label {8.4.13} \end{align} \]
Фактор
\[ \dfrac {e \hbar}{2m_e} = - \gamma _e \hbar = \mu _B \label {8.4.14} \]
визначає константу\(\mu _B\), звану магнетоном Бора, яка приймається за фундаментальний магнітний момент. Він має одиниці\(9.2732 \times 10^{-21}\) ерг/Гаусс або\(9.2732 \times 10^{-24}\) Джоуль/Тесла. Цей фактор допоможе вам співвідносити магнітні поля, виміряні в Гаусс або Тесла, з енергіями, виміряними в ергах або джоулах, для будь-якої частинки з зарядом і масою, такими ж, як електрон.
Рівняння\ ref {8.4.13} демонструє, що\(m_l\) квантове число виродження атома водню видаляється зовнішньо застосованим магнітним полем. Наприклад, три атома водню мають власні стани\(|\psi _{211} \rangle\)\(|\psi _{21-1} \rangle\), і\(|\psi _{210} \rangle \) вироджуються в нульовому магнітному полі, але мають різну енергію в зовнішньо застосованому магнітному полі (Рисунок Template:index).
\(m_l = 0\)Стан, для якого складова моменту моменту, а отже, і магнітний момент у напрямку зовнішнього поля дорівнює нулю, не відчуває взаємодії з магнітним полем. \(m_l = +1\)Стан, для якого кутовий імпульс в z-напрямку дорівнює+, а магнітний момент знаходиться в протилежному напрямку, проти поля, відчуває підвищення енергії в присутності поля. Підтримувати магнітний диполь проти напрямку зовнішнього поля схоже на утримання невеликого стрижневого магніту з його полюсами, вирівняними прямо протилежно полюсам великого магніту. Це більш висока енергетична ситуація, ніж коли магнітні моменти вирівнюються один з одним.
Електронний спін і експеримент Штерна-Герлаха
Щоб відкрити для себе нове, експериментатори іноді повинні досліджувати нові області, незважаючи на протилежні теоретичні прогнози. Наша теорія атома водню на даний момент не дає підстав шукати поглинання в мікрохвильовій області спектра. Виконуючи божевільний експеримент, описаний вище, ми виявили, що коли електрон знаходиться в\(|1s \rangle\) орбіталі атома водню, є два різних стани, які мають однакову енергію. При застосуванні магнітного поля це виродження видаляється, і мікрохвильове випромінювання може викликати переходи між двома станами. В іншій частині цього розділу ми бачимо, що можна зробити з цього експериментального спостереження. Цей експеримент насправді може бути проведений за допомогою спектрометрів електронного спінового резонансу, доступних сьогодні (Рисунок Template:index). Щоб пояснити наші спостереження, нова модель атома водню. Наша оригінальна модель атома водню враховувала рух електрона та протона в нашому тривимірному світі; нова модель потребує чогось іншого, що може спричинити додатковий ефект, подібний Зееману. Нам потрібна заряджена частинка з кутовим імпульсом, щоб створити магнітний момент, подібний до того, що отримується орбітальним рухом електрона. Ми можемо постулювати, що наше спостереження є результатом руху електрона, який не розглядався в останньому розділі - електронний спін. У нас на осі обертається заряджена частинка. Потім ми маємо заряд, що рухається по колу, кутовий момент і магнітний момент, який взаємодіє з магнітним полем і дає нам ефект, подібний Зееману, який ми спостерігали (Рисунок Template:index).
У 1920 році Отто Стерн і Вальтер Герлах розробили експеримент, який ненавмисно призвів до відкриття, що електрони мають свій індивідуальний, безперервний спін, навіть коли вони рухаються по своїй орбіталі атома. Сьогодні цей спін електронів позначається четвертим квантовим числом, також відомим як квантове число електронного спіна і позначається символом\(m_s\). У 1925 році Семюель Гудсміт і Джордж Уленбек висловили твердження, що особливості водневого спектра, які були недосліджені, можуть пояснюватися, припускаючи, що електрони діють так, ніби він має спін, який може бути позначений стрілкою вгору, яка становить +1/2, або стрілка, спрямована вниз, що становить -1/2. Експеримент Штерна і Герлаха, який продемонстрував це, був проведений за допомогою пучка випарованих атомів срібла, які розкололися на два пучки після проходження через магнітне поле (Рисунок Template:index). Пояснення цьому полягає в тому, що електрон має магнітне поле завдяки своєму спина. Коли електрони, які мають протилежні спини, зібрані разом, немає чистого магнітного поля, оскільки позитивні та негативні спини скасовують один одного. Атом срібла, використаний в експерименті, має загалом 47 електронів, 23 з одного типу спіна і 24 протилежного. Оскільки електрони одного і того ж спина скасовують один одного, один непарний електрон в атомі визначить спін.
Спін-власні стани та власні значення
Щоб описати спін електронів з квантової механічної точки зору, ми повинні мати спінові хвильові функції та спінові оператори. Властивості спінових станів виведені з експериментальних спостережень та за аналогією з нашою обробкою станів, що виникають внаслідок орбітального кутового імпульсу електрона. Важливою особливістю спінінгового електрона є спіновий кутовий вектор імпульсу, який ми позначимо\(S\) за аналогією з орбітальним кутовим імпульсом\(L\). Визначено оператори спінового моменту з тими ж властивостями, які ми знайшли для операторів обертального та орбітального кутового імпульсу. Адже момент імпульсу - це мотовий момент, незалежно від того, орбітальний він або спіновий в природі.
Ми виявили, що
\[ \hat {L}^2 | Y^{m_l} _l \rangle = l(l + 1) \hbar^2 | Y^{m_l}_l \rangle \label {8.4.1} \]
так за аналогією для спінових станів, ми повинні мати
\[ \hat {S}^2 | \sigma ^{m_s} _s \rangle = s( s + 1) \hbar ^2 | \sigma ^{m_s}_s \rangle \label {8.4.2} \]
де спінова\(\sigma\) хвильова функція з квантовими числами\(s\) і\(m_s\) яка підпорядковується тим же правилам, що і квантові числа\(l\) і\(m_l\) пов'язані зі сферичною гармонічною хвильовою функцією\(Y\). Ми також знайшли проект орбітального моменту моменту на осі z
\[ \hat {L}_z | Y^{m_l}_l \rangle = m_l \hbar | Y^{m_l}_l \rangle \label {8.4.3} \]
тому за аналогією у нас повинна бути подібна проекція для спінового моменту моменту:
\[ \hat {S}_z | \sigma ^{m_s}_s \rangle = m_s \hbar | \sigma ^{m_s}_s \rangle \label {8.4.4} \]
Оскільки\(m_l\) діапазони в цілих кроках від\(-l\) до\(+l\), також за аналогією\(m_s\) варіюється в цілих кроках від\(-s\) до\(+s\). У нашому гіпотетичному експерименті ми спостерігали один перехід поглинання, що означає, що є два спінові стани. Отже, два значення\(m_s\) повинні бути\(+s\) і\(-s\), а різниця в\(m_s\) для двох станів, маркованих f і i нижче, повинна бути найменшим цілим кроком, тобто 1. Результатом такої логіки є те, що
\[\begin{align} m_{s,f} - m_{s,i} &= 1 \nonumber\\[4pt] (+s) - (-s) &= 1 \nonumber\\[4pt] 2s &= 1 \nonumber\\[4pt] s &= \dfrac {1}{2} \label {8.4.5} \end{align} \]
Тому наш висновок полягає в тому, що величина спінового квантового числа дорівнює 1/2, а значення для\(m_s\) - +1/2 і -1/2. Два спінові стану відповідають обертанню за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки з позитивною та негативною проекціями кутового моменту обертання на вісь z (Рисунок Template:index). Називається стан з позитивною проекцією,\(m_s\) = +1/2\(\alpha\); інше називається\(\beta\). Ці спінові стани довільно\(\alpha\) позначені і\(\beta\), і пов'язані спінові хвильові функції також позначаються\(|\alpha \rangle \) і\(| \beta \rangle\).
З\(\ref{8.4.4}\) Рівняння величина z-складової спінового кутового моменту\(S_z\), задається
\[S_z = m_s \hbar \label {8.4.6} \]
так що значення\(S_z\)\(+ħ/2\) для спина стану\(\alpha\) і\(-ħ/2\) для спина стану\(\beta\). Звідси робимо висновок, що\(\alpha\) спіновий стан, де магнітний момент вирівняний по відношенню до напрямку зовнішнього поля, має більшу енергію, ніж\(\beta\) спіновий стан.
Гіпотетична поверхня електрона повинна була б рухатися швидше, ніж швидкість світла, щоб він обертався досить швидко, щоб створити спостережуваний кутовий імпульс. Отже, електрон - це не просто обертається куля або кільце, а електронний спін, як видається, є внутрішнім кутовим моментом частинки, а не наслідком обертання частинки заряду, як підказує Рисунок Template:index. Незважаючи на це, термін «електронний спін» зберігається в квантовому просторіччі.
Незважаючи на те, що ми не знаємо їх функціональних форм, спінові хвильові функції приймаються нормалізованими та ортогональними один до одного.
\[ \int \alpha ^* \alpha \,d \tau _s = \int \beta ^* \beta \,d \tau _s = 1 \label {8.4.7a} \]
або в позначеннях кронштейнів
\[ \langle \alpha | \alpha \rangle = \langle \beta | \beta \rangle =1 \label{8.4.7b} \]
і
\[ \int \alpha ^* \beta\, d \tau _s = \int \beta ^* \alpha\, d \tau _s = 0 \label {8.4.8a} \]
або в позначеннях кронштейнів
\[ \langle \alpha | \beta \rangle = \langle \alpha | \beta \rangle = 0 \label{8.4.8b} \]
де інтеграл знаходиться над змінною спіна\(\tau _s\).
Тепер давайте застосуємо ці відрахування до експериментальних спостережень у нашому гіпотетичному мікрохвильовому експерименті на малюнку Template:index. Ми можемо врахувати частоту переходу (\(\nu\)= 28 гігагерц), яка спостерігалася в цьому гіпотетичному експерименті з точки зору магнітного моменту обертається електрона і напруженості магнітного поля. Енергія фотонів\(h \nu\),, дається різницею між енергіями двох станів,\(E_{\alpha}\) і\(E_{\beta}\)
\[\begin{align} \Delta E &= h \nu \\[4pt] &= E_{\alpha} - E_{\beta} \label {8-49}\end{align} \]
Енергії цих двох станів складаються з суми енергії електрона в 1с орбіталі, і енергії\(E_{1s}\), обумовленої взаємодією спінового магнітного дипольного моменту електрона\(\mu _s\), з магнітним полем,\(B\).
Два стани з різними значеннями спінового магнітного моменту\(\mu _s\) позначаються індексами\(\alpha\) і\(\beta\) (спінова версія Equation\ ref {8.4.0}.
\[ \begin{align} E_{\alpha} &= E_{1s} - \mu _{s,\alpha} \cdot B \label {8-50} \\[4pt] E_{\beta} &= E_{1s} - \mu _{s,\beta} \cdot B \label {8-51} \end{align} \]
Підставляючи два рівняння вище у вираз для фотона (Equation\ ref {8-49}) енергія дає
\[\begin{align} h \nu &= E_{\alpha} - E_{\beta} \\[4pt] &= (E_{1s} - \mu _{s, \alpha} \cdot B) - (E_{1s} - \mu_{s,\beta} \cdot B) \label {8-52} \\[4pt] &= ( \mu _{s, \beta} - \mu _{s, \alpha}) \cdot B \label{8-53} \end{align} \]
Знову ж таки, за аналогією з орбітальним моментом і магнітним моментом, розглянутим вище, ми приймаємо спіновий магнітний диполь кожного спінового стану\(\mu _{s, \beta}\),\(\mu _{s, \alpha}\) і, щоб бути пов'язаним із загальним кутовим імпульсом обертання кожного стану,\(S_{\alpha}\) і\(S_{\beta}\), за постійним спіновим гіромагнітним співвідношенням \(\gamma _s\), Як показано нижче.
\[ \mu _s = \gamma _s S \nonumber \]
або кожне з двох держав
\[\mu _{s, \alpha} = \gamma _s S_\alpha \nonumber \]
\[\mu _{s, \beta} = \gamma _s S_\beta \label {8-54} \]
При визначеному напрямі магнітного поля скалярний добуток в Equation\ ref {8-53} стає добутком z-складових спінових кутових моментів,\(S_{z, \alpha}\) а\(S_{z, \beta}\), з зовнішнім магнітним полем.\(z\)
Вставка значень для\(S_{z,\alpha} = +\dfrac {1}{2} \hbar \) та\( S_{z, \alpha} = -\dfrac {1}{2} \hbar\) з Рівняння\ ref {8.4.6} та перестановка рівняння\ ref {8-53} дає
\[ \dfrac {h \nu}{B} = - \gamma _s \hbar \label {8-56} \]
Розрахунок коефіцієнта\(\dfrac {h \nu}{B}\) з наших експериментальних результатів\(B = 10^4\, gauss\),\(\nu = 28 \times 10^9\, Hz\) коли, дає нам значення для
\[- \gamma_s \hbar = 18.5464 \times 10^{-21}\, erg/gauss. \nonumber \]
Це значення приблизно вдвічі перевищує магнетон Бора\(-\gamma _e \hbar \), що знаходиться в Equation\ ref {8.4.14}\(\gamma _s \hbar = 2.0023, \gamma _e \hbar\), тобто, або
\[\gamma _s = 2.0023 \gamma _e \label {8-57} \]
Коефіцієнт 2,0023 називається g-фактором і становить відхилення спінового гіромагнітного відношення від величини, очікуваної для орбітального руху електрона. Іншими словами, це пояснює спіновий перехід, який спостерігається там, де він знаходиться, а не де було б, якби однакове співвідношення між магнітним моментом і кутовим імпульсом утримується як для орбітальних, так і для спінових рухів. Значення 2.0023 відноситься до вільно обертається електрону; зв'язок спінового і орбітального руху електронів може видавати інші значення для\(g\).
Провести розрахунки, які показують, що g-фактор для електронного спіна дорівнює 2.0023.
Цікаво, що концепція спіна електронів і значення g = 2.0023 логічно випливають з релятивістської квантової теорії Дірака, яка виходить за рамки цієї дискусії. Електронний спін був введений тут як постулат для пояснення експериментальних спостережень. Вчені часто вводять подібні постулати паралельно розробці теорії, з якої властивість природно виводиться.