4: Деякі важливі інструменти теорії
- Page ID
- 18882
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Цілі навчання
У цьому розділі ви повинні були дізнатися про наступні речі:
- Теорія збурень Релей-Шредінгера з кількома прикладами застосувань.
- Варіаційний метод оптимізації тріал-хвильових функцій.
- Використання точкової групової симетрії.
- Зазалежна від часу теорія збурень, насамперед для синусоїдальних збурень, характерних для електромагнітного випромінювання.
Для всіх, крім самих елементарних задач, багато з яких служать фундаментальними наближеннями до реальної поведінки молекул (наприклад, гідрогенного атома, гармонічного осцилятора, жорсткого ротора, частинок в коробках), рівняння Шредінгера не може бути вирішене точно. Тому надзвичайно корисно мати інструменти, які дозволяють наблизитися до цих нерозв'язних задач шляхом вирішення інших рівнянь Шредінгера, яким можна довіряти розумно описати розв'язки неможливої задачі. Підходи, розглянуті в цьому розділі, є найважливішими інструментами цього типу.
- 4.1: Теорія збурень
- У більшості практичних застосувань квантової механіки до молекулярних проблем стикається з суворою реальністю, що рівняння Шредінгера, що стосується цієї проблеми, не може бути точно вирішено. Щоб проілюструвати, наскільки відчайдушною є ця ситуація, я зауважу, що жодне з наступних двох рівнянь Шредінгера ніколи не було точно вирішено (тобто аналітично):
- 4.2: Варіаційний метод
- Інший метод, який використовується для розв'язання рівнянь Шредінгера приблизно, варіаційний метод. У такому підході потрібно знову мати якусь розумну хвильову функцію ψ (0), яка використовується для наближення істинної хвильової функції. У межах цієї наближеної хвильової функції вбудовується одна або кілька змінних, які згодом змінюються для досягнення мінімуму енергії ψ (0), обчисленої як очікуване значення істинного гамільтоніана H.
- 4.3: Лінійний варіаційний метод
- Інший метод, який використовується для розв'язання рівнянь Шредінгера приблизно, варіаційний метод. У такому підході потрібно знову мати якусь розумну хвильову функцію ψ (0), яка використовується для наближення істинної хвильової функції. У межах цієї наближеної хвильової функції вбудовується одна або кілька змінних, які згодом змінюються для досягнення мінімуму енергії ψ (0), обчисленої як очікуване значення істинного гамільтоніана H.