6.S: Вібраційні стани (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18430

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Q6.1

Продемонструйте для одного або двох випадків, що хвильові функції гармонічного осцилятора утворюють ортонормальний набір.

Q6.2

Показати, що поведінка гармонічного осцилятора для стану v = 0 узгоджується з принципом невизначеності Гейзенберга шляхом обчислення добутку стандартних відхилень для переміщення та імпульсу, тобто\(\sigma _Q \sigma _P\). Ви можете висловити з\(\sigma _Q \sigma _P\) точки зору<Q>,

,<Q2>, і<p2>.

Q6.3

Виконайте наступне:

Для v = 0 коливань HF, HCl і HBr обчислюють стандартні відхилення для переміщень від рівноваги. Коливальні частоти задаються 4139, 2886 і 2559\(cm^{-1}\).
Використовують стандартне відхилення у зміщенні, а також класичне максимально можливе переміщення (\(Q_0\)) для характеристики амплітуди коливань основного стану та порівняння цих величин з оцінкою довжин зв'язків у цих молекулах, отриманих з атомних ковалентних радіусів для H (37 pm), F (72) вечора), Cl (99 вечора), і Br (114 вечора).
Який відсоток початкової довжини зв'язку є цими характерними зміщеннями? Чи значно змінюється ця довжина зв'язку під час вібрації?
Які молекулярні властивості визначають амплітуду коливань? Як залежить амплітуда коливань від цих властивостей?
Поясніть відмінності коливальних амплітуд для цих трьох молекул.

Q6.4

Виконайте наступне:

Використовуйте модель гармонічного осцилятора для опису вібрації азоту та підготуйте графік Mathcad, що показує функцію потенційної енергії. Частота коливань задається 2360\(cm^{-1}\).
Відзначте енергію стану v = 8 на своєму графіку потенційної енергії горизонтальною лінією. Підготуйте ще один графік, що показує хвильову функцію гармонічного генератора v = 8 та функцію щільності ймовірності.
На обох графіках відзначте класичну межу зміщення осцилятора з енергією в (b) від його положення рівноваги.
Опишіть ймовірність знаходження осцилятора на різних відстанях від положення рівноваги. Чим квантовий механічний осцилятор відрізняється від класичного осцилятора в цьому плані?

Q6.5

Виконайте наступне

Чи з'являються небажані смуги через кисень, азот, воду та вуглекислий газ у повітрі в інфрачервоних спектрах хімічних зразків?
Скільки нормальних режимів існує\(H_2O\)? Скільки з них інфрачервоні активні?
Скільки нормальних режимів і інфрачервоних активних режимів існує\(CO_2\)?
Перегляньте коливальні частоти води та вуглекислого газу в бібліотечних книгах зі спектроскопії та зробіть ескізи інфрачервоних спектрів низької роздільної здатності, які ви очікуєте. Включіть обертон, комбінацію та гарячі смуги. Ключовими посиланнями на молекулярні коливання є Молекулярні вібрації Вілсона, Деціуса та Крос-та Інфрачервоні та Раманові спектри Герцберга.

Q6.6

Виконайте наступне:
1. Порівняйте потенціали та хвильові функції для гармонічного осцилятора та частинки в коробці. Підсумуйте подібності та відмінності.
2. Чи є правило вибору гармонічного осцилятора Δv = ± 1 майже або приблизно вірно також для частинки в коробці?
3. Чому ви очікуєте, що це правило вибору буде приблизно дійсним або повністю не вдасться для частинки в коробці?

Q6.7

Ще одна модель, яка часто застосовується до молекул, - це генератор Морзе. Потенційна енергія для генератора Морзе має наступний вигляд:

\[V(x) = D_e (1 - e^{-\beta x})^2,\]

де х - зміщення осцилятора з положення його рівноваги,\(D_e\) і\(\beta\) є константами або параметрами.

При якому значенні\(x\) становить\(V(x)\) мінімум?
Що таке,\(V(x)\) коли\(x\) стає дуже великим?
Що відбувається з тим\(V(x)\), як\(x\) стає великим негативним числом?
На основі ваших відповідей на\(a\)\(b\), і\(c\), ескіз графіка\(V(x)\) проти\(x\).
З вашого графіка визначте параметр у потенціалі Морзе, який ви б назвали енергією рівноваги дисоціації.
Чим енергія дисоціації рівноваги в потенціалі Морзе відрізняється від фактичної енергії дисоціації зв'язку при 0 К?
Позначте, використовуючи стрілки та мітки, енергію дисоціації рівноваги та енергію дисоціації зв'язку на вашому графіку.
Розгорніть\(V(x)\) у степеневому ряду і покажіть, що постійна сили для відповідного гармонійного потенціалу задана\(k = 2D_e \beta ^2\).
Параметри\(D_e\) і в\(\beta\) цілому оцінюються для конкретних молекул з спостережуваних коливальних частот. Використовуючи значення, отримані для HCl (\(D_e = 7.31 \times 10^{-19}\)J,\(\beta\) =\(1.82 \times 10^{10} m^{-1}\)), побудуйте на одному графіку як потенціал Морзе, так і гармонічний потенціал для HCl. Створюючи свій сюжет, використовуйте\(x = R - R_e\), де\(R\) знаходиться міжядерне поділ, а Re - рівноважна довжина зв'язку, 127.5 pm.
Які уявлення, особливо щодо ідеї ангармонічності, ви отримуєте, порівнюючи графіки, які ви побудували в попередній частині (вище) потенціалу Морзе та гармонічного потенціалу?

Q6.8

Намалюйте подвійний потенціал свердловини для водневого зв'язку, знайденого між киснем та азотом у базовій парі ДНК G-C. На якій стороні діаграми знаходиться азот? Намалюйте хвильову функцію з v = 0 для N-протонного зв'язку. Намалюйте продовження хвильової функції в заборонену область і далі в кисневу сторону зв'язку. Як ви думаєте, як буде виглядати хвильова функція на кисневій стороні зв'язку? Використовуйте відносні амплітуди, передбачені розподілом ймовірностей для хвильової функції, щоб передбачити ймовірність знаходження протона на кисневій стороні водневого зв'язку. Якщо подвійна нитка ДНК відокремилася саме в той момент, коли протон знаходився на кисневій стороні молекули, і ця ситуація була стабільною протягом періоду часу, який довший, ніж потрібно для більшості біохімічних реакцій, які можуть бути наслідки для реплікації або транскрипції за допомогою цієї мутованої нитки ДНК? Можливо, вам доведеться переглянути деякі біохімії, особливо структури пар основ, пов'язаних з воднем, щоб завершити цю проблему.

{Шаблони.Zielinski ()}}