1.8: Вимірювання та значні цифри

Last updated
Save as PDF

Page ID: 21785

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Визначте кількість значущих цифр у повідомленому значенні.
Застосовуйте поняття значущих цифр, щоб обмежити вимірювання належною кількістю цифр.
Визнати кількість значущих цифр в заданій кількості.

Вчені встановили певні умовності для передачі ступеня точності вимірювання, яка залежить від використовуваного вимірювального приладу. Уявіть, наприклад, що ви використовуєте метрпаличку для вимірювання ширини столу. Сантиметри (см), зазначені на метріпалиці, підкажуть, скільки сантиметрів шириною таблиця. Багато метрівпалички також мають маркування для міліметрів (мм), тому ми можемо виміряти таблицю до найближчого міліметра. Більшість метрових паличок не мають менших (або більш точних) маркувань, тому ви не можете повідомити про виміряну ширину таблиці точніше, ніж до найближчого міліметра. Однак ви можете оцінити одну минулу найменшу маркування, в даному випадку міліметр, до наступного знака після коми в вимірюванні (рис.\(\PageIndex{1}\)).

Зображення лінійки з позначкою від 0,0 до 2,0 сантиметра, що вимірює об'єкт довжиною 1,4 сантиметра. — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Вимірювання об'єкта до правильної кількості цифр. Скільки цифр слід повідомити для довжини цього об'єкта?

Поняття значущих цифр враховує це обмеження. Значущі цифри вимірюваної величини визначаються як всі цифри, відомі з упевненістю (ті, які позначаються маркуванням на вимірювальному приладі) і перша невизначена, або розрахункова, цифра (одна цифра повз найменшого маркування на вимірювальному приладі). Немає сенсу повідомляти про будь-які цифри після першої невизначеної, тому це остання цифра, повідомлена при вимірюванні. Нулі використовуються, коли це необхідно, щоб розмістити значні цифри в їх правильних позиціях. Таким чином, нулі іноді зараховуються як значні цифри, але іноді використовуються лише як заповнювачі.

«Сиг інжир» - поширена абревіатура для значущих цифр.

Правила визначення значущих цифр

Розглянемо більш ранній приклад вимірювання ширини столу за допомогою метрапалиці. Якщо таблиця вимірюється і повідомляється як ширина 1,357 мм, число 1,357 має чотири значні цифри. 1 (тисячне місце), 3 (сотні місце) і 5 (десятки місце) є певними; передбачається, що 7 (одне місце) були оцінені. Не було б сенсу повідомляти про таке вимірювання, як 1,357,0 (п'ять Sig Figs) або 1 357,00 (шість Sig Figs), оскільки це припускало б, що вимірювальний прилад зміг визначити ширину до найближчої десятої або сотої частки міліметра, коли насправді він показує лише десятки міліметрів і, отже, ті місця оцінювали.

З іншого боку, якщо вимірювання повідомляється як 150 мм, 1 (сотні) та 5 (десятки), як відомо, є значними, але як ми знаємо, чи є нуль чи не є значним? Вимірювальний прилад міг мати позначки, що вказують кожні 100 мм, або позначки, що вказують кожні 10 мм. Як визначити, чи нуль є значущим (розрахункова цифра), або якщо 5 є значущим, а нуль - заповнювачем значення?

Правила вирішення того, які цифри в вимірюванні є значущими, такі:

Правило 1: Усі ненульові цифри у вимірюванні є значними.

237 має три значущі цифри.
1.897 має чотири значущі цифри.

Правило 2: Нулі, що з'являються між іншими ненульовими цифрами (тобто «середні нулі»), завжди є значними.

39 004 має п'ять значущих цифр.
5.02 має три значущі цифри.

Правило 3: Нулі, які з'являються перед усіма ненульовими цифрами, називаються провідними нулями. Провідні нулі ніколи не є значними.

0,008 має одну істотну цифру.
0.000416 має три значущі цифри.

Правило 4: Нулі, які з'являються після всіх ненульових цифр, називаються кінцевими нулями. Число з кінцевими нулями, якому не вистачає десяткової крапки, може бути значним або не може бути значним.

1400 - неоднозначний.
- \(1.4 \times 10^3\)має дві значущі цифри.
- \(1.40 \times 10^3\)три значущі цифри.
- \(1.400 \times 10^3\)має чотири значущі цифри.

Правило 5: Кінцеві нулі в числі з десятковою крапкою є значними. Це вірно, чи виникають нулі до або після коми.

620.0 має чотири значущі цифри.
19.000 має п'ять значущих цифр.

Потрібно підкреслити, що тільки тому, що певна цифра не є значною, не означає, що вона не важлива або що її можна залишити осторонь. Хоча нуль при вимірюванні 140 може не бути значним, значення не може бути просто повідомлено як 14. Незначний нуль функціонує як заповнювач для десяткової крапки. Коли числа записуються в науковому позначенні, це стає більш очевидним. Вимірювання 140 можна записати як\(1.4 \times 10^2\), з двома значними цифрами в коефіцієнті або як\(1.40 \times 10^3\), з трьома значущими цифрами. Число менше одиниці, наприклад 0.000416, може бути записано в науковому позначенні як\(4.16 \times 10^{-4}\), що має 3 значущі цифри. У деяких випадках наукові позначення є єдиним способом правильно вказати правильну кількість значущих цифр. Для того, щоб повідомити про значення 15,000,00 з чотирма значними цифрами, його потрібно було б написати як\(1.500 \times 10^7\).

Точні величини

Коли цифри точно відомі, правила значущої цифри не застосовуються. Це відбувається, коли об'єкти підраховуються, а не вимірюються. Наприклад, в коробці яєць є 12 яєць. Фактичне значення не може бути 11,8 яєць, так як ми підраховуємо яйцеклітини в цілих кількостях. Таким чином, 12 - це точна кількість. Вважається, що точні величини мають нескінченну кількість значущих цифр; важливість цього поняття буде видно пізніше, коли ми почнемо дивитися на те, наскільки значні цифри розглядаються під час розрахунків. Числа у багатьох коефіцієнтах перетворення, особливо для простих одиничних перетворень, також є точними величинами і мають нескінченні значні цифри. У 1 метрі рівно 100 сантиметрів і рівно 60 секунд за 1 хвилину. Ці значення є визначеннями і не є результатом вимірювання.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Наведіть кількість значущих цифр в кожному. Визначте правило для кожного.

5.87
0.031
52.90
00.2001
500
6 атомів

Рішення

Рішення до прикладу, що пояснює, скільки значущих цифр є в кожному числі.
Пояснення	Відповідь
а. всі три числа є значущими (правило 1).	5.87, три значущі цифри
б. провідні нулі не є значущими (правило 3). 3 і 1 є значущими (правило 1)	0,031, дві значущі цифри
c 5, 2 і 9 є значущими (правило 1). Значущим є і кінцевий нуль (правило 5).	52.90, чотири значущі цифри
d Провідні нулі не є значними (правило 3). 2 і 1 є значущими (правило 1), а середні нулі також є значними (правило 2).	00.2001, чотири значущі цифри
е Число неоднозначне. Він міг мати одну, дві або три значущі цифри.	500, неоднозначний
f. 6 - це лічильне число. Підрахувальне число - це точне число.	6, нескінченний

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Наведіть кількість значущих цифр в кожному.

36.7 м
0.006606 с
2,002 кг
306 490 000 осіб
3 800 г

Відповідь a:: три значущі цифри.

Відповідь б:: чотири значущі цифри.

Відповідь c:: чотири значущі цифри.

Відповідь d:: Нескінченне (Точне число)

Відповідь на e:: Неоднозначна, може бути дві, три або чотири значущі цифри.

Резюме

Невизначеність існує у всіх вимірах. На ступінь невизначеності частково впливає якість вимірювального інструменту. Значні цифри дають вказівку на достовірність вимірювання. Правила дозволяють приймати рішення про те, скільки цифр використовувати в будь-якій ситуації.