1.6: Значні цифри

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18027

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Експериментальна робота в наукових лабораторіях, як правило, передбачає вимірювання. Всякий раз, коли ми проводимо вимірювання, ми завжди прагнемо зробити наше значення максимально точним.

Відстань більше 50 мм, остання пронумерована цифра показана перед другою стрілкою. Якщо ми подивимося дуже уважно, то побачимо, що друга стрілка знаходиться приблизно на півдорозі між четвертим і п'ятим поділом після позначки 50 мм. Тому вимірювання більше 54 мм і менше 55 мм і становить близько 54,5 мм. Остання цифра в нашому вимірі обчислюється, але перші дві цифри точні. У будь-якому вимірі, подібному до цього, остання цифра, про яку ви повідомляєте, завжди є орієнтовною цифрою. Якби ми сказали, що вимірювання було 54 мм, це було б неправильно, тому що ми знаємо, що він більший. Якби ми сказали, що вимірювання було 54,5567 мм, це було б нісенітницею, оскільки наша шкала не показує такого ступеня точності. У вимірі в науці розрахункова цифра називається найменш значущою цифрою, а загальна кількість точних цифр плюс розрахункова цифра називається кількістю значущих цифр при вимірюванні. Таким чином, вимір на малюнку, 54,5, має три значущі цифри (3 СФ). Дотримуючись цього правила, ми можемо подивитися на будь-яке виміряне значення і відразу дізнатися точність вимірювання, яке було зроблено. Щоб правильно інтерпретувати кількість значущих цифр у вимірюванні, ми повинні знати, як інтерпретувати вимірювання, що містять нулі. Наприклад, виявлено, що об'єкт має масу 602 мг. Остання цифра (2) оцінюється, а перші дві цифри точні. Тому вимірювання є точним до трьох значущих цифр. Ми також могли б висловити це вимірювання в грамах, використовуючи метричний коефіцієнт перетворення ${\ стиль відображення\ ліворуч ({} ^ {\ text {1 g}}\! \! \ діаґап\! \! {} _ {\ текст {10}} ^ {\ текст {3}} {\ текст {мг}}\;\ право)}}$ , що робить вимірювання 0.00602 g Тепер у нас є три додаткові цифри в нашому числі (називається провідними нулями), але чи є наше число більш точним? Ні; у вимірюванні провідні нулі (нулі, що з'являються перед числом) ніколи не є значними.

Розглянемо інший вимір, нам кажуть, що відстань становить 1700 м Перше, що слід звернути увагу, це число не має десяткової крапки. Це говорить нам про те, що розрахункова цифра в цьому числі - це 7, і що це число має лише дві значні цифри. Останні два нулі в цьому вимірюванні називаються кінцевими нулями; у числах без десяткової крапки кінцеві нулі ніколи не є значними. Якщо ж відстань повідомлялося як 1700.00 м, наявність десяткової крапки означало б, що останній нуль був розрахунковою цифрою (нулі теж можна оцінити) і це число матиме шість значущих цифр. Зазначається, як правило, в числі, що містить десяткову крапку, кінцеві нулі завжди значущі. Ці прості правила тлумачення нулів в вимірах зібрані нижче:

Правила обробки нулів при інтерпретації значущих цифр

У числах з десятковою крапкою

провідні нулі ніколи не є значними
кінцеві нулі завжди значні

У числах без десяткової крапки

кінцеві нулі ніколи не є значними

У всіх номерах

нулі, які з'являються між ненульовими цифрами, завжди значні

Застосовуючи ці правила до деяких прикладів:

117,880 м містить шість значущих цифр; число має десяткову крапку, тому кінцевий нуль є значним.
0.002240 g містить чотири значущі цифри; число має десяткову крапку, тому кінцевий нуль є значним, а провідні нулі - ні.
1 000 100 містить п'ять значущих цифр; число не має десяткової крапки, тому кінцеві нулі не є значними. Нулі між першою та п'ятою цифрами, однак, значні.
6.022 × 10 ²³ містить чотири значущі цифри. У науковому позначенні всі значущі цифри у вимірюванні показані перед показником. (Пам'ятайте про це, коли ви перетворюєте вимірювання в наукові позначення.)

Вправа$\PageIndex{1}$

Визначте кількість значущих цифр в кожному з наступних чисел:

2 057 000
1 250600
9,300 × 10 ^-4
6,05 × 10 ⁴