Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.9: Округлення чисел

  • Page ID
    21775
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Правильно використовуйте значні цифри в арифметичних операціях.

    Округлення

    Перш ніж розібратися зі специфікою правил визначення значущих цифр в розрахунковому результаті, потрібно вміти правильно округлити числа. Щоб округлити число, спочатку вирішите, скільки значущих цифр має мати число. Після того, як ви це знаєте, округліть до цього багато цифр, починаючи з лівого. Якщо число відразу праворуч від останньої значущої цифри менше 5, воно скидається і значення останньої значущої цифри залишається колишнім. Якщо число відразу праворуч від останньої значущої цифри більше або дорівнює 5, остання значуща цифра збільшується на 1.

    Розглянемо вимір\(207.518 \: \text{m}\). Зараз вимірювання містить шість значущих цифр. Як би ми послідовно округлили його до все менших і менших значущих цифр? Дотримуйтесь процесу, як зазначено в табл\(\PageIndex{1}\).

    Кількість значущих цифр Округлене значення міркування
    Таблиця\(\PageIndex{1}\): Приклади округлення
    6 207.518 Всі цифри значущі
    5 207.52 8 раундів від 1 до 2
    4 207.5 2 скидається
    3 208 5 раундів 7 до 8
    2 210 8 замінюється на 0 і округляє 0 до 1
    1 200 1 замінено на 0

    Зверніть увагу, що чим більше округлення, що робиться, тим менш надійна фігура. Приблизного значення може бути достатньо для деяких цілей, але наукова робота вимагає набагато більш високого рівня деталізації.

    Важливо знати про значні цифри, коли ви математично маніпулюєте числами. Наприклад, ділення 125 на 307 на калькуляторі дає 0,4071661238... до нескінченної кількості цифр. Але чи мають цифри в цій відповіді якесь практичне значення, особливо коли ви починаєте з цифр, які мають лише три значущі цифри кожен? При виконанні математичних операцій існує два правила обмеження кількості значущих цифр у відповіді - одне правило призначене для додавання і віднімання, а одне правило - для множення та ділення.

    При операціях, що включають значні цифри, відповідь повідомляється таким чином, що він відображає надійність найменш точної операції. Відповідь не є більш точною, ніж найменш точне число, яке використовується для отримання відповіді.

    Правила розрахунків з виміряними числами

    Як обробляються значні цифри при розрахунках? Це залежить від того, який тип розрахунку виконується.

    Множення і ділення

    Для множення або ділення правило полягає в тому, щоб підрахувати кількість значущих цифр у кожному числі, що множиться або ділиться, а потім обмежити значні цифри у відповіді до найнижчого підрахунку. Приклад виглядає наступним чином:

    38.65 разів 105,93 дорівнює 4094.1954, який слід округлити до 4 sig інжир, оскільки найнижча кількість у числах, що множаться, становить 4 sig інжир

    Остаточна відповідь, обмежена чотирма значущими цифрами, - 4094. Перша скинута цифра дорівнює 1, тому округляємо в більшу сторону.

    Наукова позначення забезпечує спосіб передачі значущих фігур без двозначності. Ви просто включаєте всі значущі цифри в провідне число. Наприклад, число 450 має дві значні цифри і буде записано в науковому позначенні як 4,5 × 10 2, тоді як 450,0 має чотири значні цифри і буде записано як 4.500 × 10 2. У науковому позначенні всі значущі цифри перераховані явно.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Напишіть відповідь на кожен вираз, використовуючи наукові позначення з відповідною кількістю значущих цифр.

    1. 23,096 × 90,300
    2. 125 × 9,000
    Рішення

    a

    Рішення для (а) в прикладі питання.
    Пояснення Відповідь
    Відповідь калькулятора - 2,085.5688, але нам потрібно округлити його до п'яти значущих цифр. Оскільки перша цифра, яку потрібно скинути (на десятому місці) більше 5, округляємо до 2085,6. \(2.0856 \times 10^3\)

    б

    Рішення для (b) в прикладі питання.
    Пояснення Відповідь
    Калькулятор дає 1,125 в якості відповіді, але обмежуємо його трьома значущими цифрами. \(1.13 \times 10^3\)

    Додавання і віднімання

    Якщо обчислення є додаванням або відніманням, правило таке: обмежте повідомлену відповідь крайнім правим стовпцем, щоб всі числа мали спільні значні цифри. Наприклад, якщо потрібно було додати 1,2 і 4,71, відзначимо, що перше число зупиняє свої значні цифри в десятому стовпці, тоді як друге число зупиняє свої значні цифри в стовпі сотих. Тому ми обмежуємо нашу відповідь десятим стовпцем.

    1.2 плюс 4,41 дорівнює 5,61, який слід округлити до десятих стовпців як 5.6

    Ми скидаємо останню цифру - 1 - тому що вона не є важливою для остаточної відповіді.

    Скидання позицій в сумах і різницях піднімає тему округлення. Хоча існує кілька умовностей, в цьому тексті ми візьмемо наступне правило: остаточну відповідь слід округлити в більшу сторону, якщо перша скинута цифра дорівнює 5 або більше, і округлятися в меншу сторону, якщо перша скинута цифра менше 5.

    77.2 плюс 10,46 дорівнює 87,66, який слід округлити до десятих стовпців як 87,7

    Приклад\(\PageIndex{2}\)
    1. 13,77 + 908.226
    2. 1 027 + 611 + 363.06
    Рішення

    a

    Рішення для (а) в прикладі питання.
    Пояснення Відповідь
    Відповідь калькулятора - 921.996, але оскільки 13.77 має свою крайню праву значну цифру в сотих місцях, нам потрібно округлити остаточну відповідь до позиції сотих. Оскільки перша цифра, яку потрібно скинути (на тисячному місці) більше 5, округляємо до 922.00 \(922.00 = 9.2200 \times 10^2\)

    б

    Рішення для (b) в прикладі питання.
    Пояснення Відповідь
    Калькулятор дає 2,001.06 як відповідь, але оскільки 611 та 1027 мають свою найправильнішу значну цифру в одному місці, остаточна відповідь повинна бути обмежена позицією тих. \(2,001.06 = 2.001 \times 10^3\)
    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Напишіть відповідь на кожен вираз, використовуючи наукові позначення з відповідною кількістю значущих цифр.

    1. 217 ÷ 903
    2. 13,77 + 908.226 + 515
    3. 255,0 − 99
    4. 0,00666 × 321
    Відповідь a:
    \(0.240 = 2.40 \times 10^{-1}\)
    Відповідь б:
    \(1,437 = 1.437 \times 10^3\)
    Відповідь c:
    \(156 = 1.56 \times 10^2\)
    Відповідь d:
    \(2.14 = 2.14 \times 10^0\)

    Пам'ятайте, що калькулятори не розуміють значущих цифр. Ви той, хто повинен застосовувати правила значущих цифр до результату з вашого калькулятора

     

    Приклад\(\PageIndex{3}\)
    1. 2 (1.008 г) + 15.99 г
    2. 137.3 с + 2 (35.45 с)
    3. \( {118.7 g \over 2} - 35.5 g \)
    Рішення

    a

    Рішення для (а) в прикладі питання.
    Пояснення Відповідь

    2 (1,008 г) + 15,99 г =

    Спочатку виконайте множення.

    2 (1,008 г 4 знака інжиру) = 2,01 6 г 4 сиг інжиру

    Число з найменшою кількістю значущих цифр - 1,008г; число 2 - точне число і тому має нескінченну кількість значущих цифр.

    Потім виконайте додавання.

    2,01 6 г тисячних місце + 15,9 г сотих місце (найменш точне) = 18,006 г

    Округлюємо остаточну відповідь.

    Навколо остаточної відповіді на соті місця з 15.99 має свою найдальшу праву значну цифру в сотих місцях (найменш точну).

    18.01 г (округлення в більшу сторону)

    б

    Рішення для (b) в прикладі питання.
    Пояснення Відповідь

    137.3 с + 2 (35.45 с) =

    Спочатку виконайте множення.

    2 (35.45 х 4 знак фіг) = 70.90 х 4 знак фіг

    Число з найменшою кількістю значущих цифр - 35,45; число 2 - точне число і тому має нескінченну кількість значущих цифр.

    Потім виконайте додавання.

    137,3 с десяте місце (найменш точне) + 70,90 с сотих місць = 208,20 с

    Округлюємо остаточну відповідь.

    Закінчуємо остаточну відповідь на десяте місце виходячи з 137,3 с.

    208,2 сек

    c

    Рішення для (c) в прикладі питання.
    Пояснення Відповідь

    \( {118.7 g \over 2} - 35.5 g \)=

    Виконайте поділ першим.

    \( {118.7g \over 2} \)4 знака інжиру = 59.35 г 4 знака інжиру

    Число з найменшою кількістю значущих цифр - 118,7г; число 2 - точне число і тому має нескінченну кількість значущих цифр.

    Далі виконайте віднімання.

    59,35 г сотих місць − 35,5 г десяте місце (найменш точне) = 23,85 г

    Округлюємо остаточну відповідь.

    Закінчуємо остаточну відповідь на десяте місце виходячи з 35,5 г.

    23,9 г (округлення в більшу сторону)
    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Завершіть розрахунки і повідомте про свої відповіді, використовуючи правильну кількість значущих цифр.

    1. 5 (1,008 с) - 10,66 с
    2. 99.0 см+ 2 (5.56 см)
    Відповідь на
    -5,62 с
    Відповідь б
    110.2 см

    Резюме

    • Округлення
      • Якщо число, яке потрібно скинути, більше або дорівнює 5, збільште число ліворуч від нього на 1. Наприклад, 2,9699 округлено до трьох значущих цифр - 2,97
      • Якщо число, яке потрібно скинути, менше 5, змін немає. Наприклад 4.00443 округлено до чотирьох sig. рис. дорівнює 4.004
    • Правило в множенні і діленні полягає в тому, що кінцева відповідь повинна мати таку ж кількість значущих цифр, як і в числі з найменшою кількістю значущих цифр.
    • Правило додавання і віднімання полягає в тому, що відповідь дається стільки ж десяткових знаків, що і термін з найменшою кількістю десяткових знаків.