10.3: Функція квантиля

Функція квантилі

Квантильна функція для розподілу ймовірностей має багато застосувань як у теорії, так і в застосуванні ймовірності. Якщо$F$ є функцією розподілу ймовірностей, квантильна функція може бути$F$ використана для «побудови» випадкової величини, яка має функцію розподілу. Цей факт служить основою методу моделювання «вибірки» з довільного розподілу за допомогою генератора випадкових чисел. Крім того, враховуючи будь-який кінцевий клас

$\{X_i: 1 \le i \le n\}$випадкових величин$\{Y_i: 1 \le i \le n\}$ може бути побудовано незалежний клас,$X_i$ причому кожен з них$Y_i$ має однаковий (граничний) розподіл. Квантильні функції для простих випадкових величин можуть бути використані для отримання важливої теореми про наближення Пуассона (яку ми не розробляємо в цій роботі). Квантильна функція використовується для отримання ряду корисних спеціальних форм для математичного очікування.

Загальне поняття — властивості та приклади

Якщо$F$ є функцією розподілу ймовірностей, то асоційована$Q$ квантильна функція по суті є оберненою$F$. Квантильна функція визначається на одиничному інтервалі (0, 1). Для$F$ безперервного і строго збільшення в$t$, потім$Q(u) = t$ iff$F(t) = u$. Таким чином, якщо$u$ є значенням ймовірності,$t = Q(u)$ це значення$t$ для якого$P(X \le t) = u$.

Приклад 10.3.28: Розподіл Вейбулла (3, 2, 0)

$u = F(t) = 1 - e^{-3t^2}$$t \ge 0$$\Rightarrow$$t = Q(u) = \sqrt{-\text{ln } (1 - u)/3}$

Приклад 10.3.29: Нормальний розподіл

M-функція norminv, заснована на MATLAB функції erfinv (обернена функція похибки), обчислює значення$Q$ нормального розподілу.

Обмеження безперервного випадку не є суттєвим. Розглянуто загальне визначення, яке застосовується до будь-якої функції розподілу ймовірностей.

Означення: Якщо$F$ функція має властивості функції розподілу ймовірностей, то квантильна функція для$F$ задається

$Q(u) = \text{inf } \{t: F(t) \ge u\}$$\forall u \in (0, 1)$

Відзначимо

• Якщо$F(t^{*}) \ge u^{*}$, то$t^{*} \ge \text{inf } \{t: F(t) \ge u^{*}\} = Q(u^{*})$
• Якщо$F(t^{*}) < u^{*}$, то$t^{*} < \text{inf } \{t: F(t) \ge u^{*}\} = Q(u^{*})$

Значить, у нас є важлива властивість:

(Q1)$Q(u) \le t$ вимкнено$u \le F(t)$$\forall u \in (0, 1)$

Майно (Q1) має на увазі наступне важливе властивість:

(Q2) Якщо$U$ ~ рівномірний (0, 1), то$X = Q(U)$ має функцію розподілу$F_X = F$. Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що$F_X(t) = P(Q(U) \le t] = P[U \le F(t)] = F(t)$.

Властивість (Q2) має на увазі,$F$ що якщо будь-яка функція розподілу, з квантильної функцією$Q$, то випадкова величина$X = Q(U)$, з$U$ рівномірно розподіленим по (0, 1), має функцію розподілу$F$.

Приклад 10.3.30: Незалежні класи з прописаними розподілами

Припустимо,$\{X_i: 1 \le i \le n\}$ це довільний клас випадкових величин з відповідними функціями розподілу$\{F_i : 1 \le i \le n\}$. $\{Q_i: 1 \le i \le n\}$Дозволяти відповідні квантильні функції. Завжди існує незалежний клас$\{U_i: 1 \le i \le n\}$ iid uniform (0, 1) (маргінали для спільного рівномірного розподілу на одиничному гіперкубі зі сторонами (0, 1)). Потім випадкові величини$Y_i = Q_i (U_i)$$1 \le i \le n$ утворюють незалежний клас з тими ж маргіналами, що і$X_i$.

Може бути встановлено кілька інших важливих властивостей квантильної функції.

Малюнок 10.3.9. Графік квантильної функції з графа функції розподілу,

$Q$ліворуч безперервний, тоді як$F$ право-безперервний.

Якщо стрибки представлені вертикальними відрізками лінії, побудова графіка$u = Q(t)$ може бути отримана наступною двоетапною процедурою:

• Інвертувати всю фігуру (включаючи осі), потім
• Поверніть отриману цифру на 90 градусів проти годинникової стрілки

Це проілюстровано на малюнку 10.3.9. Якщо стрибки представлені вертикальними відрізками лінії, то стрибки йдуть в плоскі відрізки, а плоскі відрізки переходять у вертикальні відрізки.

Якщо$X$ дискретний з ймовірністю$p_i$ при$t_i$$1 \le i \le n$, то$F$ має скачки суми$p_i$ на кожному$t_i$ і постійний між ними. Квантильна функція - це ліво-безперервна крокова функція, що має значення$t_i$ на інтервалі$(b_{i - 1}, b_i]$, де$b_0 = 0$ і$b_i = \sum_{j = 1}^{i} p_j$. Про це можна констатувати

Якщо$F(t_i) = b_i$, то$Q(u) = t_i$ для$F(t_{i - 1}) < u \le F(t_i)$

Приклад 10.2.31: Квантильна функція для простої випадкової величини

Припустимо, проста випадкова величина$X$ має розподіл

$X =$[-2 0 1 3]\ (ПІКС = 0.2 0.1 0,3 0,4]

На малюнку 1 показаний графік функції розподілу$F_X$. Він відбивається на горизонтальній осі, потім обертається проти годинникової стрілки, щоб дати графік$Q(u$ проти$u$.

Малюнок 10.3.10. Розподіл і квантильні функції для Приклад 10.3.31.

Використано наведену вище аналітичну характеристику при розробці ряду m-функцій та m-процедур.

m-процедури для простої випадкової величини

Основою розрахунків квантильної функції для простої випадкової величини є формула вище. Це реалізовано в m-функції dquant, яка використовується як елемент декількох процедур моделювання. Для побудови квантильної функції ми використовуємо dquanplot, який використовує функцію сходів та графіки$X$ проти функції розподілу$FX$. Процедура вибірки використовує квант для отримання «вибірки» з сукупності з простим розподілом і для обчислення відносних частот різних значень.

Приклад 10.3.32: Проста випадкова величина

X =  [-2.3 -1.1 3.3 5.4 7.1 9.8];
PX = 0.01*[18 15 23 19 13 12];
dquanplot
Enter VALUES for X  X
Enter PROBABILITIES for X  PX     % See Figure 10.3.11 for plot of results
rand('seed',0)                 % Reset random number generator for reference
dsample
Enter row matrix of values  X
Enter row matrix of probabilities  PX
Sample size n  10000

    Value      Prob    Rel freq
   -2.3000    0.1800    0.1805
   -1.1000    0.1500    0.1466
    3.3000    0.2300    0.2320
    5.4000    0.1900    0.1875
    7.1000    0.1300    0.1333
    9.8000    0.1200    0.1201
Sample average ex = 3.325
Population mean E[X] = 3.305
Sample variance = 16.32
Population variance Var[X] = 16.33

Малюнок 10.3.11. Квантильна функція для Приклад 10.3.32.

Іноді бажано знати, скільки випробувань потрібно для досягнення певної величини, або одного з набору значень. Пара m-процедур доступні для моделювання цієї проблеми. Перший називається targetset. Він вимагає розподілу населення, а потім позначення «цільового набору» можливих значень. Друга процедура, targetrun, вимагає кількість повторень експерименту і запитує кількість членів цільового набору, яке потрібно досягти. Після того, як прогони зроблені, розраховується і виводиться різна статистика по трасах.

Приклад 10.3.33

X = [-1.3 0.2 3.7 5.5 7.3];     % Population values
PX = [0.2 0.1 0.3 0.3 0.1];     % Population probabilities
E = [-1.3 3.7];                 % Set of target states
targetset
Enter population VALUES  X
Enter population PROBABILITIES  PX
The set of population values is
   -1.3000    0.2000    3.7000    5.5000    7.3000
Enter the set of target values  E
Call for targetrun

rand('seed',0)                  % Seed set for possible comparison
targetrun
Enter the number of repetitions  1000
The target set is
   -1.3000    3.7000
Enter the number of target values to visit  2
The average completion time is 6.32
The standard deviation is 4.089
The minimum completion time is 2
The maximum completion time is 30
To view a detailed count, call for D.
The first column shows the various completion times;
the second column shows the numbers of trials yielding those times
% Figure 10.6.4 shows the fraction of runs requiring t steps or less

Малюнок 10.3.12. Частка пробігів, що вимагають$t$ кроків або менше.

m-процедури для функцій розподілу

Процедура dfsetup використовує функцію розподілу, щоб налаштувати приблизний простий розподіл. Кванплот m-процедури використовується для побудови квантильної функції. Ця процедура, по суті, така ж, як dquanplot, за винятком звичайної функції графіка використовується в неперервному випадку, тоді як функція побудови сходів використовується в дискретному випадку. Для отримання вибірки з популяції використовується m-процедурна вибірка. Оскільки існує так багато можливих значень, вони не відображаються, як у дискретному випадку.

Приклад 10.3.34: Квантильна функція, пов'язана з функцією розподілу

F = '0.4*(t + 1).*(t < 0) + (0.6 + 0.4*t).*(t >= 0)';  % String
dfsetup
Distribution function F is entered as a string
variable, either defined previously or upon call
Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [-1 1]
Enter number of X approximation points  1000
Enter distribution function F as function of t  F
Distribution is in row matrices X and PX
quanplot
Enter row matrix of values  X
Enter row matrix of probabilities  PX
Probability increment h  0.01          % See Figure 10.3.13 for plot
qsample
Enter row matrix of X values  X
Enter row matrix of X probabilities  PX
Sample size n  1000
Sample average ex = -0.004146
Approximate population mean E(X) = -0.0004002     % Theoretical = 0
Sample variance vx = 0.25
Approximate population variance V(X) = 0.2664

Малюнок 10.3.13. Квантильна функція для Приклад 10.3.34.

 

m-процедури для функцій щільності

Для отримання простого приблизного розподілу використовується m- процедура acsetup. Це по суті те ж саме, що і процедура tuappr, за винятком того, що функція щільності вводиться як строкова змінна. Потім використовуються процедури quanplot і qsample, як у випадку функцій розподілу.

Приклад 10.3.35: Квантильна функція, пов'язана з функцією щільності

acsetup
Density f is entered as a string variable.
either defined previously or upon call.
Enter matrix [a b] of x-range endpoints  [0 3]
Enter number of x approximation points  1000
Enter density as a function of t  '(t.^2).*(t<1) + (1- t/3).*(1<=t)'
Distribution is in row matrices X and PX
quanplot
Enter row matrix of values  X
Enter row matrix of probabilities  PX
Probability increment h  0.01               % See Figure 10.3.14 for plot
rand('seed',0)
qsample
Enter row matrix of values  X
Enter row matrix of probabilities  PX
Sample size n  1000
Sample average ex = 1.352
Approximate population mean E(X) = 1.361  % Theoretical = 49/36 = 1.3622
Sample variance vx = 0.3242
Approximate population variance V(X) = 0.3474    % Theoretical = 0.3474

Малюнок 10.3.14. Квантильна функція для Приклад 10.3.35.