10.1: Функції випадкової величини

Вступ

Часто ми спостерігаємо значення якоїсь випадкової величини, але насправді зацікавлені в значенні, отриманому з цього правилом функції. Якщо$X$ є випадковою величиною і$g$ є розумною функцією (технічно, функцією Бореля), то$Z = g(X)$ є нова випадкова величина, яка має значення$g(t)$ для будь-якої$\omega$ такої, що$X(\omega) = t$. Таким чином$Z(\omega) = g(X(\omega))$.

Проблема; підхід

Розглянуто, по-перше, функції однієї випадкової величини. На практиці використовується найрізноманітніші функції.

Приклад 10.1 .1: Проблема контролю якості

При перевірці контролю якості на виробничій лінії для кулькових підшипників може бути простіше зважити кульки, ніж виміряти діаметри. Якщо ми можемо припустити справжню сферичну форму і$w$ є вагою$kw^{1/3}$, то діаметр$k$ - це коефіцієнт, який залежить від формули об'єму сфери, одиниць виміру та щільності сталі. Таким чином,$X$ якщо вага відібраного кулі, то бажана випадкова величина є$D = kX^{1/3}$.

Приклад 10.1.2: Перерви цін

Культурний комітет студентської організації організував спеціальну пропозицію на квитки на концерт. Угода полягає в тому, що організація придбає десять квитків по 20 доларів кожен (незалежно від кількості окремих покупців). Додаткові квитки доступні за наступним розкладом:

• 11-20, $18 кожен
• 21-30, $16 кожен
• 31-50, $15 кожен
• 51-100, $13 кожен

Якщо кількість покупців є випадковою величиною$X$, загальна вартість (у доларах) - це випадкова величина,$Z = g(X)$ описана

$g(X) = 200 + 18 I_{M1} (X) (X - 10) + (16 - 18) I_{M2} (X) (X - 20)$

$+ (15 - 16) I_{M3} (X) (X - 30) + (13 - 15) I_{M4} (X) (X - 50)$

де$M1 = [10, \infty)$,$M2 = [20, \infty)$,$M3 = [30, \infty)$,$M4 = [50, \infty)$

Правило функції складніше, ніж у прикладі 10.1.1, але суттєва проблема така ж.

проблема

Якщо$X$ є випадковою величиною, то$Z = g(X)$ це нова випадкова величина. Припустимо, у нас є дистрибутив для$X$. Як ми можемо визначити$P(Z \in M)$, що ймовірність$Z$ приймає значення в множині$M$?

Підхід до вирішення

Розглядаємо два рівнозначних підходу

Щоб знайти$P(X \in M)$.

1. Картографічний підхід. Просто знайдіть кількість маси ймовірності, відображеної у множині$M$ випадковою величиною$X$.
   • У абсолютно безперервному випадку розрахуйте$\int_{M} f_X$.
   • У дискретному випадку визначте ті$t_i$ значення$X$ яких є в множині$M$ і додайте пов'язані з ними ймовірності.
2. Дискретна альтернатива. Розглянемо$t_i$ кожне значення$X$. Виберіть ті, які відповідають визначальним умовам,$M$ і додайте пов'язані з ними ймовірності. Саме такий підхід ми використовуємо в розрахунках MATLAB. Зверніть увагу, що геометрично описувати множину необов'язково$M$; просто використовуйте визначальні умови.

Знайти$P(g(X) \in M)$.

1. Картографічний підхід. Визначте$N$ множину всіх тих t, які$M$ відображені функцією$g$. Тепер якщо$X(\omega) \in N$, то$g(X(\omega)) \in M$, і якщо$g(X(\omega)) \in M$, то$X(\omega) \in N$. Звідси

   $\{\omega: g(X(\omega)) \in M\} = \{\omega: X(\omega) \in N\}$

Оскільки це одна і та ж подія, вони повинні мати однакову ймовірність. Після того, як$N$ виявлено, визначте$P(X \in N)$ в звичайному порядку (див. Частина а, вище).

• Дискретна альтернатива. Для кожного$t_i$ можливого значення$X$, визначити, чи$g(t_i)$ відповідає визначальна умова для$M$. Виберіть ті$t_i$, які роблять, і додайте пов'язані ймовірності.

— □

Зауваження. Безліч$N$ в картографічному підході називається зворотним зображенням.$N = g^{-1} (M)$

Приклад 10.1.3: Дискретний приклад

Припустимо,$X$ має значення -2, 0, 1, 3, 6, з відповідними ймовірностями 0,2, 0,1, 0,2, 0,3 0,2.

Розглянемо$Z = g(X) = (X + 1) (X - 4)$. Визначте$P(Z > 0)$.

Рішення

Перше рішення. Картографічний підхід

$g(t) = (t + 1) (t - 4)$. $N = \{t: g(t) > 0\}$ множина точок зліва від —1 або праворуч від 4. $X$Значення -2 і 6 лежать у цьому наборі. Звідси

$P(g(X) > 0) = P(X = -2) + P(X = 6) = 0.2 + 0.2 = 0.4$

Друге рішення. Дискретна альтернатива

Х =	-2	0	1	3	6
Р Х =	0.2	0.1	0.2	0.3	0.2
Z =	6	-4	-6	-4	14
Z > 0	1	0	0	0	1

Виділивши і додаючи зазначені ймовірності, ми маємо

$P(Z > 0) = 0.2 + 0.2 = 0.4$

У цьому випадку (а часто і для «ручних розрахунків») картографічний підхід вимагає меншого розрахунку. Однак для розрахунків MATLAB (як ми показуємо нижче) більш легко реалізується дискретна альтернатива.

Приклад 10.1.4. Абсолютно безперервний приклад

Припустимо$X$ ~ рівномірний [—3,7]. Потім$f_X(t) = 0.1$,$-3 \le t \le 7$ (і нуль в іншому місці). Нехай

$Z = g(X) = (X + 1) (X - 4)$

Визначте$P(Z > 0)$.

Рішення

Спочатку визначаємося$N = \{t: g(t) > 0\}$. Як у прикладі 10.1.3,$g(t) = (t+ 1) (t - 4) > 0$ для$t < -1$ або$t > 4)$. Через рівномірний розподіл інтеграл щільності на будь-якому підінтервалі$\{X, Y\}$ в 0,1 рази перевищує довжину цього субінтервалу. Таким чином, бажана ймовірність

$P(g(X) > 0) = 0.1 [(-1 - (-3)) + (7 - 4)] = 0.5$

Розглянемо далі кілька важливих прикладів.

Приклад 10.1.5: Нормальний розподіл та стандартизований нормальний розподіл

Щоб показати, що якщо$X$ ~$N(\mu, \sigma^2)$ то

$Z = g(X) = \dfrac{X - \mu}{\sigma} ~ N(0, 1)$

ПЕРЕВІРКА

Ми хочемо показати функцію щільності для$Z$ is

$\varphi (t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}$

Зараз

$g(t) = \dfrac{t - \mu} {\sigma} \le v$іфф$t \le \sigma v + \mu$

Отже, для даного$M = (-\infty, v]$ зворотного зображення є$N = (-\infty, \sigma v + \mu]$, так що

$F_Z (v) = P(Z \le v) = P(Z \in M) = P(X \in N) = P(X \le \sigma v + \mu) = F_X (\sigma v + \mu)$

Оскільки щільність є похідною від функції розподілу,

$f_Z(v) = F_{Z}^{'} (v) = F_{X}^{'} (v) = F_{X}^{'} (\sigma v + \mu) \sigma = \sigma f_X (\sigma v + \mu)$

Таким чином

$f_Z (v) = \dfrac{\sigma}{\sigma \sqrt{2\pi}} \text{exp} [-\dfrac{1}{2} (\dfrac{\sigma v + \mu - \mu}{\sigma})^2] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-v^2/2} = \varphi(v)$

Ми робимо висновок, що$Z$ ~$N(0, 1)$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Припустимо$X$, має функцію розподілу$F_X$. Якщо він абсолютно суцільний, відповідна щільність дорівнює$f_X$. Розглянемо$Z = aX + b$. Тут$g(t) = at + b$ афінна функція (лінійна плюс константа). Визначте функцію розподілу для$Z$ (і щільність в абсолютно безперервному випадку).

Рішення

$F_Z (v) = P(Z \le v) = P(aX + b \le v)$

Є два випадки

• $a$> 0:

  $F_Z (v) = P(X \le \dfrac{v - b}{a}) = F_X (\dfrac{v - b}{a})$

• $a$< 0

  $F_Z (v) = P(X \ge \dfrac{v - b}{a}) = P(X > \dfrac{v - b}{a}) + P(X = \dfrac{v - b}{a})$

Так що

$F_Z (v) = 1 - F_X (\dfrac{v - b}{a}) + P(X = \dfrac{v - b}{a})$

Для абсолютно безперервного випадку$P(X = \dfrac{v - b}{a}) = 0$, і шляхом диференціації

• для$a > 0$$f_Z (v) = \dfrac{1}{a} f_X (\dfrac{v - b}{a})$
• для$a < 0$$f_Z (v) = -\dfrac{1}{a} f_X (\dfrac{v - b}{a})$

Оскільки для$a < 0$$-a = |a|$, два випадки можуть бути об'єднані в одну формулу.

$f_Z (v) = \dfrac{1}{|a|} f_X (\dfrac{v-b}{a})$

Приклад 10.1.7: Завершення нормальних та стандартизованих нормальних відносин

Припустимо$Z$ ~$N(0, 1)$. показати, що$X = \sigma Z + \mu$ ($\sigma > 0$) є$N(\mu, \sigma^2)$.

ПЕРЕВІРКА

Використання результату Прикладу 10.1.6 на афінних функціях показує, що

$f_{X} (t) = \dfrac{1}{\sigma} \varphi (\dfrac{t - \mu}{\sigma}) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \text{exp} [-\dfrac{1}{2} (\dfrac{t - \mu}{\sigma})^2]$

Приклад 10.1.8: Дробовий ступінь невід'ємної випадкової величини

Припустимо$X \ge 0$ і$Z = g(X) = X^{1/a}$ для$a > 1$. Оскільки для$t \ge 0$,$t^{1/a}$ збільшується, у нас є$0 \le t^{1/a} \le v$ iff$0 \le t \le v^{a}$. Таким чином

$F_Z (v) = P(Z \le v) = P(X \le v^{a}) = F_X (v^{a})$

У абсолютно суцільному випадку

$f_Z (v) = F_{Z}^{'} (v) = f_X (v^{a}) a v^{a - 1}$

Приклад 10.1.9: Дробова сила експоненціально розподіленої випадкової величини

Припустимо,$X$ ~ експоненціальна ($\lambda$). Потім$Z = X^{1/a}$ ~ Вейбулл$(a, \lambda, 0)$.

Згідно з результатом Прикладу 10.1.8,

$F_Z(t) = F_X (t^{a}) = 1- e^{-\lambda t^{a}}$

яка є функцією розподілу для$Z$ ~ Weibull$(a, \lambda, 0)$.

Приклад 10.1.10: Просте наближення як функція X

Якщо$X$ є випадковою величиною, може бути побудовано просте наближення функції (див. Наближення розподілу). Обмежуємо наше обговорення обмеженим випадком, в якому діапазон$X$ обмежений інтервалом$I = [a, b]$. Припустимо,$I$ розділений на$n$ підінтервали точками$t_i$$1 \le i \le n - 1$, з$a = t_0$ і$b = t_n$. $M_i = [t_{i - 1}, t_i)$Дозволяти буде$i$ й підінтервал,$1 \le i \le n- 1$ і$M_n = [t_{n -1}, t_n]$. $E_i = X^{-1} (M_i)$Дозволяти бути безліч точок, відображених в$M_i$ по$X$. Потім$E_i$ формують перегородку з основного простору$\Omega$. Для даного підрозділу формуємо просту випадкову величину$X_s$ наступним чином. У кожному субінтервалі виберіть точку$s_i, t_{i - 1} \le s_i < t_i$. Проста випадкова величина

$X_s = \sum_{i = 1}^{n} s_i I_{E_i}$

$X$наближається до довжини найбільшого підінтервалу$M_i$. Тепер$I_{E_i} = I_{M_i} (X)$, починаючи з$I_{E_i} (\omega) = 1$$X(\omega) \in M_i$ вимкнення$I_{M_i} (X(\omega)) = 1$. Таким чином, ми можемо написати

$X_s = \sum_{i = 1}^{n} s_i I_{M_i} (X)$, функція$X$

Використання MATLAB для простих випадкових величин

Для простих випадкових величин ми використовуємо дискретний альтернативний підхід, оскільки це може бути легко реалізовано за допомогою MATLAB. Припустимо, розподіл for$X$ виражається в рядкових векторах$X$ і$PX$.

• Виконуємо операції масиву над вектором$X$ для отримання

  $G = [g(t_1) g(t_2) \cdot\cdot\cdot g(t_n)]$

• Ми використовуємо реляційні та логічні операції для$G$ отримання матриці,$M$ яка має одиниці для тих$t_i$ (значень$X$), які$g(t_i)$ задовольняють бажаній умові (і нулі в іншому місці).
• Матриця нуль-один$M$ використовується для вибору відповідних$p_i = P(X = t_i)$ і підсумовування їх шляхом взяття точкового добутку$M$ і$PX$.

Приклад 10.1.11: Основні розрахунки для функції простої випадкової величини

X = -5:10;                     % Values of X
PX = ibinom(15,0.6,0:15);      % Probabilities for X
G = (X + 6).*(X - 1).*(X - 8); % Array operations on X matrix to get G = g(X)
M = (G > - 100)&(G < 130);     % Relational and logical operations on G
PM = M*PX'                     % Sum of probabilities for selected values
PM =  0.4800
disp([X;G;M;PX]')              % Display of various matrices (as columns)
   -5.0000   78.0000    1.0000    0.0000
   -4.0000  120.0000    1.0000    0.0000
   -3.0000  132.0000         0    0.0003
   -2.0000  120.0000    1.0000    0.0016
   -1.0000   90.0000    1.0000    0.0074
         0   48.0000    1.0000    0.0245
    1.0000         0    1.0000    0.0612
    2.0000  -48.0000    1.0000    0.1181
    3.0000  -90.0000    1.0000    0.1771
    4.0000 -120.0000         0    0.2066
    5.0000 -132.0000         0    0.1859
    6.0000 -120.0000         0    0.1268
    7.0000  -78.0000    1.0000    0.0634
    8.0000         0    1.0000    0.0219
    9.0000  120.0000    1.0000    0.0047
   10.0000  288.0000         0    0.0005
[Z,PZ] = csort(G,PX);          % Sorting and consolidating to obtain
disp([Z;PZ]')                  % the distribution for Z = g(X)
 -132.0000    0.1859
 -120.0000    0.3334
  -90.0000    0.1771
  -78.0000    0.0634
  -48.0000    0.1181
         0    0.0832
   48.0000    0.0245
   78.0000    0.0000
   90.0000    0.0074
  120.0000    0.0064
  132.0000    0.0003
  288.0000    0.0005
P1 = (G<-120)*PX '           % Further calculation using G, PX
P1 =  0.1859
p1 = (Z<-120)*PZ'            % Alternate using Z, PZ
p1 =  0.1859

Приклад 10.1.12

$X = 10 I_A + 18 I_B + 10 I_C$з$\{A, B, C\}$ незалежними і$P =$ [0.60.30.5].

Розраховуємо розподіл за$X$, потім визначаємо розподіл по

$Z = X^{1/2} - X + 50$

c = [10 18 10 0];
pm = minprob(0.1*[6 3 5]);
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  pm
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
disp(XDBN)
         0    0.1400
   10.0000    0.3500
   18.0000    0.0600
   20.0000    0.2100
   28.0000    0.1500
   38.0000    0.0900
G = sqrt(X) - X + 50;       % Formation of G matrix
[Z,PZ] = csort(G,PX);       % Sorts distinct values of g(X)
disp([Z;PZ]')               % consolidates probabilities
   18.1644    0.0900
   27.2915    0.1500
   34.4721    0.2100
   36.2426    0.0600
   43.1623    0.3500
   50.0000    0.1400
M = (Z < 20)|(Z >= 40)      % Direct use of Z distribution
M =    1     0     0     0     1     1
PZM = M*PZ'
PZM =  0.5800

Зауваження. Зауважте, що за допомогою m-функції csort ми можемо назвати результат за бажанням.

Приклад 10.1.13: Продовження прикладу 10.1.12, вище.

H = 2*X.^2 - 3*X + 1;
[W,PW] = csort(H,PX)
W  =     1      171     595     741    1485    2775
PW =  0.1400  0.3500  0.0600  0.2100  0.1500  0.0900

Приклад 10.1.14: Дискретне наближення

Припустимо$X$, має функцію щільності$f_X(t) = \dfrac{1}{2} (3t^2 + 2t)$ для$0 \le t \le 1$. Потім$F_X (t) = \dfrac{1}{2} (t^3 + t^2)$. Нехай$Z = X^{1/2}$. Ми можемо використовувати апроксимаційну m-процедуру tappr для отримання наближеного дискретного розподілу. Потім ми працюємо з апроксимуючою випадковою величиною як просту випадкову величину. Припустимо, ми хочемо$P(Z \le 0.8)$. Тепер$Z \le 0.8$ вимкнено$X \le 0.8^2 = 0.64$. Бажана ймовірність може бути розрахована, щоб бути

$P(Z \le 0.8) = F_X (0.64) = (0.64^3 + 0.64^2)/2 = 0.3359$

Використовуючи процедуру наближення, ми маємо

tappr
Enter matrix [a b] of x-range endpoints  [0 1]
Enter number of x approximation points  200
Enter density as a function of t  (3*t.^2 + 2*t)/2
Use row matrices X and PX as in the simple case
G = X.^(1/2);
M = G <= 0.8;
PM = M*PX'
PM =   0.3359       % Agrees quite closely with the theoretical