10.1: Функції випадкової величини

Вступ

Часто ми спостерігаємо значення якоїсь випадкової величини, але насправді зацікавлені в значенні, отриманому з цього правилом функції. Якщо\(X\) є випадковою величиною і\(g\) є розумною функцією (технічно, функцією Бореля), то\(Z = g(X)\) є нова випадкова величина, яка має значення\(g(t)\) для будь-якої\(\omega\) такої, що\(X(\omega) = t\). Таким чином\(Z(\omega) = g(X(\omega))\).

Проблема; підхід

Розглянуто, по-перше, функції однієї випадкової величини. На практиці використовується найрізноманітніші функції.

Приклад 10.1 .1: Проблема контролю якості

При перевірці контролю якості на виробничій лінії для кулькових підшипників може бути простіше зважити кульки, ніж виміряти діаметри. Якщо ми можемо припустити справжню сферичну форму і\(w\) є вагою\(kw^{1/3}\), то діаметр\(k\) - це коефіцієнт, який залежить від формули об'єму сфери, одиниць виміру та щільності сталі. Таким чином,\(X\) якщо вага відібраного кулі, то бажана випадкова величина є\(D = kX^{1/3}\).

Приклад 10.1.2: Перерви цін

Культурний комітет студентської організації організував спеціальну пропозицію на квитки на концерт. Угода полягає в тому, що організація придбає десять квитків по 20 доларів кожен (незалежно від кількості окремих покупців). Додаткові квитки доступні за наступним розкладом:

• 11-20, $18 кожен
• 21-30, $16 кожен
• 31-50, $15 кожен
• 51-100, $13 кожен

Якщо кількість покупців є випадковою величиною\(X\), загальна вартість (у доларах) - це випадкова величина,\(Z = g(X)\) описана

\(g(X) = 200 + 18 I_{M1} (X) (X - 10) + (16 - 18) I_{M2} (X) (X - 20)\)

\(+ (15 - 16) I_{M3} (X) (X - 30) + (13 - 15) I_{M4} (X) (X - 50)\)

де\(M1 = [10, \infty)\),\(M2 = [20, \infty)\),\(M3 = [30, \infty)\),\(M4 = [50, \infty)\)

Правило функції складніше, ніж у прикладі 10.1.1, але суттєва проблема така ж.

проблема

Якщо\(X\) є випадковою величиною, то\(Z = g(X)\) це нова випадкова величина. Припустимо, у нас є дистрибутив для\(X\). Як ми можемо визначити\(P(Z \in M)\), що ймовірність\(Z\) приймає значення в множині\(M\)?

Підхід до вирішення

Розглядаємо два рівнозначних підходу

Щоб знайти\(P(X \in M)\).

1. Картографічний підхід. Просто знайдіть кількість маси ймовірності, відображеної у множині\(M\) випадковою величиною\(X\).
   • У абсолютно безперервному випадку розрахуйте\(\int_{M} f_X\).
   • У дискретному випадку визначте ті\(t_i\) значення\(X\) яких є в множині\(M\) і додайте пов'язані з ними ймовірності.
2. Дискретна альтернатива. Розглянемо\(t_i\) кожне значення\(X\). Виберіть ті, які відповідають визначальним умовам,\(M\) і додайте пов'язані з ними ймовірності. Саме такий підхід ми використовуємо в розрахунках MATLAB. Зверніть увагу, що геометрично описувати множину необов'язково\(M\); просто використовуйте визначальні умови.

Знайти\(P(g(X) \in M)\).

1. Картографічний підхід. Визначте\(N\) множину всіх тих t, які\(M\) відображені функцією\(g\). Тепер якщо\(X(\omega) \in N\), то\(g(X(\omega)) \in M\), і якщо\(g(X(\omega)) \in M\), то\(X(\omega) \in N\). Звідси

   \(\{\omega: g(X(\omega)) \in M\} = \{\omega: X(\omega) \in N\}\)

Оскільки це одна і та ж подія, вони повинні мати однакову ймовірність. Після того, як\(N\) виявлено, визначте\(P(X \in N)\) в звичайному порядку (див. Частина а, вище).

• Дискретна альтернатива. Для кожного\(t_i\) можливого значення\(X\), визначити, чи\(g(t_i)\) відповідає визначальна умова для\(M\). Виберіть ті\(t_i\), які роблять, і додайте пов'язані ймовірності.

— □

Зауваження. Безліч\(N\) в картографічному підході називається зворотним зображенням.\(N = g^{-1} (M)\)

Приклад 10.1.3: Дискретний приклад

Припустимо,\(X\) має значення -2, 0, 1, 3, 6, з відповідними ймовірностями 0,2, 0,1, 0,2, 0,3 0,2.

Розглянемо\(Z = g(X) = (X + 1) (X - 4)\). Визначте\(P(Z > 0)\).

Рішення

Перше рішення. Картографічний підхід

\(g(t) = (t + 1) (t - 4)\). \(N = \{t: g(t) > 0\}\) множина точок зліва від —1 або праворуч від 4. \(X\)Значення -2 і 6 лежать у цьому наборі. Звідси

\(P(g(X) > 0) = P(X = -2) + P(X = 6) = 0.2 + 0.2 = 0.4\)

Друге рішення. Дискретна альтернатива

Х =	-2	0	1	3	6
Р Х =	0.2	0.1	0.2	0.3	0.2
Z =	6	-4	-6	-4	14
Z > 0	1	0	0	0	1

Виділивши і додаючи зазначені ймовірності, ми маємо

\(P(Z > 0) = 0.2 + 0.2 = 0.4\)

У цьому випадку (а часто і для «ручних розрахунків») картографічний підхід вимагає меншого розрахунку. Однак для розрахунків MATLAB (як ми показуємо нижче) більш легко реалізується дискретна альтернатива.

Приклад 10.1.4. Абсолютно безперервний приклад

Припустимо\(X\) ~ рівномірний [—3,7]. Потім\(f_X(t) = 0.1\),\(-3 \le t \le 7\) (і нуль в іншому місці). Нехай

\(Z = g(X) = (X + 1) (X - 4)\)

Визначте\(P(Z > 0)\).

Рішення

Спочатку визначаємося\(N = \{t: g(t) > 0\}\). Як у прикладі 10.1.3,\(g(t) = (t+ 1) (t - 4) > 0\) для\(t < -1\) або\(t > 4)\). Через рівномірний розподіл інтеграл щільності на будь-якому підінтервалі\(\{X, Y\}\) в 0,1 рази перевищує довжину цього субінтервалу. Таким чином, бажана ймовірність

\(P(g(X) > 0) = 0.1 [(-1 - (-3)) + (7 - 4)] = 0.5\)

Розглянемо далі кілька важливих прикладів.

Приклад 10.1.5: Нормальний розподіл та стандартизований нормальний розподіл

Щоб показати, що якщо\(X\) ~\(N(\mu, \sigma^2)\) то

\(Z = g(X) = \dfrac{X - \mu}{\sigma} ~ N(0, 1)\)

ПЕРЕВІРКА

Ми хочемо показати функцію щільності для\(Z\) is

\(\varphi (t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\)

Зараз

\(g(t) = \dfrac{t - \mu} {\sigma} \le v\)іфф\(t \le \sigma v + \mu\)

Отже, для даного\(M = (-\infty, v]\) зворотного зображення є\(N = (-\infty, \sigma v + \mu]\), так що

\(F_Z (v) = P(Z \le v) = P(Z \in M) = P(X \in N) = P(X \le \sigma v + \mu) = F_X (\sigma v + \mu)\)

Оскільки щільність є похідною від функції розподілу,

\(f_Z(v) = F_{Z}^{'} (v) = F_{X}^{'} (v) = F_{X}^{'} (\sigma v + \mu) \sigma = \sigma f_X (\sigma v + \mu)\)

Таким чином

\(f_Z (v) = \dfrac{\sigma}{\sigma \sqrt{2\pi}} \text{exp} [-\dfrac{1}{2} (\dfrac{\sigma v + \mu - \mu}{\sigma})^2] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-v^2/2} = \varphi(v)\)

Ми робимо висновок, що\(Z\) ~\(N(0, 1)\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Припустимо\(X\), має функцію розподілу\(F_X\). Якщо він абсолютно суцільний, відповідна щільність дорівнює\(f_X\). Розглянемо\(Z = aX + b\). Тут\(g(t) = at + b\) афінна функція (лінійна плюс константа). Визначте функцію розподілу для\(Z\) (і щільність в абсолютно безперервному випадку).

Рішення

\(F_Z (v) = P(Z \le v) = P(aX + b \le v)\)

Є два випадки

• \(a\)> 0:

  \(F_Z (v) = P(X \le \dfrac{v - b}{a}) = F_X (\dfrac{v - b}{a})\)

• \(a\)< 0

  \(F_Z (v) = P(X \ge \dfrac{v - b}{a}) = P(X > \dfrac{v - b}{a}) + P(X = \dfrac{v - b}{a})\)

Так що

\(F_Z (v) = 1 - F_X (\dfrac{v - b}{a}) + P(X = \dfrac{v - b}{a})\)

Для абсолютно безперервного випадку\(P(X = \dfrac{v - b}{a}) = 0\), і шляхом диференціації

• для\(a > 0\)\(f_Z (v) = \dfrac{1}{a} f_X (\dfrac{v - b}{a})\)
• для\(a < 0\)\(f_Z (v) = -\dfrac{1}{a} f_X (\dfrac{v - b}{a})\)

Оскільки для\(a < 0\)\(-a = |a|\), два випадки можуть бути об'єднані в одну формулу.

\(f_Z (v) = \dfrac{1}{|a|} f_X (\dfrac{v-b}{a})\)

Приклад 10.1.7: Завершення нормальних та стандартизованих нормальних відносин

Припустимо\(Z\) ~\(N(0, 1)\). показати, що\(X = \sigma Z + \mu \) (\(\sigma > 0\)) є\(N(\mu, \sigma^2)\).

ПЕРЕВІРКА

Використання результату Прикладу 10.1.6 на афінних функціях показує, що

\(f_{X} (t) = \dfrac{1}{\sigma} \varphi (\dfrac{t - \mu}{\sigma}) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \text{exp} [-\dfrac{1}{2} (\dfrac{t - \mu}{\sigma})^2]\)

Приклад 10.1.8: Дробовий ступінь невід'ємної випадкової величини

Припустимо\(X \ge 0\) і\(Z = g(X) = X^{1/a}\) для\(a > 1\). Оскільки для\(t \ge 0\),\(t^{1/a}\) збільшується, у нас є\(0 \le t^{1/a} \le v\) iff\(0 \le t \le v^{a}\). Таким чином

\(F_Z (v) = P(Z \le v) = P(X \le v^{a}) = F_X (v^{a})\)

У абсолютно суцільному випадку

\(f_Z (v) = F_{Z}^{'} (v) = f_X (v^{a}) a v^{a - 1}\)

Приклад 10.1.9: Дробова сила експоненціально розподіленої випадкової величини

Припустимо,\(X\) ~ експоненціальна (\(\lambda\)). Потім\(Z = X^{1/a}\) ~ Вейбулл\((a, \lambda, 0)\).

Згідно з результатом Прикладу 10.1.8,

\(F_Z(t) = F_X (t^{a}) = 1- e^{-\lambda t^{a}}\)

яка є функцією розподілу для\(Z\) ~ Weibull\((a, \lambda, 0)\).

Приклад 10.1.10: Просте наближення як функція X

Якщо\(X\) є випадковою величиною, може бути побудовано просте наближення функції (див. Наближення розподілу). Обмежуємо наше обговорення обмеженим випадком, в якому діапазон\(X\) обмежений інтервалом\(I = [a, b]\). Припустимо,\(I\) розділений на\(n\) підінтервали точками\(t_i\)\(1 \le i \le n - 1\), з\(a = t_0\) і\(b = t_n\). \(M_i = [t_{i - 1}, t_i)\)Дозволяти буде\(i\) й підінтервал,\(1 \le i \le n- 1\) і\(M_n = [t_{n -1}, t_n]\). \(E_i = X^{-1} (M_i)\)Дозволяти бути безліч точок, відображених в\(M_i\) по\(X\). Потім\(E_i\) формують перегородку з основного простору\(\Omega\). Для даного підрозділу формуємо просту випадкову величину\(X_s\) наступним чином. У кожному субінтервалі виберіть точку\(s_i, t_{i - 1} \le s_i < t_i\). Проста випадкова величина

\(X_s = \sum_{i = 1}^{n} s_i I_{E_i}\)

\(X\)наближається до довжини найбільшого підінтервалу\(M_i\). Тепер\(I_{E_i} = I_{M_i} (X)\), починаючи з\(I_{E_i} (\omega) = 1\)\(X(\omega) \in M_i\) вимкнення\(I_{M_i} (X(\omega)) = 1\). Таким чином, ми можемо написати

\(X_s = \sum_{i = 1}^{n} s_i I_{M_i} (X)\), функція\(X\)

Використання MATLAB для простих випадкових величин

Для простих випадкових величин ми використовуємо дискретний альтернативний підхід, оскільки це може бути легко реалізовано за допомогою MATLAB. Припустимо, розподіл for\(X\) виражається в рядкових векторах\(X\) і\(PX\).

• Виконуємо операції масиву над вектором\(X\) для отримання

  \(G = [g(t_1) g(t_2) \cdot\cdot\cdot g(t_n)]\)

• Ми використовуємо реляційні та логічні операції для\(G\) отримання матриці,\(M\) яка має одиниці для тих\(t_i\) (значень\(X\)), які\(g(t_i)\) задовольняють бажаній умові (і нулі в іншому місці).
• Матриця нуль-один\(M\) використовується для вибору відповідних\(p_i = P(X = t_i)\) і підсумовування їх шляхом взяття точкового добутку\(M\) і\(PX\).

Приклад 10.1.11: Основні розрахунки для функції простої випадкової величини

X = -5:10;                     % Values of X
PX = ibinom(15,0.6,0:15);      % Probabilities for X
G = (X + 6).*(X - 1).*(X - 8); % Array operations on X matrix to get G = g(X)
M = (G > - 100)&(G < 130);     % Relational and logical operations on G
PM = M*PX'                     % Sum of probabilities for selected values
PM =  0.4800
disp([X;G;M;PX]')              % Display of various matrices (as columns)
   -5.0000   78.0000    1.0000    0.0000
   -4.0000  120.0000    1.0000    0.0000
   -3.0000  132.0000         0    0.0003
   -2.0000  120.0000    1.0000    0.0016
   -1.0000   90.0000    1.0000    0.0074
         0   48.0000    1.0000    0.0245
    1.0000         0    1.0000    0.0612
    2.0000  -48.0000    1.0000    0.1181
    3.0000  -90.0000    1.0000    0.1771
    4.0000 -120.0000         0    0.2066
    5.0000 -132.0000         0    0.1859
    6.0000 -120.0000         0    0.1268
    7.0000  -78.0000    1.0000    0.0634
    8.0000         0    1.0000    0.0219
    9.0000  120.0000    1.0000    0.0047
   10.0000  288.0000         0    0.0005
[Z,PZ] = csort(G,PX);          % Sorting and consolidating to obtain
disp([Z;PZ]')                  % the distribution for Z = g(X)
 -132.0000    0.1859
 -120.0000    0.3334
  -90.0000    0.1771
  -78.0000    0.0634
  -48.0000    0.1181
         0    0.0832
   48.0000    0.0245
   78.0000    0.0000
   90.0000    0.0074
  120.0000    0.0064
  132.0000    0.0003
  288.0000    0.0005
P1 = (G<-120)*PX '           % Further calculation using G, PX
P1 =  0.1859
p1 = (Z<-120)*PZ'            % Alternate using Z, PZ
p1 =  0.1859

Приклад 10.1.12

\(X = 10 I_A + 18 I_B + 10 I_C\)з\(\{A, B, C\}\) незалежними і\(P =\) [0.60.30.5].

Розраховуємо розподіл за\(X\), потім визначаємо розподіл по

\(Z = X^{1/2} - X + 50\)

c = [10 18 10 0];
pm = minprob(0.1*[6 3 5]);
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  pm
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
disp(XDBN)
         0    0.1400
   10.0000    0.3500
   18.0000    0.0600
   20.0000    0.2100
   28.0000    0.1500
   38.0000    0.0900
G = sqrt(X) - X + 50;       % Formation of G matrix
[Z,PZ] = csort(G,PX);       % Sorts distinct values of g(X)
disp([Z;PZ]')               % consolidates probabilities
   18.1644    0.0900
   27.2915    0.1500
   34.4721    0.2100
   36.2426    0.0600
   43.1623    0.3500
   50.0000    0.1400
M = (Z < 20)|(Z >= 40)      % Direct use of Z distribution
M =    1     0     0     0     1     1
PZM = M*PZ'
PZM =  0.5800

Зауваження. Зауважте, що за допомогою m-функції csort ми можемо назвати результат за бажанням.

Приклад 10.1.13: Продовження прикладу 10.1.12, вище.

H = 2*X.^2 - 3*X + 1;
[W,PW] = csort(H,PX)
W  =     1      171     595     741    1485    2775
PW =  0.1400  0.3500  0.0600  0.2100  0.1500  0.0900

Приклад 10.1.14: Дискретне наближення

Припустимо\(X\), має функцію щільності\(f_X(t) = \dfrac{1}{2} (3t^2 + 2t)\) для\(0 \le t \le 1\). Потім\(F_X (t) = \dfrac{1}{2} (t^3 + t^2)\). Нехай\(Z = X^{1/2}\). Ми можемо використовувати апроксимаційну m-процедуру tappr для отримання наближеного дискретного розподілу. Потім ми працюємо з апроксимуючою випадковою величиною як просту випадкову величину. Припустимо, ми хочемо\(P(Z \le 0.8)\). Тепер\(Z \le 0.8\) вимкнено\(X \le 0.8^2 = 0.64\). Бажана ймовірність може бути розрахована, щоб бути

\(P(Z \le 0.8) = F_X (0.64) = (0.64^3 + 0.64^2)/2 = 0.3359\)

Використовуючи процедуру наближення, ми маємо

tappr
Enter matrix [a b] of x-range endpoints  [0 1]
Enter number of x approximation points  200
Enter density as a function of t  (3*t.^2 + 2*t)/2
Use row matrices X and PX as in the simple case
G = X.^(1/2);
M = G <= 0.8;
PM = M*PX'
PM =   0.3359       % Agrees quite closely with the theoretical