1.4: Задачі ймовірнісних систем

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(\Omega\)Дозволяти складатися з безлічі натуральних чисел. Розглянемо підмножини

\(A = \{\omega: \omega \le 12\}\)\(B = \{\omega: \omega < 8\}\)\(C = \{\omega: \omega \text{ is even}\}\)

\(D = \{\omega: \omega \text{ is a multiple of } 3\}\)\(E = \{\omega: \omega \text{ is a multiple of } 4\}\)

Опишіть з точки зору\(A, B, C, D, E\) і їх доповнення наступні набори:

a. {1, 3, 5, 7}
b. {3, 6, 9}
c. {8, 10}
d. Парні цілі числа більше 12
е. Додатні цілі числа, кратні шести.
f Цілі числа, які є парними і не більшими за 6 або які непарні і більші за 12.

Відповідь

\(a = BC^c\)
\(b= DAE^c\)
\(c = CAB^cD^c\)
\(d = CA^c\)
\(e = CD\)
\(f = BC \bigvee A^cC^c\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

\(\Omega\)Дозволяти множина цілих чисел від 0 до 10. Нехай\(A = \{5, 6, 7, 8\}\),\(B = \) непарні цілі числа в\(\Omega\), і\(C =\) цілі числа, в\(\Omega\) яких парні або менше трьох. Опишіть наступні набори, перерахувавши їх елементи.

а.\(AB\)
б. в.\(AC\)
\(AB^c \cup C\)
д.\(ABC^c\)
е.\(A \cup B^c\)
ф.\(A \cup BC^c\)
\(ABC\)
г.\(A^c BC^c\)

Відповідь

а.\(AB = {5, 7}\)
б. в.\(AC = {6, 8}\)
\(AB^c \cup C = C\)
д.\(ABC^c = AB\)
е.\(A \cup B^c = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}\)
ф.\(ABC = \emptyset\)
г.\(A^c BC^c = {3, 9}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Розглянемо п'ятнадцять слів повідомлення англійською мовою. Нехай\(A =\) набір таких повідомлень, які містять слово «банк» і нехай\(B =\) набір повідомлень, які містять слово «банк» і слово «кредит». Яка подія має більшу ймовірність? Чому?

Відповідь

\(B \subset A\)має на увазі\(P(B) \le P(A)\).

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Група з п'яти осіб складається з двох чоловіків і трьох жінок. Вони підбираються один за іншим випадковим чином. \(E_i\)Дозволяти подією вибирається чоловік\(i\) на виділенні. Напишіть вираз для події, що обидва чоловіки були обрані третім відбором.

Відповідь

\(A = E_1 E_2 \bigvee E_1 E_2^c E_3 \bigvee E_1^c E_2 E_3\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Дві особи грають гру послідовно, поки один з них не буде успішним або є десять невдалих п'єс. Нехай\(E_i\) буде подія успіху\(i\) на ігровому процесі. \(A, B, C\)Дозволяти відповідним подіям, які гравець один, гравець два, або жоден виграє. Напишіть вираз для кожного з цих подій з точки зору подій\(E_i\),\(1 \le i \le 10\).

Відповідь

\(A = E_1 \bigvee E_1^c E_2^c E_3 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9\)

\(B = E_1^c E_2 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9^c E_{10}\)

\(C = \bigcap_{i = 1}^{10} E_i^c\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Припустимо, в гру в Exercise 1.4.5 можна було, в принципі, грати необмежену кількість разів. Напишіть вираз для події\(D\), що гра буде завершена з успіхом в кінцеву кількість разів. Напишіть вираз для події\(F\), що гра ніколи не завершиться.

Відповідь

Нехай\(F_0 = \Omega\) і\(F_k = \bigcap_{i = 1}^{k} E_i^c\) для\(k \ge 1\). Тоді

\(D = \bigvee_{n = 1}^{\infty} F_{n - 1} E_n\)і\(F = D^c = \bigcap_{i = 1}^{\infty} E_i^c\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Знайдіть (класичну) ймовірність того, що серед трьох випадкових цифр кожна цифра (від 0 до 9) однаково вірогідна, а кожна трійка однаково ймовірна:

а Всі три однакові.
б Немає двох однакових.
c Перша цифра дорівнює 0.
d Рівно два однакові.

Відповідь

Кожна трійка має ймовірність\(1/10^3 = 1/1000\)

а. десять трійок, всі однакові:\(P = 10/1000\).
б.\(10 \times 9 \times 8\) трійки всі різні:\(P = 720/1000\).
c. 100 трійок з першим одним нулем:\(P = 100/1000\)
d.\(C(3, 2) = 3\) Способи вибрати дві позиції однаково; 10 способів вибрати загальне значення; 9 способів вибрати інший. \(P = 270/1000\).

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Класична модель ймовірності базується на припущенні однаково ймовірних результатів. Деяка обережність повинна бути показана в аналізі, щоб бути впевненим, що це припущення добре. Відомим прикладом є наступний. Дві монети кидаються. Спостерігається один з трьох результатів:\(\omega_1\) Нехай результат обидва «голови»\(\omega_2\), результат, який обидва є «хвостами», і\(\omega_3\) бути результатом того, що вони різні. Чи розумно припустити, що ці три результати однаково вірогідні? Які ймовірності ви б призначили?

Відповідь

\(P(\{\omega_1\}) = P(\{\omega_2\}) = 1/4\),\(P(\{\omega_3\}) = 1/2\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Комітет з п'яти осіб вибирається з групи з 20 осіб. Яка ймовірність того, що вказаний член групи буде в комітеті?

Відповідь

\(C(20, 5)\)комітетів;\(C(19, 4)\) мають призначеного члена.

\(P = \dfrac{19!}{4! 15!} \cdot \dfrac{5! 15!}{20!} = 5/20 = 1/4\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Десять співробітників компанії щодня їздять на свої автомобілі до міста і паркуються випадково в десяти місцях. Яка (класична) ймовірність того, що в даний день Джим виявиться на третьому місці? Є\(n!\) однаково ймовірні способи\(n\) розставляти предмети (порядок важливий).

Відповідь

10! перестановки,\(1 \times 9!\) перестановки з Джимом на місці 3. \(P = 9!/10! = 1/10\).

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Розширення класичної моделі передбачає використання зон. За орієнтир береться певний регіон\(L\) (скажімо про землю). Для будь-якого субрегіону\(A\) визначте\(P(A) = area(A)/area(L)\). Показати, що\(P(\cdot)\) є мірою ймовірності на субрегіонах\(L\).

Відповідь

Аддиктивність випливає з адитивності областей нероз'єднаних областей.

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Джон думає, що ймовірність того, що Х'юстон Техасці виграють наступної неділі 0.3 і ймовірність Dallas Cowboys виграє 0.7 (вони не грають один одного). Він вважає, що ймовірність того, що обидва виграють десь між - скажімо, 0.5. Це розумне припущення? Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

\(P(AB) = 0.5\)не є розумним. Вона не повинна перевищувати мінімум\(P(A) = 0.3\) і\(P(B) = 0.7\).

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Припустимо\(P(A) = 0.5\), і\(P(B) = 0.3\). Яка найбільша можлива вартість\(P(AB)\)? Використовуючи максимальне значення\(P(AB)\), визначити\(P(AB^c)\),\(P(A^c B)\),\(P(A^c B^c)\) і\(P(A \cup B)\). Чи визначаються ці значення однозначно?

Відповідь

Намалюйте діаграму Венна або використовуйте алгебраїчні вирази\(P(AB^c) = P(A) - P(AB) = 0.2\)

\(P(A^c B) = P(B) - P(AB) = 0\)\(P(A^c B^c) = P(A^c) - P(A^c B) = 0.5\)\(P(A \cup B) = 0.5\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Для кожного з наведених нижче ймовірних «завдань» заповніть таблицю. Які завдання не допустимі? Поясніть чому, в кожному конкретному випадку.

\(P(A)\)	\(P(B)\)	\(P(AB)\)	\(P(A \cup B)\)	\(P(AB^c)\)	\(P(A^c B)\)	\(P(A) + P(B)\)
0.3	0.7	0.4
0.2	0.1	0.4
0.3	0.7	0.2
0.3	0.5	0
0.3	0.8	0

Відповідь

\(P(A)\)	\(P(B)\)	\(P(AB)\)	\(P(A \cup B)\)	\(P(AB^c)\)	\(P(A^c B)\)	\(P(A) + P(B)\)
0.3	0.7	0.4	0.6	-0.1	0.3	1.0
0.2	0.1	0.4	-0.1	-0.2	-0.3	0.3
0.3	0.7	0.2	0.8	0.1	0.5	1.0
0.3	0.5	0	0.8	0.3	0.5	0.8
0.3	0.8	0	1.1	0.3	0.8	1.1

Допустимі тільки третє і четверте завдання.

Вправа\(\PageIndex{15}\)

\(\{A, B, C\}\)Класом подій є розділ. Подія\(A\) вдвічі частіше, ніж\(C\) і подія\(B\) настільки ж імовірна, як комбінація\(A\) або\(C\). Визначте ймовірності\(P(A)\),\(P(B)\),\(P(C)\).

Відповідь

\(P(A) + P(B) + P(C) = 1\),\(P(A) = 2P(C)\), і\(P(B) = P(A) + P(C) = 3P(C)\), що має на увазі

\(P(C) = 1/6\),\(P(A) = 1/3\),\(P(B) = 1/2\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Визначте ймовірність з\(P(A \cup B \cup C)\) точки зору ймовірностей подій\(A, B, C\) і їх перетинів.

Відповідь

\(P(A \cup B \cup C) = P(A \cup B) + P(C) - P(AC \cup BC)\)
\(= P(A) + P(B) - P(AB) + P(C) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Якщо настання події\(A\) передбачає виникнення\(B\), показати, що\(P(A^c B) = P(B) - P(A)\).

Відповідь

\(P(AB) = P(A)\)і\(P(AB) + P(A^c B) = P(B)\) має на увазі\(P(A^c B) = P(B) - P(A)\).

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Покажіть, що\(P(AB) \ge P(A) + P(B) - 1\).

Відповідь

Випливає з\(P(A) + P(B) - P(AB) = P(A \cup B) \le 1\).

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Набір комбінації\(A \oplus B = AB^c \bigvee A^c B\) відомий як диз'юнктивний союз або симетрична різниця\(A\) і\(B\). Це подія, яка тільки одна з подій\(A\) або\(B\) відбувається на судовому розгляді. \(P(A \oplus B)\)Визначте з точки зору\(P(A)\)\(P(B)\), і\(P(AB)\)

Відповідь

Діаграма Венна показує\(P(A \oplus B) = P(AB^c) + P(AB^c) = P(A) + P(B) - 2P(AB)\).

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Використовуйте фундаментальні властивості ймовірності, щоб показати

а.\(P(AB) \le P(A) \le P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\)

б.\(P(\bigcap_{j = 1}^{\infty} E_j) \le P(E_i) \le P(\bigcup_{j = 1}^{\infty} E_j) \le \sum_{j = 1}^{\infty} P(E_j)\)

Відповідь

\(AB \subset A \subset A \cup B\)має на увазі\(P(AB) \le P(A) \le P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \le P(A) + P(B)\). Загальний випадок слід аналогічно, причому остання нерівність визначається субаддитивністю.

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Припустимо\(P_1, P_2\), є міри ймовірності і\(c_1, c_2\) є позитивними числами такі, що\(c_1 + c_2 = 1\). Показати, що присвоєння\(P(E) = c_1 P_1(E) + c_2P_2(E)\) класу подій є мірою ймовірності. Така комбінація ймовірнісних заходів відома як суміш. Розширити це до

\(P(E) = \sum_{i = 1}^{n} c_i P_i (E)\), де\(P_i\) є ймовірності заходи\(c_i > 0\), і\(\sum_{i = 1}^{n} c_i = 1\)

Відповідь

Чітко\(P(E) \ge 0\). \(P(\Omega) = c_1 P_1 (\Omega) + c_2 P_2 (\Omega) = 1\).

\(E = \bigvee_{i = 1}^{\infty} E_i\)має на увазі\(P(E) = c_1 \sum_{i = 1}^{\infty} P_1 (E_i) + c_2 \sum_{i = 1}^{\infty} P_2 (E_i) = \sum_{i =1}^{\infty} P(E_i)\)

Форма однакова для загального випадку, за винятком того, що сума двох членів замінюється сумою\(n\) термінів\(c_i P_i (E)\).

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Припустимо,\(\{A_1, A_2, \cdot\cdot\cdot, A_n\}\) є розділом і\(\{c_1, c_2, \cdot\cdot\cdot, c_n\}\) є класом додатних констант. На кожну\(E\) подію нехай

\(Q(E) = \sum_{i = 1}^{n} c_i P(EA_i) / \sum_{i = 1}^{n} c_i P(A_i)\)

Покажіть, що\(Q(\cdot)\) нам міра ймовірності.

Відповідь

Ясно\(Q(E) \ge 0\) і так як у\(A_i \Omega = A_i\) нас є\(Q(\Omega) = 1\). Якщо

\(E = \bigvee_{k = 1}^{\infty} E_k\), потім\(P(EA_i) = \sum_{k = 1}^{\infty} P(E_k A_i)\)\(\forall i\)

Взаємозміна порядку підсумовування показує, що\(Q\) є зліченно адитивним.