1.4: Задачі ймовірнісних систем
- Page ID
- 98551
Вправа\(\PageIndex{1}\)
\(\Omega\)Дозволяти складатися з безлічі натуральних чисел. Розглянемо підмножини
\(A = \{\omega: \omega \le 12\}\)\(B = \{\omega: \omega < 8\}\)\(C = \{\omega: \omega \text{ is even}\}\)
\(D = \{\omega: \omega \text{ is a multiple of } 3\}\)\(E = \{\omega: \omega \text{ is a multiple of } 4\}\)
Опишіть з точки зору\(A, B, C, D, E\) і їх доповнення наступні набори:
a. {1, 3, 5, 7}
b. {3, 6, 9}
c. {8, 10}
d. Парні цілі числа більше 12
е. Додатні цілі числа, кратні шести.
f Цілі числа, які є парними і не більшими за 6 або які непарні і більші за 12.
- Відповідь
-
\(a = BC^c\)
\(b= DAE^c\)
\(c = CAB^cD^c\)
\(d = CA^c\)
\(e = CD\)
\(f = BC \bigvee A^cC^c\)
Вправа\(\PageIndex{2}\)
\(\Omega\)Дозволяти множина цілих чисел від 0 до 10. Нехай\(A = \{5, 6, 7, 8\}\),\(B = \) непарні цілі числа в\(\Omega\), і\(C =\) цілі числа, в\(\Omega\) яких парні або менше трьох. Опишіть наступні набори, перерахувавши їх елементи.
а.\(AB\)
б. в.\(AC\)
\(AB^c \cup C\)
д.\(ABC^c\)
е.\(A \cup B^c\)
ф.\(A \cup BC^c\)
\(ABC\)
г.\(A^c BC^c\)
- Відповідь
-
а.\(AB = {5, 7}\)
б. в.\(AC = {6, 8}\)
\(AB^c \cup C = C\)
д.\(ABC^c = AB\)
е.\(A \cup B^c = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}\)
ф.\(ABC = \emptyset\)
г.\(A^c BC^c = {3, 9}\)
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Розглянемо п'ятнадцять слів повідомлення англійською мовою. Нехай\(A =\) набір таких повідомлень, які містять слово «банк» і нехай\(B =\) набір повідомлень, які містять слово «банк» і слово «кредит». Яка подія має більшу ймовірність? Чому?
- Відповідь
-
\(B \subset A\)має на увазі\(P(B) \le P(A)\).
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Група з п'яти осіб складається з двох чоловіків і трьох жінок. Вони підбираються один за іншим випадковим чином. \(E_i\)Дозволяти подією вибирається чоловік\(i\) на виділенні. Напишіть вираз для події, що обидва чоловіки були обрані третім відбором.
- Відповідь
-
\(A = E_1 E_2 \bigvee E_1 E_2^c E_3 \bigvee E_1^c E_2 E_3\)
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Дві особи грають гру послідовно, поки один з них не буде успішним або є десять невдалих п'єс. Нехай\(E_i\) буде подія успіху\(i\) на ігровому процесі. \(A, B, C\)Дозволяти відповідним подіям, які гравець один, гравець два, або жоден виграє. Напишіть вираз для кожного з цих подій з точки зору подій\(E_i\),\(1 \le i \le 10\).
- Відповідь
-
\(A = E_1 \bigvee E_1^c E_2^c E_3 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9\)
\(B = E_1^c E_2 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9^c E_{10}\)
\(C = \bigcap_{i = 1}^{10} E_i^c\)
Вправа\(\PageIndex{6}\)
Припустимо, в гру в Exercise 1.4.5 можна було, в принципі, грати необмежену кількість разів. Напишіть вираз для події\(D\), що гра буде завершена з успіхом в кінцеву кількість разів. Напишіть вираз для події\(F\), що гра ніколи не завершиться.
- Відповідь
-
Нехай\(F_0 = \Omega\) і\(F_k = \bigcap_{i = 1}^{k} E_i^c\) для\(k \ge 1\). Тоді
\(D = \bigvee_{n = 1}^{\infty} F_{n - 1} E_n\)і\(F = D^c = \bigcap_{i = 1}^{\infty} E_i^c\)
Вправа\(\PageIndex{7}\)
Знайдіть (класичну) ймовірність того, що серед трьох випадкових цифр кожна цифра (від 0 до 9) однаково вірогідна, а кожна трійка однаково ймовірна:
а Всі три однакові.
б Немає двох однакових.
c Перша цифра дорівнює 0.
d Рівно два однакові.
- Відповідь
-
Кожна трійка має ймовірність\(1/10^3 = 1/1000\)
а. десять трійок, всі однакові:\(P = 10/1000\).
б.\(10 \times 9 \times 8\) трійки всі різні:\(P = 720/1000\).
c. 100 трійок з першим одним нулем:\(P = 100/1000\)
d.\(C(3, 2) = 3\) Способи вибрати дві позиції однаково; 10 способів вибрати загальне значення; 9 способів вибрати інший. \(P = 270/1000\).
Вправа\(\PageIndex{8}\)
Класична модель ймовірності базується на припущенні однаково ймовірних результатів. Деяка обережність повинна бути показана в аналізі, щоб бути впевненим, що це припущення добре. Відомим прикладом є наступний. Дві монети кидаються. Спостерігається один з трьох результатів:\(\omega_1\) Нехай результат обидва «голови»\(\omega_2\), результат, який обидва є «хвостами», і\(\omega_3\) бути результатом того, що вони різні. Чи розумно припустити, що ці три результати однаково вірогідні? Які ймовірності ви б призначили?
- Відповідь
-
\(P(\{\omega_1\}) = P(\{\omega_2\}) = 1/4\),\(P(\{\omega_3\}) = 1/2\)
Вправа\(\PageIndex{9}\)
Комітет з п'яти осіб вибирається з групи з 20 осіб. Яка ймовірність того, що вказаний член групи буде в комітеті?
- Відповідь
-
\(C(20, 5)\)комітетів;\(C(19, 4)\) мають призначеного члена.
\(P = \dfrac{19!}{4! 15!} \cdot \dfrac{5! 15!}{20!} = 5/20 = 1/4\)
Вправа\(\PageIndex{10}\)
Десять співробітників компанії щодня їздять на свої автомобілі до міста і паркуються випадково в десяти місцях. Яка (класична) ймовірність того, що в даний день Джим виявиться на третьому місці? Є\(n!\) однаково ймовірні способи\(n\) розставляти предмети (порядок важливий).
- Відповідь
-
10! перестановки,\(1 \times 9!\) перестановки з Джимом на місці 3. \(P = 9!/10! = 1/10\).
Вправа\(\PageIndex{11}\)
Розширення класичної моделі передбачає використання зон. За орієнтир береться певний регіон\(L\) (скажімо про землю). Для будь-якого субрегіону\(A\) визначте\(P(A) = area(A)/area(L)\). Показати, що\(P(\cdot)\) є мірою ймовірності на субрегіонах\(L\).
- Відповідь
-
Аддиктивність випливає з адитивності областей нероз'єднаних областей.
Вправа\(\PageIndex{12}\)
Джон думає, що ймовірність того, що Х'юстон Техасці виграють наступної неділі 0.3 і ймовірність Dallas Cowboys виграє 0.7 (вони не грають один одного). Він вважає, що ймовірність того, що обидва виграють десь між - скажімо, 0.5. Це розумне припущення? Обґрунтуйте свою відповідь.
- Відповідь
-
\(P(AB) = 0.5\)не є розумним. Вона не повинна перевищувати мінімум\(P(A) = 0.3\) і\(P(B) = 0.7\).
Вправа\(\PageIndex{13}\)
Припустимо\(P(A) = 0.5\), і\(P(B) = 0.3\). Яка найбільша можлива вартість\(P(AB)\)? Використовуючи максимальне значення\(P(AB)\), визначити\(P(AB^c)\),\(P(A^c B)\),\(P(A^c B^c)\) і\(P(A \cup B)\). Чи визначаються ці значення однозначно?
- Відповідь
-
Намалюйте діаграму Венна або використовуйте алгебраїчні вирази\(P(AB^c) = P(A) - P(AB) = 0.2\)
\(P(A^c B) = P(B) - P(AB) = 0\)\(P(A^c B^c) = P(A^c) - P(A^c B) = 0.5\)\(P(A \cup B) = 0.5\)
Вправа\(\PageIndex{14}\)
Для кожного з наведених нижче ймовірних «завдань» заповніть таблицю. Які завдання не допустимі? Поясніть чому, в кожному конкретному випадку.
\(P(A)\) | \(P(B)\) | \(P(AB)\) | \(P(A \cup B)\) | \(P(AB^c)\) | \(P(A^c B)\) | \(P(A) + P(B)\) |
0.3 | 0.7 | 0.4 | ||||
0.2 | 0.1 | 0.4 | ||||
0.3 | 0.7 | 0.2 | ||||
0.3 | 0.5 | 0 | ||||
0.3 | 0.8 | 0 |
- Відповідь
-
\(P(A)\) \(P(B)\) \(P(AB)\) \(P(A \cup B)\) \(P(AB^c)\) \(P(A^c B)\) \(P(A) + P(B)\) 0.3 0.7 0.4 0.6 -0.1 0.3 1.0 0.2 0.1 0.4 -0.1 -0.2 -0.3 0.3 0.3 0.7 0.2 0.8 0.1 0.5 1.0 0.3 0.5 0 0.8 0.3 0.5 0.8 0.3 0.8 0 1.1 0.3 0.8 1.1 Допустимі тільки третє і четверте завдання.
Вправа\(\PageIndex{15}\)
\(\{A, B, C\}\)Класом подій є розділ. Подія\(A\) вдвічі частіше, ніж\(C\) і подія\(B\) настільки ж імовірна, як комбінація\(A\) або\(C\). Визначте ймовірності\(P(A)\),\(P(B)\),\(P(C)\).
- Відповідь
-
\(P(A) + P(B) + P(C) = 1\),\(P(A) = 2P(C)\), і\(P(B) = P(A) + P(C) = 3P(C)\), що має на увазі
\(P(C) = 1/6\),\(P(A) = 1/3\),\(P(B) = 1/2\)
Вправа\(\PageIndex{16}\)
Визначте ймовірність з\(P(A \cup B \cup C)\) точки зору ймовірностей подій\(A, B, C\) і їх перетинів.
- Відповідь
-
\(P(A \cup B \cup C) = P(A \cup B) + P(C) - P(AC \cup BC)\)
\(= P(A) + P(B) - P(AB) + P(C) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)\)
Вправа\(\PageIndex{17}\)
Якщо настання події\(A\) передбачає виникнення\(B\), показати, що\(P(A^c B) = P(B) - P(A)\).
- Відповідь
-
\(P(AB) = P(A)\)і\(P(AB) + P(A^c B) = P(B)\) має на увазі\(P(A^c B) = P(B) - P(A)\).
Вправа\(\PageIndex{18}\)
Покажіть, що\(P(AB) \ge P(A) + P(B) - 1\).
- Відповідь
-
Випливає з\(P(A) + P(B) - P(AB) = P(A \cup B) \le 1\).
Вправа\(\PageIndex{19}\)
Набір комбінації\(A \oplus B = AB^c \bigvee A^c B\) відомий як диз'юнктивний союз або симетрична різниця\(A\) і\(B\). Це подія, яка тільки одна з подій\(A\) або\(B\) відбувається на судовому розгляді. \(P(A \oplus B)\)Визначте з точки зору\(P(A)\)\(P(B)\), і\(P(AB)\)
- Відповідь
-
Діаграма Венна показує\(P(A \oplus B) = P(AB^c) + P(AB^c) = P(A) + P(B) - 2P(AB)\).
Вправа\(\PageIndex{20}\)
Використовуйте фундаментальні властивості ймовірності, щоб показати
а.\(P(AB) \le P(A) \le P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\)
б.\(P(\bigcap_{j = 1}^{\infty} E_j) \le P(E_i) \le P(\bigcup_{j = 1}^{\infty} E_j) \le \sum_{j = 1}^{\infty} P(E_j)\)
- Відповідь
-
\(AB \subset A \subset A \cup B\)має на увазі\(P(AB) \le P(A) \le P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \le P(A) + P(B)\). Загальний випадок слід аналогічно, причому остання нерівність визначається субаддитивністю.
Вправа\(\PageIndex{21}\)
Припустимо\(P_1, P_2\), є міри ймовірності і\(c_1, c_2\) є позитивними числами такі, що\(c_1 + c_2 = 1\). Показати, що присвоєння\(P(E) = c_1 P_1(E) + c_2P_2(E)\) класу подій є мірою ймовірності. Така комбінація ймовірнісних заходів відома як суміш. Розширити це до
\(P(E) = \sum_{i = 1}^{n} c_i P_i (E)\), де\(P_i\) є ймовірності заходи\(c_i > 0\), і\(\sum_{i = 1}^{n} c_i = 1\)
- Відповідь
-
Чітко\(P(E) \ge 0\). \(P(\Omega) = c_1 P_1 (\Omega) + c_2 P_2 (\Omega) = 1\).
\(E = \bigvee_{i = 1}^{\infty} E_i\)має на увазі\(P(E) = c_1 \sum_{i = 1}^{\infty} P_1 (E_i) + c_2 \sum_{i = 1}^{\infty} P_2 (E_i) = \sum_{i =1}^{\infty} P(E_i)\)
Форма однакова для загального випадку, за винятком того, що сума двох членів замінюється сумою\(n\) термінів\(c_i P_i (E)\).
Вправа\(\PageIndex{22}\)
Припустимо,\(\{A_1, A_2, \cdot\cdot\cdot, A_n\}\) є розділом і\(\{c_1, c_2, \cdot\cdot\cdot, c_n\}\) є класом додатних констант. На кожну\(E\) подію нехай
\(Q(E) = \sum_{i = 1}^{n} c_i P(EA_i) / \sum_{i = 1}^{n} c_i P(A_i)\)
Покажіть, що\(Q(\cdot)\) нам міра ймовірності.
- Відповідь
-
Ясно\(Q(E) \ge 0\) і так як у\(A_i \Omega = A_i\) нас є\(Q(\Omega) = 1\). Якщо
\(E = \bigvee_{k = 1}^{\infty} E_k\), потім\(P(EA_i) = \sum_{k = 1}^{\infty} P(E_k A_i)\)\(\forall i\)
Взаємозміна порядку підсумовування показує, що\(Q\) є зліченно адитивним.