4.1: Гіпергеометричний розподіл

Last updated
Save as PDF

Page ID: 100119

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Найпростіша функція щільності ймовірності - гіпергеометрична. Це найголовніший, оскільки він створюється шляхом об'єднання наших знань про ймовірності з діаграм Венна, правил додавання та множення та комбінаторної формули підрахунку.

Щоб знайти кількість способів отримати 2 тузів з чотирьох в колоді ми обчислили:

\[\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)=\frac{4 !}{2 !(4-2) !}=6\nonumber\]

І якби нас не хвилювало, що ще у нас було в руці для інших трьох карт, ми б обчислили:

\[\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)=\frac{48 !}{3 ! 45 !}=17,296\nonumber\]

Збираючи це разом, ми можемо обчислити ймовірність отримання рівно двох тузів в 5-картковій покерній руці як:

\[\frac{\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{52} \\ {5}\end{array}\right)}=.0399\nonumber\]

Це рішення насправді просто розподіл ймовірностей, відомий як Hypergeometric. Узагальнена формула така:

\[h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\nonumber\]

де\(x\) = число, яке ми зацікавлені в отриманні з групи з об'єктами A.

\(h(x)\)- ймовірність\(x\) успіхів, в n спробах, коли успіхи A (aces в даному випадку) знаходяться в популяції, яка містить N елементів. Гіпергеометричний розподіл є прикладом дискретного розподілу ймовірностей, оскільки немає можливості часткового успіху, тобто не може бути покерних рук з 2 1/2 тузами. Сказано іншим способом, дискретна випадкова величина повинна бути цілим, або підрахунку, тільки число. Цей розподіл ймовірностей працює у випадках, коли ймовірність успіху змінюється з кожним розіграшем. Інший спосіб сказати це те, що події НЕ є незалежними. У використанні колоди карт, ми робимо вибірку БЕЗ заміни. Якщо ми повернемо кожну карту назад після того, як вона була намальована, то гіпергеометричний розподіл буде недоречним Pdf.

Щоб гіпергеометричні працювали,

популяція повинна бути розділена на дві і тільки дві незалежні підмножини (тузи і не-тузи в нашому прикладі). Випадкова величина\(X\) = кількість елементів з групи, що цікавить.
експеримент повинен мати мінливі ймовірності успіху з кожним експериментом (той факт, що карти не замінюються після розіграшу в нашому прикладі робить це вірним в даному випадку). Ще один спосіб сказати це те, що ви зразок без заміни, і тому кожен вибір не є незалежним.
випадкова величина повинна бути дискретною, а не безперервною.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Блюдо для цукерок містить 30 драже і 20 желейних крапель. Десять цукерок вибираються навмання. Яка ймовірність того, що 5 з 10 - це камеді? Дві групи - драже і камеді. Оскільки питання ймовірності запитує ймовірність підбирання жувальних крапель, група інтересів (перша група А у формулі) - це gumdrops. Розмір групи, що цікавить (перша група) - 30. Розмір другої групи - 20. Розмір проби - 10 (драже або мармелад). Нехай\(X\) = кількість крапель ясна в зразку 10. \(X\)бере на себе значення\(x = 0, 1, 2, ..., 10\). a. що таке заяву ймовірності написано математично? б Якою є функція гіпергеометричної щільності ймовірності, виписана для вирішення цієї задачі? в Який відповідь на питання «Яка ймовірність витягнути 5 крапель камеді в 10 пікіровках з страви?»

Відповідь: а.\(P(x=5)\)
б.\(P(x=5)=\frac{\left(\begin{array}{c}{30} \\ {5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{20} \\ {5}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{50} \\ {10}\end{array}\right)}\)
в.\(P(x=5)=0.215\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Мішок містить літерні плитки. Сорок чотири плитки - голосні, а 56 - приголосні. Сім плиток вибираються випадковим чином. Ви хочете знати ймовірність того, що чотири з семи плиток є голосними. Що таке група інтересів, розмір групи, що цікавить, і розмір вибірки?