4.2: Біноміальний розподіл

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 4.1: Гіпергеометричний розподіл
- 4.3: Геометричний розподіл

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Більш цінною функцією щільності ймовірності для багатьох застосувань є біноміальний розподіл. Цей розподіл буде обчислювати ймовірності для будь-якого біноміального процесу. Біноміальний процес, який часто називають процесом Бернуллі після того, як перша людина повністю розвинула свої властивості, - це будь-який випадок, коли в будь-якому одному дослідженні є лише два можливі результати, звані успіхами та невдачами. Свою назву він отримує від двійкової системи числення, де всі числа зводяться або до 1, або 0, що є основою для комп'ютерних технологій та музичних записів компакт-дисків.

Біноміальна формула

$b(x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\nonumber$

де $b(x)$ ймовірність $X$ успіхів у $n$ випробуваннях, коли ймовірність успіху в БУДЬ-ЯКОМУ ОДНОМУ ВИПРОБУВАННІ $p$ . І звичайно $q=(1-p)$ і є ймовірність невдачі в якомусь одному судовому процесі.

Тепер ми бачимо, чому комбінаторну формулу також називають біноміальним коефіцієнтом, оскільки вона знову з'являється тут у біноміальній функції ймовірності. Щоб біноміальна формула працювала, ймовірність успіху в будь-якому одному дослідженні повинна бути однаковою від судового розгляду до суду, або іншими словами, результати кожного судового розгляду повинні бути незалежними. Перегортання монети є біноміальним процесом, оскільки ймовірність отримати голову одним сальто не залежить від того, що сталося в ПОПЕРЕДНІХ сальто. (В цей час слід зазначити, що використання $p$ для параметра біноміального розподілу є порушенням правила, згідно з яким параметри населення позначаються грецькими літерами. У багатьох підручниках $\theta$ (вимовляється тета) використовується замість р і саме так і повинно бути.

Подібно до набору даних, функція щільності ймовірності має середнє значення та стандартне відхилення, яке описує набір даних. Для біноміального розподілу вони задаються формулами:

$\mu=np\nonumber$

$\sigma=\sqrt{n p q}\nonumber$

Зверніть увагу, що p є єдиним параметром у цих рівняннях. Таким чином, біноміальний розподіл розглядається як походить від однопараметричної сімейства розподілів ймовірностей. Коротше кажучи, ми знаємо все, що потрібно знати про біном, як тільки ми знаємо р, ймовірність успіху в будь-якому одному дослідженні.

У теорії ймовірностей за певних обставин один розподіл ймовірностей може бути використаний для наближення іншого. Ми говоримо, що одне - це граничний розподіл іншого. Якщо невелика кількість має бути взято з великої кількості населення, навіть якщо немає заміни, ми все одно можемо використовувати біноміальне, навіть вважаючи, що це не біноміальний процес. Якщо заміни немає, це порушує правило незалежності біноміала. Тим не менш, ми можемо використовувати біноміал для наближення ймовірності, яка дійсно є гіпергеометричним розподілом, якщо ми малюємо менше 10 відсотків населення, тобто n менше 10 відсотків N у формулі гіпергеометричної функції. Обгрунтування цього аргументу полягає в тому, що при малюванні невеликого відсотка населення ми не змінюємо ймовірність успіху від нічиї до малювання будь-яким значущим чином. Уявіть собі малювання не з однієї колоди з 52 карт, а з 6 колод карт. Імовірність того, що малювання туза не змінює умовної ймовірності того, що відбувається на другому нічиї так само, як, якби було лише 4 тузи, а не 24 тузи, з яких зараз потрібно витягнути. Ця здатність використовувати один розподіл ймовірностей для оцінки інших стане дуже цінною для нас пізніше.

Існує три характеристики біноміального експерименту.

Існує фіксована кількість випробувань. Подумайте про випробування як про повторення експерименту. Буква $n$ позначає кількість випробувань.
Випадкова величина $x$ , число успіхів, дискретна.
Є тільки два можливі результати, які називаються «успіх» і «невдача», для кожного судового розгляду. Буква $p$ позначає ймовірність успіху на якомусь одному випробуванні, і $q$ позначає ймовірність невдачі на якомусь одному випробуванні. $p + q = 1$ .
n випробувань є незалежними і повторюються з використанням однакових умов. Подумайте про це як креслення З заміною. Оскільки n випробувань незалежні, результат одного судового розгляду не допомагає передбачити результат іншого судового розгляду. Інший спосіб сказати це полягає в тому, що для кожного окремого випробування ймовірність успіху та ймовірності невдачі залишається однаковою. $p$ $q$ Наприклад, випадкове вгадування на правдиво-помилкове статистичне запитання має лише два результати. Якщо на успіх ворожіння правильно, то невдача ворожіння невірно. Припустимо, Джо завжди правильно вгадує по будь-якій статистиці істинно-помилкове питання з ймовірністю $p = 0.6$ . Потім, $q = 0.4$ . Це означає, що на кожне правдиво-помилкове статистичне запитання Джо відповідає, його ймовірність успіху ( $p = 0.6$ ) та його ймовірність невдачі ( $q = 0.4$ ) залишаються однаковими.

Результати біноміального експерименту відповідають біноміальному розподілу ймовірностей. Випадкова величина $X$ = кількість успіхів, отриманих в $n$ незалежних випробуваннях.

Середнє значення $\mu$ , і дисперсія $\sigma^2$ , для біноміального розподілу ймовірностей є $\mu = np$ і $\sigma^2 = npq$ . Стандартне відхилення $\sigma$ , то\ sigma = $\sqrt{n p q}$ .

Будь-який експеримент, який має характеристики три та чотири і де $n = 1$ називається випробуванням Бернуллі (названий на честь Якова Бернуллі, який наприкінці 1600-х років їх широко вивчав). Біноміальний експеримент відбувається, коли кількість успіхів підраховується в одному або декількох випробуваннях Бернуллі.

Приклад $\PageIndex{2}$

Припустимо, ви граєте в гру, яку ви можете тільки або виграти, або програти. Імовірність того, що ви виграєте будь-яку гру, становить 55%, а ймовірність того, що ви програєте - 45%. Кожна гра, в яку ви граєте, незалежна. Якщо ви граєте в гру 20 разів, напишіть функцію, яка описує ймовірність того, що ви виграєте 15 з 20 разів. Тут, якщо визначити $X$ як кількість виграшів, то $X$ приймає значення 0, 1, 2, 3,..., 20. Імовірність успіху є $p = 0.55$ . Імовірність поломки є $q = 0.45$ . Кількість випробувань - це $n = 20$ . Питання ймовірності може бути викладено математично як $P(x = 15)$

Вправа $\PageIndex{2}$

Тренер навчає дельфіна робити трюки. Імовірність того, що дельфін успішно виконає трюк, становить 35%, а ймовірність того, що дельфін не успішно виконає трюк, становить 65%. З 20 спроб хочеться знайти ймовірність того, що дельфіну вдасться 12 разів. Знайдіть за $P(X=12)$ допомогою біноміального Pdf

Приклад $\PageIndex{3}$

Справедлива монета перевертається 15 разів. Кожен фліп незалежний. Яка ймовірність отримати більше десяти голів? Нехай $X$ = кількість голів в 15 сальто справедливої монети. $X$ приймає значення 0, 1, 2, 3,..., 15. Так як монета справедлива, $p = 0.5$ і $q = 0.5$ . Кількість випробувань - це $n = 15$ . Викладіть питання ймовірності математично.

Відповідь: $P (x > 10)$

Приклад $\PageIndex{4}$

Приблизно 70% студентів статистики роблять домашнє завдання вчасно, щоб його збирали та оцінювали. Кожен учень робить домашнє завдання самостійно. У класі статистики з 50 учнів, яка ймовірність того, що принаймні 40 вчасно виконають домашнє завдання? Студенти вибираються випадковим чином.

a Це біноміальна проблема, оскільки є лише успіх або __________, існує фіксована кількість випробувань, а ймовірність успіху становить 0,70 для кожного випробування.

Відповідь: a. невдача

б. якщо нас цікавить кількість учнів, які вчасно виконують домашнє завдання, то як ми визначаємо $X$ ?

Відповідь: b. $X$ = кількість учнів статистики, які вчасно виконують домашнє завдання

c Які значення $x$ набуває?

Відповідь: c. 0, 1, 2,..., 50

d Що таке «провал», на словах?

Відповідь

d Невдача визначається як студент, який не виконує свою домашню роботу вчасно.

Імовірність успіху є $p = 0.70$ . Кількість випробувань - це $n = 50$ .

е. якщо $p + q = 1$ , то що таке $q$ ?

Відповідь: е. $q = 0.30$

f Слова «хоча б» переводять як яку нерівність для ймовірності питання $P(x$ ____ 40).

Відповідь: f. більше або дорівнює ( $\geq$ )
Питання ймовірності є $P(x \geq 40)$ .

Вправа $\PageIndex{4}$

Шістдесят п'ять відсотків людей здають державний іспит водія з першого разу. Група з 50 осіб, які склали іспит з водія, вибирається випадковим чином. Наведіть дві причини, чому це біноміальна проблема

Вправа $\PageIndex{4}$

Під час регулярного сезону НБА 2013 року ДеАндре Джордан з «Лос-Анджелес Кліпперс» мав найвищий показник завершення голів у лізі. ДеАндре забив 61,3% своїх пострілів. Припустимо, ви вибрали випадкову вибірку з 80 знімків, зроблених ДеАндре протягом сезону 2013 року. Нехай $X$ = кількість пострілів, які набрали очки.

Для чого потрібен розподіл ймовірностей $X$ ?
Використовуючи формули, обчислити (i) середнє і (ii) стандартне відхилення $X$ .
Знайдіть ймовірність того, що ДеАндре забив 60 з цих пострілів.
Знайдіть ймовірність того, що ДеАндре забив більш ніж 50 з цих пострілів.