6.2: Стандартний нормальний розподіл

Z-результати

Стандартний нормальний розподіл - це нормальний розподіл стандартизованих значень, званих z-scores. Z-оцінка вимірюється в одиницях стандартного відхилення.

Визначення: Z-Score

Якщо$X$ є нормально розподіленою випадковою величиною і$X \sim N(\mu, \sigma)$, то z -score дорівнює:

$$z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \label{zscore}$$

z -score говорить вам, скільки стандартних відхилень значення$x$ вище (праворуч) або нижче (ліворуч від) середнього,$\mu$. Значення$x$ яких більші за середнє мають позитивні$z$ -оцінки, а значення$x$ яких менші за середнє мають негативні$z$ -бали. Якщо$x$ дорівнює середньому, то$x$ має$z$ -score нуль. Наприклад, якщо середнє значення нормального розподілу дорівнює п'яти, а стандартного відхилення - два, значення 11 - це три стандартні відхилення вище (або праворуч від) середнього. Розрахунок відбувається наступним чином:

$$\begin{align*} x &= \mu + (z)(\sigma) \\[5pt] &= 5 + (3)(2) = 11 \end{align*}$$

Z -оцінка дорівнює трьом.

Оскільки середнє значення для стандартного нормального розподілу дорівнює нулю, а стандартне відхилення дорівнює одиниці, то перетворення в Equation\ ref {zscore} дає розподіл$Z \sim N(0, 1)$. Значення$x$ походить від нормального розподілу із середнім$\mu$ і стандартним відхиленням$\sigma$.

Z-оцінка вимірюється в одиницях стандартного відхилення.

Приклад$\PageIndex{1}$

Припустимо$X \sim N(5, 6)$. Це говорить про те, що$x$ це нормально розподілена випадкова величина із середнім$\mu = 5$ і стандартним відхиленням$\sigma = 6$. Припустимо$x = 17$. Потім (через рівняння\ ref {zscore}):

$$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma} = \dfrac{17-5}{6} = 2 \nonumber$$

Це означає, що$x = 17$ це два стандартних відхилення (2$\sigma$) вище або праворуч від середнього$\mu = 5$. Стандартне відхилення - це$\sigma = 6$.

Зверніть увагу, що:$5 + (2)(6) = 17$ (Візерунок є$\mu + z \sigma = x$)

Тепер припустимо$x = 1$. Потім:

$$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma} = \dfrac{1-5}{6} = -0.67 \nonumber$$

(округлено до двох знаків після коми)

Це означає,$x = 1$ що$0.67$ стандартні відхилення ($–0.67\sigma$) нижче або вліво від середнього$\mu = 5$. Зверніть увагу, що: приблизно$5 + (–0.67)(6)$ дорівнює одиниці (Це має візерунок$\mu + (–0.67)\sigma = 1$)

Підсумовуючи, коли$z$ позитивний,$x$ знаходиться вище або праворуч від,$\mu$ а коли$z$ негативний,$x$ знаходиться ліворуч або нижче$\mu$. Або,$z$ коли$x$ позитивний, більше$\mu$, а коли$z$$x$ негативний менше$\mu$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Що таке$z$ -оцінка$x$, коли$x = 1$ і$X \sim N(12, 3)$?

Відповідь

$z = \dfrac{1-12}{3} \approx -3.67$

Приклад$\PageIndex{2}$

Деякі лікарі вважають, що людина може втратити п'ять фунтів, в середньому, за місяць, зменшуючи споживання жиру та послідовно займаючись фізичними вправами. Припустимо, втрата ваги має нормальний розподіл. Нехай$X =$ кількість втраченої ваги (в фунтах) людиною за місяць. Використовуйте стандартне відхилення в два кілограми. $X \sim N(5, 2)$. Заповніть заготовки.

1. Припустимо, людина втратила десять кілограмів за місяць. The$z$ -score, коли$x = 10$ фунти є$x = 2.5$ (перевірити). Цей$z$ -оцінка говорить вам, що$x = 10$ це ________ стандартні відхилення до ________ (праворуч або ліворуч) середнього _____ (Що таке середнє?).
2. Припустимо, людина набрала три кілограми (негативна втрата ваги). Потім$z =$ __________. Цей$z$ -оцінка говорить вам, що$x = -3$ це ________ стандартні відхилення до __________ (праворуч або ліворуч) середнього.

Відповіді

a Цей$z$ -score говорить вам, що$x = 10$ це 2.5 стандартні відхилення праворуч від середньої п'ятірки.

б. припустимо випадкові$Y$ величини$X$ і мають такі нормальні розподіли:$X \sim N(5, 6)$ і$Y \sim N(2, 1)$. Якщо$x = 17$, то$z = 2$. (Це було показано раніше.) Якщо$y = 4$, що таке$z$?

$$z = \dfrac{y-\mu}{\sigma} = \dfrac{4-2}{1} = 2 \nonumber$$

де$\mu = 2$ і$\sigma = 1$.

$z$-оцінка для$y = 4$ є$z = 2$. Це означає, що чотири - це$z = 2$ стандартні відхилення праворуч від середнього. Отже,$x = 17$ і обидва$y = 4$ є двома (своїми власними) стандартними відхиленнями праворуч від відповідних засобів.

z -score дозволяє нам порівнювати дані, які масштабуються по-різному. Щоб зрозуміти концепцію, припустимо,$X \sim N(5, 6)$ представляє збільшення ваги для однієї групи людей, які намагаються набрати вагу протягом шести тижнів і$Y \sim N(2, 1)$ вимірює однаковий набір ваги для другої групи людей. Негативним збільшенням ваги буде втрата ваги. Оскільки$x = 17$ і$y = 4$ є кожними двома стандартними відхиленнями праворуч від своїх засобів, вони являють собою однаковий, стандартизований набір ваги щодо своїх засобів.

Вправа$\PageIndex{2}$

Заповніть заготовки.

Джером в середньому 16 очок гри зі стандартним відхиленням в чотири очки. $X \sim N(16, 4)$. Припустимо, Джером набирає десять очок у грі. $z$—score, коли$x = 10$ є$-1.5$. Цей бал говорить вам, що$x = 10$ це _____ стандартні відхилення до ______ (праворуч або ліворуч) середнього______ (Що таке середнє?).

Відповідь

1.5, ліворуч, 16

Емпіричне правило

Якщо$X$ є випадковою величиною і має нормальний розподіл із$\mu$ середнім і стандартним відхиленням$\sigma$, то Емпіричне правило говорить наступне:

• Близько 68%$x$ значень лежать між —1$\sigma$ і +1$\sigma$ від середнього$\mu$ (в межах одного стандартного відхилення від середнього).
• Близько 95%$x$ значень лежать між —2$\sigma$ і +2$\sigma$ від середнього$\mu$ (в межах двох стандартних відхилень від середнього).
• Близько 99,7%$x$ значень лежать між —3$\sigma$ і +3$\sigma$ від середнього$\mu$ (в межах трьох стандартних відхилень від середнього). Зверніть увагу, що практично всі$x$ значення лежать в межах трьох стандартних відхилень від середнього.
• $z$-бали для +1$\sigma$ і —1$\sigma$ складають +1 і —1 відповідно.
• $z$-бали для +2$\sigma$ і —2$\sigma$ складають +2 і —2 відповідно.
• $z$-бали для +3$\sigma$ і -3$\sigma$ складають +3 і —3 відповідно.

Емпіричне правило також відоме як правило 68-95-99.7.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Середній зріст 15-18-річних самців з Чилі з 2009 по 2010 рік становив 170 см зі стандартним відхиленням 6,28 см. Чоловічі висоти, як відомо, дотримуються нормального розподілу. Нехай$X =$ зріст 15-18-річного чоловіка з Чилі в 2009 по 2010 рік. Потім$X \sim N(170, 6.28)$.

1. Припустимо, що 15-18-річний чоловік з Чилі був 168 см у висоту з 2009 по 2010 рік. $z$-оцінка, коли$x = 168$ см дорівнює$z =$ _______. Цей$z$ -оцінка говорить вам, що$x = 168$ це ________ стандартні відхилення до ________ (праворуч або ліворуч) середнього _____ (Що таке середнє?).
2. Припустимо, що зріст 15-18-річного чоловіка з Чилі з 2009 по 2010 рік має$z$ -оцінка$z = 1.27$. Який зріст самця? $z$-score ($z = 1.27$) говорить вам, що зріст самця становить ________ стандартні відхилення до __________ (праворуч або ліворуч) середнього.

Відповіді

1. —0.32, 0.32, лівий, 170
2. 177.98, 1.27, праворуч

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуйте інформацію в прикладі,$\PageIndex{3}$ щоб відповісти на наступні запитання.

1. Припустимо, що 15-18-річний чоловік з Чилі був 176 см у висоту з 2009 по 2010 рік. $z$-оцінка, коли$x = 176$ см дорівнює$z =$ _______. Цей$z$ -бал говорить вам, що$x = 176$ см - це ________ стандартні відхилення до ________ (праворуч або ліворуч) середнього _____ (Що таке середнє?).
2. Припустимо, що зріст 15-18-річного чоловіка з Чилі з 2009 по 2010 рік має$z$ -оцінка$z = –2$. Який зріст самця? $z$-score ($z = –2$) говорить вам, що зріст самця становить ________ стандартні відхилення до __________ (праворуч або ліворуч) середнього.

Відповідь

Розв'яжіть рівняння$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$ для$z$. $x = \mu+ (z)(\sigma)$

$z = \dfrac{176-170}{6.28}$, Ця z -оцінка говорить вам, що$x = 176$ см дорівнює 0,96 стандартних відхилень праворуч від середнього 170 см.

Відповідь

Розв'яжіть рівняння$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$ для$z$. $x = \mu+ (z)(\sigma)$

$X = 157.44$см, The$z$ -score ($z = –2$) говорить про те, що зріст самця - це два стандартних відхилення зліва від середнього.

Приклад$\PageIndex{4}$

З 1984 по 1985 рік середній зріст 15-18-річних самців з Чилі становив 172,36 см, а стандартне відхилення - 6,34 см. Нехай зростання$Y =$ від 15 до 18-річних самців з 1984 по 1985 рік. Потім$Y \sim N(172.36, 6.34)$.

Середній зріст 15-18-річних самців з Чилі з 2009 по 2010 рік становив 170 см зі стандартним відхиленням 6,28 см. Чоловічі висоти, як відомо, дотримуються нормального розподілу. Нехай$X =$ зріст 15-18-річного чоловіка з Чилі в 2009 по 2010 рік. Потім$X \sim N(170, 6.28)$.

Знайдіть z -бали для$x = 160.58$ см і$y = 162.85$ см. Інтерпретувати кожен$z$ -score. Що можна сказати про$x = 160.58$ см і$y = 162.85$ см?

Відповідь

• $z$-score (Рівняння\ ref {zscore}) для$x = 160.58$ є$z = –1.5$.
• $z$-оцінка для$y = 162.85$ є$z = –1.5$.

Обидва$x = 160.58$ і$y = 162.85$ відхиляються однакову кількість стандартних відхилень від відповідних засобів і в тому ж напрямку.

Вправа$\PageIndex{4}$

У 2012 році іспит SAT склали 1 664 479 студентів. Розподіл балів в словесному розділі САТ мало середнє$\mu = 496$ і стандартне відхилення$\sigma = 114$. Нехай$X =$ SAT іспит словесний розділ оцінка в 2012 році. Потім$X \sim N(496, 114)$.

Знайти$z$ -бали для$x_{1} = 325$ і$x_{2} = 366.21$. Інтерпретувати кожен$z$ -score. Що можна сказати про$x_{1} = 325$ і$x_{2} = 366.21$?

Відповідь

z -оцінка (рівняння\ ref {zscore}) для$x_{1} = 325$ є$z_{1} = –1.15$.

z -оцінка (рівняння\ ref {zscore}) для$x_{2} = 366.21$ є$z_{2} = –1.14$.

Студент 2 забив ближче до середнього, ніж Студент 1 і, так як вони обидва мали негативні$z$ -бали, Студент 2 мав кращий бал.

Приклад$\PageIndex{5}$

Припустимо, х має нормальний розподіл із середнім значенням 50 і стандартним відхиленням 6.

• Близько 68% значень х лежать в межах одного стандартного відхилення від середнього. Тому близько 68% значень х лежать між —1σ = (—1) (6) = —6 і 1σ = (1) (6) = 6 від середнього 50. Значення 50 - 6 = 44 і 50 + 6 = 56 знаходяться в межах одного стандартного відхилення від середнього 50. Z-бали складають —1 і +1 для 44 і 56 відповідно.
• Близько 95% значень х лежать в межах двох стандартних відхилень від середнього. Тому близько 95% значень х лежать між —2σ = (—2) (6) = —12 і 2σ = (2) (6) = 12. Значення 50 - 12 = 38 і 50 + 12 = 62 знаходяться в межах двох стандартних відхилень від середнього 50. Z-бали складають —2 і +2 для 38 і 62 відповідно.
• Близько 99,7% значень х лежать в межах трьох стандартних відхилень від середнього. Тому близько 99,7% значень х лежать між —3σ = (—3) (6) = —18 і 3σ = (3) (6) = 18 від середнього 50. Значення 50 - 18 = 32 і 50 + 18 = 68 знаходяться в межах трьох стандартних відхилень від середнього 50. Z-бали складають —3 і +3 для 32 і 68 відповідно.

Вправа$\PageIndex{5}$

Припустимо,$X$ має нормальний розподіл із середнім значенням 25 і середнім відхиленням п'ять. Між якими значеннями$x$ лежать 68% значень?

Відповідь

між 20 і 30.

Приклад$\PageIndex{6}$

З 1984 по 1985 рік середній зріст 15-18-річних самців з Чилі становив 172,36 см, а стандартне відхилення - 6,34 см. Нехай$Y =$ зріст від 15 до 18-річних чоловіків в 1984 по 1985 рік. Потім$Y \sim N(172.36, 6.34)$.

1. Близько 68%$y$ значень лежать між якими двома значеннями? Ці значення є ________________. $z$-бали є ________________ відповідно.
2. Близько 95%$y$ значень лежать між якими двома значеннями? Ці значення є ________________. $z$-бали є ________________ відповідно.
3. Близько 99,7%$y$ значень лежать між якими двома значеннями? Ці значення є ________________. $z$-бали є ________________ відповідно.

Відповідь

1. Близько 68% значень лежать між 166,02 і 178,7. $z$-бали становлять —1 і 1.
2. Близько 95% значень лежать між 159,68 і 185,04. $z$-оцінки становлять —2 і 2.
3. Близько 99,7% значень лежать між 153,34 і 191,38. $z$-оцінки становлять —3 і 3.

Вправа$\PageIndex{6}$

Бали на вступному іспиті до коледжу мають приблизний нормальний розподіл із середнім,$\mu = 52$ балами та стандартним відхиленням,$\sigma = 11$ балами.

1. Близько 68%$y$ значень лежать між якими двома значеннями? Ці значення є ________________. $z$-бали є ________________ відповідно.
2. Близько 95%$y$ значень лежать між якими двома значеннями? Ці значення є ________________. $z$-бали є ________________ відповідно.
3. Близько 99,7%$y$ значень лежать між якими двома значеннями? Ці значення є ________________. $z$-бали є ________________ відповідно.

Відповідь на

Близько 68% значень лежать між значеннями 41 і 63. $z$-бали складають —1 і 1 відповідно.

Відповідь б

Близько 95% значень лежить між значеннями 30 і 74. $z$-бали складають —2 і 2 відповідно.

Відповідь c

Близько 99,7% значень лежать між значеннями 19 і 85. $z$-бали складають —3 і 3 відповідно.

Резюме

A$z$ -score - це стандартизоване значення. Його розподіл є стандартним нормальним,$Z \sim N(0,1)$. The mean of the $z$-scores is zero and the standard deviation is one. If $y$ is the z -score для значення$x$ from the normal distribution $N(\mu, \sigma)$ then $z$ tells you how many standard deviations $x$ is above (greater than) or below (less than) $\mu$.

Огляд формули

$Z \sim N(0, 1)$

$z = a$стандартизоване значення ($z$-оцінка)

середнє = 0; стандартне відхилення = 1

Щоб знайти$K$ ^{процентиль} того,$X$ коли відомі$z$ -бали:

$k = \mu + (z)\sigma$

$z$-оцінка:$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$

$Z =$випадкова величина для z -scores

$Z \sim N(0, 1)$

Глосарій

Стандартний нормальний розподіл

неперервна випадкова величина (RV)$X \sim N(0, 1)$; коли$X$ слідує за стандартним нормальним розподілом, вона часто відзначається як\ (Z\ sim N (0, 1)\.

$z$-оцінка

лінійне перетворення форми$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$; якщо це перетворення застосовується до будь-якого нормального розподілу, результатом$X \sim N(\mu, \sigma$ є стандартний нормальний розподіл$Z \sim N(0,1)$. Якщо це перетворення застосовується до будь-якого конкретного$x$ значення RV із середнім$\mu$ і стандартним відхиленням$\sigma$, результат називається$z$ -score of$x$. $z$-score дозволяє нам порівнювати дані, які зазвичай розподіляються, але масштабуються по-різному.

Посилання

1. «Артеріальний тиск чоловіків і жінок». Старт Крюч, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.statcrunch.com/5.0/viewre...reportid=11960 (доступ до 14 травня 2013 р.).
2. «Використання епідеміологічних інструментів у постраждалих від конфлікту населення: освітні ресурси з відкритим доступом для політиків: розрахунок z-балів». Лондонська школа гігієни та тропічної медицини, 2009. Доступно в Інтернеті за адресою http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (доступ до 14 травня 2013 р.).
3. «2012 Коледж Bound старших людей загального профілю групи звіт.» Коледжська рада, 2012. Доступно в Інтернеті за адресою media.collegeboard.com/digita... Group-2012.pdf (доступ до 14 травня 2013).
4. «Дайджест статистики освіти: ACT оцінка середній і стандартні відхилення за статтю і расовий/етнічної приналежності і відсоток учасників тестування ACT, за вибраними складовими діапазонами балів і запланованих областях дослідження: Вибрані роки, 1995 по 2009». Національний центр статистики освіти. Доступний в Інтернеті за адресою nces.ed.gov/програми/дайджест/д... s/dt09_147.asp (доступ до 14 травня 2013).
5. Дані з San Jose Mercury News.
6. Дані Всесвітнього альманаху та Книги фактів.
7. «Список стадіонів по місткості». Вікіпедія. Доступно в Інтернеті за адресою uk.wikipedia.org/wiki/list_o... ms_by_capacity (доступ до 14 травня 2013 р.).
8. Дані Національної баскетбольної асоціації. Доступно в Інтернеті за адресою www.nba.com (доступ до 14 травня 2013 р.).