Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.1: Стандартний нормальний розподіл

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    99628

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Стандартний нормальний розподіл - це нормальний розподіл стандартизованих значень, званих z-scores. Z -оцінка вимірюється в одиницях стандартного відхилення.

    Середнє значення для стандартного нормального розподілу дорівнює нулю, а стандартне відхилення - одиниця. Те, що це робить, різко спрощує математичний розрахунок ймовірностей. Візьміть момент і підставте нуль і одиницю у відповідні місця у наведеній вище формулі, і ви можете побачити, що рівняння руйнується в одне, яке можна набагато легше вирішити за допомогою інтегрального числення. Трансформація\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\) виробляє розподіл\(Z \sim N(0, 1)\). Значення\(x\) в даному рівнянні походить від відомого нормального розподілу з відомим середнім\(\mu\) і відомим стандартним відхиленням\(\sigma\). Z-оцінка говорить про те, скільки стандартних відхилень конкретний\(x\) знаходиться далеко від середнього.

    Z-бали

    Якщо\(X\) є нормально розподіленою випадковою\(X \sim N(\mu, \sigma)\) величиною і, то z-оцінка для\(x\) конкретної:

    \[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]

    z -score говорить вам, скільки стандартних відхилень значення\(\bf{x}\) вище (праворуч) або нижче (ліворуч від) середнього,\(\bf{\mu}\). Значення\(x\) яких більші за середнє мають позитивні z-оцінки, а значення\(x\) яких менші за середнє мають негативні z-оцінки. Якщо х дорівнює середньому, то х має z-бал нуль.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Припустимо\(X \sim N(5, 6)\). Це говорить про те, що\(X\) це нормально розподілена випадкова величина із середнім\(\mu = 5\) і стандартним відхиленням\(\sigma = 6\). Припустимо\(x = 17\). Потім:

    \[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{17-5}{6}=2\nonumber\]

    Це означає, що\(x = 17\) це два стандартних відхилення\((2\sigma)\) вище або праворуч від середнього\(\mu = 5\).

    Тепер припустимо\(x = 1\). Потім:\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{1-5}{6}=-0.67\) (округлено до двох знаків після коми)

    Це означає,\(\bf{x = 1}\) що 0,67 стандартних відхилень\(\bf{(–0.67\sigma)}\) нижче або вліво від середнього\(\bf{\mu = 5}\).

    Емпіричне правило

    Якщо\(X\) є випадковою величиною і має нормальний розподіл із\(\mu\) середнім і стандартним відхиленням\(\sigma\), то Емпіричне правило стверджує наступне:

    • Близько 68%\(x\) значень лежать між\(–1\sigma\) і\(+1\sigma\) від середнього\(\mu\) (в межах одного стандартного відхилення від середнього).
    • Близько 95%\(x\) значень лежать між\(–2\sigma\) і\(+2\sigma\) середнім\(\mu\) (в межах двох стандартних відхилень від середнього).
    • Близько 99,7%\(x\) значень лежать між\(–3\sigma\) і\(+3\sigma\) середнім\(\mu\) (в межах трьох стандартних відхилень від середнього). Зверніть увагу, що майже всі значення x лежать в межах трьох стандартних відхилень від середнього.
    • Z-бали для\(+1\sigma\) і\(–1\sigma\) є\(+1\) і\(–1\), відповідно.
    • Z-бали для\(+2\sigma\) і\(–2\sigma\) є\(+2\) і\(–2\), відповідно.
    • Z-бали для\(+3\sigma\) і\(–3\sigma\) є\(+3\) і\(–3\) відповідно.
    Ця частотна крива ілюструє емпіричне правило. Нормальна крива показана над горизонтальною віссю. Вісь маркується точками -3s, -2s, -1s, m, 1s, 2s, 3s. Вертикальні лінії з'єднують вісь з кривою в кожній маркованій точці. Пік кривої вирівнюється з точкою m.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Припустимо,\(x\) має нормальний розподіл із середнім значенням 50 і стандартним відхиленням 6.

    • Близько 68%\(x\) значень лежать в межах одного стандартного відхилення від середнього. Тому близько 68%\(x\) значень лежать між\(–1\sigma = (–1)(6) = –6\) і\(1\sigma = (1)(6) = 6\) середніми 50. Значення\(50 – 6 = 44\) і\(50 + 6 = 56\) знаходяться в межах одного стандартного відхилення від середнього 50. Z-бали складають —1 і +1 для 44 і 56 відповідно.
    • Близько 95%\(x\) значень лежать в межах двох стандартних відхилень від середнього. Тому близько 95%\(x\) значень лежать між\(–2\sigma = (–2)(6) = –12\) і\(2\sigma = (2)(6) = 12\). Значення\(50 – 12 = 38\) і\(50 + 12 = 62\) знаходяться в межах двох стандартних відхилень від середнього 50. Z-бали складають —2 і +2 для 38 і 62 відповідно.
    • Близько 99,7%\(x\) значень лежать в межах трьох стандартних відхилень від середнього. Тому близько 99,7%\(x\) значень лежать між\(–3\sigma = (–3)(6) = –18\) і\(3\sigma = (3)(6) = 18\) середніми 50. Значення\(50 – 18 = 32\) і\(50 + 18 = 68\) знаходяться в межах трьох стандартних відхилень від середніх 50. Z-оцінки складають —3 і +3 для 32 і 68 відповідно.