Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.2: Крива щільності нормального розподілу

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66550

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    1. Визначте властивості кривої нормальної щільності та залежність між увігнутістю та стандартним відхиленням.
    2. Перетворення між z-оцінками та областями під нормальною кривою ймовірності.
    3. Обчисліть ймовірності, які відповідають лівій, правій та середній областях з таблиці z-score.
    4. Обчисліть ймовірності, які відповідають лівій, правій та середній областях за допомогою графічного калькулятора.
    5. Обчислити для невідомих значень, відмінних від z-score і площі.

    Вступ

    У цьому розділі ми продовжимо наше дослідження нормальних розподілів, щоб включити криві щільності та вивчимо різні методи обчислення ймовірностей з кривої нормальної щільності.

    Криві щільності

    Крива щільності - це ідеалізоване уявлення про розподіл, в якому площа під кривою визначена рівною 1. Криві щільності не повинні бути нормальними, але крива нормальної щільності буде для нас найбільш корисною.

    clipboard_e55debb140b50395d23f02df4f6532705.png

    Точки перегину на кривій нормальної щільності

    З емпіричного правила ми вже знаємо, що приблизно\(\dfrac{2}{3}\) дані в нормальному розподілі лежить в межах 1 стандартного відхилення від середнього. При нормальній кривій щільності це означає, що близько 68% загальної площі під кривою знаходиться в межах z-балів\(±1\). Подивіться на наступні три криві щільності:

    clipboard_e2fda7c72c9da7175992992365a4d325c.png

    Зверніть увагу, що криві поширюються все ширше. Лінії були намальовані, щоб показати точки, які є одним стандартним відхиленням по обидва боки середнього. Подивіться, де це відбувається на кожній кривій щільності.

    Ось нормальний розподіл з ще більшим стандартним відхиленням.

    clipboard_ec49ac19b24a9565677c2c92d614d1b26.png

    Чи можна передбачити стандартне відхилення цього розподілу шляхом оцінки\(x\) -координати точки на кривій щільності? Читайте далі, щоб дізнатися!

    Можливо, ви помітили, що крива щільності змінює форму у двох точках кожного з наших прикладів. Це точки, де крива змінює увігнутість. Починаючи від середнього і прямуючи назовні вліво і вправо, крива увігнута вниз. (Це схоже на гору, або «\(n\)» форму.) Після проходження цих точок крива увігнута вгору. (Це виглядає як долина, або '\(u\)' форма.) Точки, в яких крива змінюється від увігнутої до увігнутої вниз, називаються точками перегину. На кривій нормальної щільності ці точки перегину завжди рівно на одне стандартне відхилення від середнього.

    clipboard_e2388c90c4abe165bfd76d30d9698c7d7.png

    У цьому прикладі стандартне відхилення становить 3 одиниці. Ми можемо використовувати цю концепцію для оцінки стандартного відхилення нормально розподіленого набору даних.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Оцініть стандартне відхилення розподілу, представлене наступною гістограмою.

    clipboard_e79fd6fd1a0942641cf432f6da1e6b623.png

    Рішення

    Цей розподіл є досить нормальним, тому ми могли б намалювати криву щільності, щоб наблизити її наступним чином:

    clipboard_e9ae06771dc0008ac38f370117bcc7c37.png

    Тепер оцініть точки перегину, як показано нижче:

    clipboard_e5e82ab30b1d03737849dd79fa39853bc.png

    Виявляється, що середнє значення становить близько 0,5 і що\(x\) -координати точок перегину приблизно 0,45 і 0,55 відповідно. Це призведе до оцінки приблизно 0,05 для стандартного відхилення.

    Фактична статистика для цього розподілу наступна:

    \(s ≈ 0.04988\)

    \(\overline{x} ≈ 0.4997\)

    Ми можемо перевірити ці цифри, використовуючи очікування від емпіричного правила. На наступному графіку ми виділили бункери, які містяться в межах одного стандартного відхилення від середнього.

    clipboard_e358399bfbe569b52330fcf02930cd484.png

    Якщо оцінити відносні частоти від кожного бункера, їх загальна сума надзвичайно близька до 68%. Обов'язково розділіть відносні частоти від бункерів на кінцях на 2 під час виконання розрахунку.

    Перетворення між z-балами та областями

    Хоча зручно оцінювати площі під нормальною кривою за допомогою емпіричного правила, нам часто потрібні більш точні методи для обчислення цих площ. На щастя, ми можемо використовувати формули чи технології, щоб допомогти нам у розрахунках.

    z-бали

    Всі нормальні розподіли мають однакову базову форму, а отже, масштабування та повторне центрування можуть бути реалізовані для зміни будь-яких нормальних розподілів на один із середнім значенням 0 і стандартним відхиленням 1. Така конфігурація іменується стандартним звичайним дистрибутивом. У стандартному нормальному розподілі змінною по горизонтальній осі є z-оцінка. Цей бал є ще одним показником ефективності індивідуального балу в популяції. Щоб переглянути, z-оцінка вимірює, скільки стандартних відхилень оцінка знаходиться далеко від середнього. Z-оцінка терміна\(x\) в розподілі населення, середнє значення якого дорівнює\(µ\) і стандартне відхилення якого\(σ\) задається:\(\dfrac{x-µ}{σ}\). Оскільки\(σ\) завжди позитивний,\(z\) буде позитивним,\(x\) коли більше,\(µ\) і негативним\(x\), коли менше\(µ\). Z-оцінка\(0\) означає, що термін має те саме значення, що і середнє. Значення\(z\) - це число стандартних відхилень, при якому\(x\) дане значення вище або нижче середнього.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    На загальнонаціональному математичному тесті середнє значення становило 65, а стандартне відхилення - 10. Якби Роберт набрав 81, який був його z-рахунок?

    Рішення

    \(z = \dfrac{x-µ}{σ}\)

    \(z = \dfrac{81-65}{1.6}\)

    \(z = 10\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    На вступному іспиті до коледжу середнє значення становило 70, а стандартне відхилення - 8. Якщо Z-бал Хелен становив −1,5, який її бал на іспиті?

    Рішення

    Нагадаємо, рівняння для отримання\(x\) є

    \(x = µ +zσ\)

    Використовуючи це рівняння, ми можемо знайти оцінку Олени:

    \(x = µ +zσ\)

    \(x = 70 +(-1.5)(8)\)

    \(x = 58\)

    Тепер ви побачите, як z-scores використовуються для визначення ймовірності події.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Припустимо, ви повинні були кинути 8 монет 256 разів. На наступному малюнку показані гістограма та апроксимуюча нормальна крива для експерименту. Випадкова величина представляє кількість отриманих хвостів.

    clipboard_ea6f1c576e8c9b3c087ab9de0139bb301.png

    Синій ділянку графіка представляє ймовірність того, що рівно 3 монети вийшли вгору хвостами. Геометрично ця ймовірність являє собою площу синьої затіненої смуги, поділену на загальну площу барів. Площа синьої затіненої смуги приблизно дорівнює площі під нормальною кривою від 2,5 до 3,5.

    Оскільки ділянки під нормальними кривими відповідають ймовірності події, для обчислення ймовірностей використовується спеціальна нормальна таблиця розподілу. Цю таблицю можна знайти в кінці цього розділу, де площа задана від середнього значення. Нижче наведено приклад таблиці z-балів і коротке пояснення того, як це працює: http://tinyurl.com/2ce9ogv.

    Значення всередині наведеної таблиці представляють області під стандартною нормальною кривою для значень від 0 до відносної z-оцінки. Наприклад, щоб визначити площу під кривою між zscores 0 та 2.36, знайдіть у клітинці, що перетинається, рядок з міткою 2.3 та стовпчик з позначкою 0.06. Площа під кривою дорівнює 0,4909. Щоб визначити площу між 0 і від'ємним значенням, подивіться в пересічну комірку рядка та стовпця, яка дорівнює абсолютному значенню відповідного числа. Наприклад, площа під кривою між −1,3 та 0 дорівнює площі під кривою між 1,3 та 0, тому зверніть увагу на комірку, яка є перетином рядків 1.3 та стовпчика 0.00. (Площа 0.4032.)

    Обчисліть ймовірності, які відповідають z-балам та областям

    Вкрай важливо, особливо коли ви вперше починаєте з цих розрахунків, щоб ви отримали звичку відносити його до нормального розподілу шляхом складання ескізу ситуації. У цьому випадку просто намалюйте ескіз стандартної нормальної кривої з відповідною областю, затіненою і позначеною.

    clipboard_e1b837635dfe4481b2c5ec2e115fae7cf.png

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Знайдіть ймовірність вибору значення, яке більше\(z = −0.528\), або\(P(z > −0.528)\).

    Рішення

    Перш ніж навіть користуватися таблицею, спочатку намалюйте фігуру з затіненою областю. Ця z-оцінка трохи нижче середнього, тому відповідь повинна бути більше 0,5.

    clipboard_e004dd255a98a67e325ae735bc55db0d5.png

    Далі прочитайте таблицю, щоб знайти правильну ймовірність для даних нижче цього z-score. Ми повинні спочатку округлити цю z-оцінку до −0.53, тому це трохи недооцінює ймовірність, але це найкраще, що ми можемо зробити за допомогою таблиці. Подивившись z-бал −0.53, ми бачимо

    z 0.00 0,01 0,02 0,03
    0.00 0,00000 0,00399 0,00798 0.01197
    0,10 0.03983 0.04380 0.04776 0.05172
    0,20 0.07926 0.08317 0.08706 0.09095
    0,30 0.11791 0,12712 0,12552 0,12930
    0,40 0.15542 0.15910 0,16276 0,1640
    0,50 0.19146 0,19497 0,19847 0.2019

    Таблиця повертає площу 0,20194. Так як площа від середнього до\(z = −0.53\) є\(0.20194\) і площа праворуч від середнього дорівнює 0,5, то площа затіненої області дорівнює

    \(0.5 + 0.20194 = 0.70194\)

    Таким чином, ймовірність вибору значення, яке більше, ніж\(z = −0.528\) є\(0.7019\).

    Як щодо значень між двома z-балами? Хоча це цікава і корисна вправа, щоб зробити це за допомогою таблиці, ми також можемо використовувати статистичне програмне забезпечення або графічний калькулятор.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Знайти\(P(−2.60 < z < 1.30)\).

    Рішення

    Спочатку малюємо фігуру з затіненої областю:

    clipboard_e1876142893d20ed7f63f141e029826a8.png

    Оскільки таблиця дає нам площу від середнього до z-оцінки, ми бачимо, що ми додамо області, область 1 + область 2, щоб отримати площу затіненої області, що призводить до ймовірності. Давайте подивимося на z-оцінки на таблиці, щоб знайти площу від середнього до кожного z-score:

    z 0.00
    1.30 0,40320
    2.60 0,49534

    Площа 1 є\(0.49534\) і Площа 2 є\(0.40320\). Склавши ці два разом, отримуємо

    \(P(−2.60 < z < 1.30)= \text{ Area } 1 + \text{ Area } 2 = 0.49534 + 0.40320 = 0.89854\)

    Таким чином, ймовірність\(P(−2.60 < z < 1.30) = 0.89854\).

    Імовірність також можна дізнатися за допомогою калькулятора TI-83/84. Скористайтеся командою 'normalcdf (−2.60, 1.30, 0, 1) ', і калькулятор поверне результат 0.898538. Синтаксис цієї команди є 'normalcdf (min, max, μ, σ) '. При використанні цієї команди не потрібно спочатку стандартизувати. Можна використовувати середнє і стандартне відхилення заданого розподілу.

    Примітка технології: Команда «normalcdf (») на калькуляторі TI-83/84

    Ваш графічний калькулятор вже запрограмований для обчислення ймовірностей для нормальної кривої щільності за допомогою так званої функції кумулятивної щільності. Команду, яку ви будете використовувати, можна знайти в меню DISTR, яке ви можете викликати натисканням [2ND] [DISTR].

    clipboard_e1e131e3ffe96383fe61d470adda38b12.png

    Натисніть [2], щоб вибрати команду 'normalcdf (', яка має синтаксис 'normalcdf (нижня межа, верхня межа, середнє, стандартне відхилення)'.

    Команда була запрограмована так, що якщо ви не вкажете середнє і стандартне відхилення, за замовчуванням буде стандартна нормальна крива, з\(µ = 0\) і\(σ = 1\).

    Наприклад, введення 'normalcdf (−1, 1) 'вкаже область в межах одного стандартного відхилення від середнього, яке, як ми вже знаємо, становить приблизно 0,68.

    clipboard_ebee14d8a33c8b08ec6a421546f371b8d.png

    Спробуйте перевірити інші значення з Емпіричного правила.

    Резюме:

    'Normalcdf (\(a,b,µ,σ\)) 'дає значення кумулятивної функції нормальної щільності. Іншими словами, він дає ймовірність події, що відбувається між\(x = a\) і\(x = b\), або площа під кривою щільності ймовірності між вертикальними лініями\(x = a\) і\(x = b\), де нормальний розподіл має середнє значення\(µ\) і стандартне відхилення\(σ\). Якщо\(µ\) і\(σ\) не вказані, то передбачається, що\(µ = 0\) і\(σ = 1\).

    clipboard_e9065415bcb545b719ba18019fa7ea1ba.png

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Знайдіть ймовірність\(P(z < −1.58)\).

    Рішення

    Спочатку малюємо фігуру з затіненої областю:

    clipboard_ed4311ba32e5808b8dd306b6e5f9dfcd3.png

    Оскільки таблиця дає нам площу від середнього до z-оцінки, а загальна площа зліва від середнього дорівнює 0,5, ми бачимо, що віднімемо площу, задану в таблиці, від 0,5, щоб отримати площу затіненої області, в результаті чого ймовірність. Давайте подивимося на z-рахунок на таблиці, щоб знайти площу від середнього до z-score:

    z 0,08
    1,50 0,44295

    Площа від середнього до\(z = –1.58\) є\(0.44295\). Віднімаючи це з\(0.5\), отримуємо

    \(P(z < −1.58) = 0.5 – 0.44295 = 0.05705\)

    Роблячи це на калькуляторі, ми повинні мати як верхню, так і нижню межу. Однак технічно крива щільності не має нижньої межі, оскільки вона триває нескінченно в обох напрямках. Однак ми знаємо, що дуже невеликий відсоток даних нижче 3 стандартних відхилень зліва від середнього. Використовуйте −3 як нижню межу і подивіться, яку відповідь ви отримаєте.

    clipboard_e93418cbcbc3f3c9f5b73dc080cadf4af.png

    Відповідь досить точна, але ви повинні пам'ятати, що під кривою щільності ймовірності все ще є якась область, хоча вона лише невелика, яку ми залишаємо поза увагою, якщо зупинимося на −3. Якщо подивитися на z-таблицю, то можна побачити, що ми, по суті, залишаємо осторонь\(0.5 − 0.4987 = 0.0013\). Далі спробуйте вийти на −4 та −5.

    clipboard_e4b1b8abe9d92e426543b7d8d57f69010.png

    Як тільки ми дійдемо до −5, відповідь буде досить точною. Оскільки ми не можемо насправді захопити всі дані, введення досить невеликого значення повинно бути достатньо для будь-якого розумного ступеня точності. Швидким і простим способом впоратися з цим є введення −99999 (або «купа дев'яток»). Це дійсно не має значення, скільки дев'яток ви вводите. Різниця між п'ятьма і шістьма дев'ятками буде за межі точності, яку може відобразити навіть ваш калькулятор.

    clipboard_e4bb7f8e9f43ac2d9b2867f51bbc5ada3.png

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Знайдіть ймовірність\(P(0 < z < 1.78)\).

    Рішення

    Спочатку малюємо фігуру з затіненої областю:

    clipboard_e7c587ff8d8d91a942383d59dcd485e15.png

    Оскільки таблиця дає нам площу від середнього до z-score, ми можемо бачити, що будь-яка область, задана з таблиці, призводить до ймовірності. Давайте подивимося на z-рахунок на таблиці, щоб знайти площу від середнього до z-score.

    z 0,08
    1,70 0,46246

    Площа від середнього до\(z = 1.78\) є\(0.46246\). Таким чином,

    \(P(z < 1.78) = 0.46246\)

    Ми маємо перевагу за допомогою калькулятора, тому що нам не потрібно округлити z-рахунок у цьому прикладі. Давайте спробуємо цей приклад з калькулятором. Введіть команду 'normalcdf (', використовуючи −0.528 до «купу дев'яток». Дев'ятки являють собою смішно велику верхню межу, яка застрахує, що неврахована ймовірність буде настільки маленькою, що її буде практично неможливо виявити.

    clipboard_e22bbc1dee9da31bc6e998b90b55232d8.png

    Пам'ятайте, що через округлення наша відповідь з таблиці була трохи занадто маленькою, тому, коли ми віднімали його з\(1\), наша остаточна відповідь була трохи занадто великою. Відповідь калькулятора про\(0.70125\) є більш точним наближенням, ніж відповідь, отриманої за допомогою таблиці.

    Стандартизація

    У більшості практичних проблем, пов'язаних з нормальними розподілами, крива не буде такою, як ми бачили досі, з\(µ = 0\) і\(σ = 1\). При використанні z-таблиці спочатку доведеться стандартизувати розподіл шляхом обчислення z-score (s).

    Приклад\(\PageIndex{9}\)

    Цукеркова компанія продає невеликі мішки цукерок і намагається зберегти кількість штук в кожному мішку однаковим, хоча невеликі відмінності через випадкові зміни в процесі упаковки призводять до різних кількостей в окремих упаковках. Експерт з контролю якості від компанії визначив, що середня кількість штук в кожному мішку зазвичай розподіляється, із середнім значенням 57,3 та стандартним відхиленням 1,2. Енді відкрив мішок з цукерками і відчув, що його обдурили. Його мішок містив всього 55 цукерок. Чи є у Енді підстави скаржитися?

    Рішення

    Щоб визначити, чи обдурили Енді, нам потрібно знайти ймовірність вибору пакетика цукерок з 55 і меншою кількістю цукерок, т. Е\(x = 55\). Розрахуємо z-бал для 55:

    \(z = \dfrac{x-µ}{σ}\)

    \(z = \dfrac{55-57.3}{1.2}\)

    \(z ≈ -1.91\)

    Далі ми можемо намалювати фігуру, щоб побачити затінену область:

    clipboard_e2041b491f7d5dea24f16945fc398ccfa.png

    Використовуючи таблицю, отримуємо значення\(0.47193\). Це область від середнього до\(z = −1.91\). Ми можемо відняти це значення,\(0.5\) оскільки площа зліва від середнього дорівнює\(0.5\):

    \(0.5 − 0.47193 = 0.02807\)

    Отже, існує близько 3% шансів, що він отримає мішок цукерок з 55 або менше штук, тому Енді повинен відчувати себе обдуреним, тому що шанси отримати мішок з 55 або менше цукерок настільки низькі.

    Використовуючи графічний калькулятор, результати виглядатимуть наступним чином (функція «Ans» була використана, щоб уникнути округлення z-рахунку):

    clipboard_e635fa728e0ab5268cfa5a082a59440e1.png

    Однак однією з переваг використання калькулятора є те, що його не потрібно стандартизувати. Ми можемо просто ввести середнє і стандартне відхилення від початкового розподілу населення цукерок, уникаючи розрахунку z-оцінка повністю.

    clipboard_e3db571289c26f7fc32059b5e23b79348.png

    Проблеми з невідомим значенням

    Якщо ви розумієте взаємозв'язок між площею під кривою щільності і середнім, стандартним відхиленням і z-оцінками, ви повинні мати можливість вирішувати завдання, в яких вам надаються всі, крім одного, ці значення і просять обчислити значення, що залишилося. На останньому уроці ми знайшли ймовірність того, що змінна знаходиться в певному діапазоні, або площа під кривою щільності в межах цього діапазону. Що робити, якщо вас попросять знайти значення, яке дає певну ймовірність? Переписуємо формулу z-score\(z = \dfrac{x-µ}{σ}\) як

    \(x = µ +z \cdot σ\;\;\; \text{ or }\;\;\; µ = x - z \cdot σ\)

    Невідоме початкове значення,\(x\)

    Приклад\(\PageIndex{10}\)

    З огляду на нормально-розподілену випадкову величину\(x\)\(σ = 7.4\), при\(µ = 35\) і, яка величина\(x\) де ймовірність випробувати значення менше, ніж вона становить 80%?

    Рішення

    Як було запропоновано раніше, важливо і корисно накидати розподіл.

    clipboard_e42cd22ccb903fd23af94928cd762f58b.png

    Нам потрібно знайти z-рахунок з таблиці, який відповідає площі від середнього. Так як площа зліва від середнього є\(0.5\), ми бачимо, що площа від середнього до\(x\) є\(0.30\), т. Е.

    \(P(z < x) = 0.8\)

    і це означає, що

    \(P(0 < z < x) = 0.8 − 0.5 = 0.3\)

    Нам потрібно знайти, десь в областях, заданих в таблиці, область\(0.3\) (або найближчу до неї) і відповідну їй z-оцінку. Давайте подивимося:

    z 0,04 0,05
    0,80 0,2995 0,30234

    Ми бачимо найближчу область до\(0.3\), наведену в таблиці, є\(0.29955\), яка має відповідний z-оцінка\(0.84\). Отже, ми використовуємо\(z = 0.84\) для z-score у формулі для отримання\(x\). Враховуючи\(µ = 35\) і\(σ = 7.4\), отримуємо

    \(x = µ +z \cdot σ\)

    \(x = 35 + 0.84(7.4)\)

    \(x = 41.216\)

    Таким чином, значення того,\(x\) де ймовірність випробувати значення менше, ніж\(80 \% \) є\(41.216\). Загалом, коли ми хочемо отримати\(x\) значення з заданої ймовірності, ми спочатку знаходимо z-score, а потім plug-n-chug це в переписану формулу z-score.

    Коли нам дали значення змінної і попросили знайти відсоток або ймовірність, команда 'normalcdf ('на графічному калькуляторі. Але як ми знаходимо значення, враховуючи відсоток? Графічні калькулятори та комп'ютерне програмне забезпечення набагато зручніше і точніше. Команда на калькуляторі TI-83/84 є 'InvNorm ('. Можливо, ви бачили це вже в меню DISTR.

    clipboard_efb4b725fc1137074a07f0189bbe1ff20.png

    Синтаксис цієї команди виглядає наступним чином:

    'InvNorm (відсоток або ймовірність ліворуч, середнє, стандартне відхилення) '

    Обов'язково введіть значення у правильному порядку, наприклад, у наведеному нижче прикладі:

    clipboard_e6c16dbf2d9feedb942a99ec40b2facb2.png

    Невідоме середнє або стандартне відхилення

    Приклад\(\PageIndex{11}\)

    Для нормально розподіленої випадкової величини\(σ = 4.5\),\(x = 20\),, і\(P = 0.05\), знайти\(.\)

    Рішення

    Щоб вирішити цю проблему, спочатку намалюйте ескіз:

    clipboard_ee5d08aa93f6165ce894b70e6015c1f12.png

    Нам потрібно знайти z-рахунок з таблиці, який відповідає площі від середнього. Так як область зліва від\(x = 20\) є\(0.05\), ми бачимо, що площа від середнього до\(x\) є\(0.45\), т. Е.

    \(P(z < x) = 0.05\)

    і це означає, що

    \(P(x < z < 0) = 0.5 − 0.05 = 0.45\)

    Нам потрібно знайти, десь в областях, заданих в таблиці, область\(0.45\) (або найближчу до неї) і відповідну їй негативну z-оцінку, так як\(x\) значення лежить нижче середнього. Давайте подивимося:

    z 0,04 0,05
    1.60 0,44950 0,45953

    Ми бачимо найближчу область до\(0.45\), наведену в таблиці, є\(0.44950\), яка має відповідний z-оцінка\(-1.64\). Нагадаємо, z-оцінка негативна, оскільки значення x лежить нижче середнього. Отже, ми використовуємо\(z = −1.64\) для z-score у формулі для отримання\(x\). Враховуючи\(σ = 4.5\) і\(x = 20\), отримуємо

    \(µ = x-z \cdot σ\)

    \(µ = 20 - (-1.64)(4.5)\)

    \(µ = 41.216\)

    Таким чином, середнє значення є\(27.38\).

    Ми також можемо використовувати команду «invNorm (» на калькуляторі. Результат\(−1.645\), підтверджує прогноз, що значення менше 2 стандартних відхилень від середнього.

    Тепер підключіть відомі величини до формули z-score і вирішіть наступне:\(µ\)

    \(z = \dfrac{x - µ}{σ}\)

    \(µ = x-zσ\)

    \(µ ≈ 20 - (-1.645)(4.5)\)

    \(z ≈ 27.402\)

    Ми бачимо, що було мало розбіжностей від використання таблиці та використання калькулятора. Однак, оскільки ми були око з таблиці, калькулятор дає більш точні результати.

    Приклад\(\PageIndex{12}\)

    Для нормально-розподіленої випадкової величини,\(µ = 83\),\(x = 94\), і\(P = 0.90\). Знайти\(σ\).

    Рішення

    Знову ж таки, давайте спочатку розглянемо ескіз дистрибутива.

    clipboard_e1cc3894a0721dc0e392f1244fb7da4a2.png

    Оскільки приблизно 97.5% даних нижче 2 стандартних відхилень, здається розумним оцінити, що\(x\) значення менше двох стандартних відхилень від середнього, і це\(σ\) може бути навколо\(7\) або\(8\).

    Знову ж таки, перший крок, щоб побачити, чи правильне наше прогнозування, - це використовувати «invNorm (» для обчислення z-оцінки. Пам'ятайте, що оскільки ми не вводимо середнє або стандартне відхилення, результат ґрунтується на припущенні, що\(µ = 0\) і\(σ = 1\).

    clipboard_e58261ff274f8f66cf3421559744be609.png

    Тепер скористайтеся формулою z-score і вирішіть наступне:\(σ\)

    \(z = \dfrac{x - µ}{σ}\)

    \(σ = \dfrac{x - µ}{z}\)

    \(σ = \dfrac{94 - 83}{1.282}\)

    \(σ ≈ 8.583 \)

    Примітка технології: нанесення розподілу на калькуляторі TI-83/84

    Калькулятор TI-83/84 намалює для вас розподіл, але перш ніж це зробити, нам потрібно встановити відповідне вікно (див. Скрин нижче) і видалити або вимкнути будь-які функції або графіки. Давайте використаємо останній приклад і намалюємо затінену область нижче\(94\) під нормальною кривою за допомогою\(µ = 83\) і\(σ = 8.583\). Пам'ятайте з емпіричного правила, що ми, ймовірно, хочемо показати про\(3\) стандартні відхилення\(83\) в будь-якому напрямку. Якщо ми використовуємо в\(9\) якості кошторису для\(σ\), то ми повинні відкрити наші віконні\(27\) блоки вище і нижче\(83\). \(y\)Налаштування можуть бути трохи хитрими, але, трохи потренувавшись, ви звикнете визначати максимальний відсоток площі поблизу середнього.

    clipboard_e22d450ef80838dfaee66b81ea1927040.png

    Причина того, що ми пішли нижче осі х, полягає в тому, щоб залишити місце для тексту, як ви побачите.

    Тепер натисніть [2ND] [DISTR] і стрілка до меню DRAW.

    Виберіть команду «Shadenorm (». За допомогою цієї команди ви вводите значення так само, як якщо б ви робили розрахунок «нормальний cdf (». Синтаксис команди «ShadeNorm (» такий: 'ShadeNorm (нижня межа, верхня межа, середнє, стандартне відхилення) '

    Введіть значення, показані на наступному скріншоті:

    clipboard_ec926ed0f5feb49b9d1c520ff4d8b6051.png

    Далі натисніть [ENTER], щоб побачити результат. Воно повинно з'явитися наступним чином:

    clipboard_ef9ed79d1cd80e6963db6189762346fdd.png

    Примітка до технології: Команда «normalpdf (») на калькуляторі TI-83/84

    Можливо, ви помітили, що першим варіантом у меню DISTR є 'normalpdf (', що означає нормальну функцію щільності ймовірності. Це варіант, який ви використовували в Уроці 5.1 для малювання графіка нормального розподілу. Багато студентів задаються питанням, для чого ця функція і іноді навіть використовують її помилково, щоб обчислити те, що вони вважають кумулятивними ймовірностями, але ця функція насправді є математичною формулою для малювання нормального розподілу. Ви можете знайти цю формулу в ресурсах в кінці уроку, якщо вам цікаво. Числа, які повертає ця функція, насправді не корисні для нас статистично. Основна мета цієї функції полягає в тому, щоб намалювати нормальну криву.

    Для цього спочатку обов'язково вимкніть будь-які ділянки і очистіть будь-які функції. Потім натисніть [Y=], вставте 'normalpdf (', введіть' X 'і закрийте дужки, як показано на малюнку. Оскільки ми не вказали середнє і стандартне відхилення, буде намальована стандартна нормальна крива. Нарешті, введіть наступні параметри вікна, які необхідні для того, щоб відповідати більшій частині кривої на екрані (подумайте про емпіричне правило при вирішенні налаштувань), і натисніть [GRAPH]. Нормальна крива нижче повинна з'явитися на вашому екрані.

    clipboard_e7d17d67c0e250d8721c6183ed50f92a7.png

    Важливі посилання: Таблиці та калькулятори

    • Це посилання веде вас до таблиці z-score та пояснення того, як її використовувати: http://tinyurl.com/2ce9ogv
    • Ось звичайний калькулятор розподілу. Використовуйте цей калькулятор, щоб перевірити свої відповіді та намалювати фігуру: http://tinyurl.com/n6uwo5m

    Вправи

    1. Оцініть стандартне відхилення наступного розподілу.

    clipboard_e3ca4fa04416f07a745d934433077ce5c.png

    2. Обчисліть наступні ймовірності, використовуючи тільки z-таблицю. Покажіть всі свої роботи.

    а)\(P(z ≥−0.79)\)

    б)\(P(−1 ≤ z ≤ 1)\) Показати всі роботи.

    в)\(P(−1.56 < z < 0.32)\)

    3. Клас статистики Бріель пройшов тест, і результати були зазвичай розподілені, із середнім значенням 85 та стандартним відхиленням 7. Вона хотіла обчислити відсоток класу, який отримав B (між 80 і 90). Вона скористалася своїм калькулятором і була спантеличена результатом. Ось скріншот її калькулятора:

    clipboard_ed3c76e16a3b8c4346b2d18612b6f1275.png

    Поясніть їй помилку і отриману відповідь на калькуляторі, а потім розрахуйте правильну відповідь.

    4. Який клас краще: A 78 на тесті, середнє значення якого 72, а стандартне відхилення - 6,5, або 83 на тесті, середнє значення якого становить 77, а стандартне відхилення - 8,4. Обґрунтуйте свою відповідь і намалюйте ескізи кожного розподілу.

    5. Вчителі A і B мають підсумкові бали іспиту, які приблизно зазвичай розподіляються, при цьому середнє значення для Вчителя А дорівнює 72, а середнє значення для вчителя B дорівнює 82. Стандартне відхилення балів вчителя А становить 10, а стандартне відхилення балів вчителя B - 5.

    а) З яким викладачем оцінка 90 більш вражаюча? Підтримайте свою відповідь відповідними розрахунками ймовірності та ескізом.

    б) З яким викладачем оцінка 60 більше бентежить? Знову ж таки, підтримайте свою відповідь відповідними розрахунками ймовірності та ескізом.

    6. Для кожної з наступних задач,\(X\) є безперервна випадкова величина з нормальним розподілом і заданим середнім і стандартним відхиленням. \(P\)ймовірність того, що значення розподілу буде менше\(x\). Знайдіть відсутнє значення та намалюйте та затіньте розподіл.

    Середнє Стандартне відхилення \(x\) \(P\), ймовірність
    85 4.5 0,68
    1 16 0,05
    73 85 0.91
    93 5 0,90

    7. Що таке z-оцінка для нижньої квартилі в стандартному нормальному розподілі?