4.5: Геометричний розподіл

Існує три основні характеристики геометричного експерименту.

1. Є одне або кілька випробувань Бернуллі з усіма невдачами, крім останнього, який є успішним. Іншими словами, ви продовжуєте повторювати те, що робите до першого успіху. Тоді ви зупиняєтеся. Наприклад, ви кидаєте дротик в яблучко, поки не потрапите в яблучко. Перший раз, коли ви потрапили в яблучко - це «успіх», тому ви перестанете кидати дротик. Це може зайняти шість спроб, поки ви не потрапили в яблучко. Ви можете думати про випробування як невдачу, невдачу, невдачу, невдачу, невдачу, успіх, СТОП.
2. Теоретично кількість випробувань могло тривати назавжди. Повинен бути хоча б один судовий розгляд.
3. Імовірність успіху та ймовірності невдачі однакова для кожного судового процесу.$p$$q$ $p + q = 1$і$q = 1 − p$. Наприклад, ймовірність прокатки трійки, коли ви кидаєте одну справедливу смерть, є$\dfrac{1}{6}$. Це правда незалежно від того, скільки разів ви котите плашку. Припустимо, ви хочете дізнатися ймовірність отримання перших трьох на п'ятому рулоні. На рулони один через чотири ви не отримаєте обличчя з трійкою. Імовірність для кожного з валків є$q = \dfrac{5}{6}$, ймовірність виходу з ладу. Імовірність отримання трійки на п'ятому рулоні є$\left(\dfrac{5}{6}\right)\left(\dfrac{5}{6}\right)\left(\dfrac{5}{6}\right)\left(\dfrac{5}{6}\right)\left(\dfrac{1}{6}\right) = 0.0804$.

$X =$кількість незалежних випробувань до першого успіху.

Ви граєте в азартну гру, яку ви можете або виграти, або програти (інших можливостей немає), поки не програєте. Ваша ймовірність програшу є$p = 0.57$. Яка ймовірність того, що потрібно п'ять ігор, поки ви не програєте? Нехай кількість ігор$X =$, які ви граєте, поки не програєте (включає програшну гру). Потім$X$ бере на себе значення 1, 2, 3,... (Може тривати нескінченно). Ймовірність питання є$P(x = 5)$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Ви граєте в азартну гру, яку ви можете або виграти, або програти (інших можливостей немає), поки не програєте. Ваша ймовірність програшу є$p = 0.57$. Яка ймовірність того, що потрібно п'ять ігор, поки ви не програєте? Нехай кількість ігор$X =$, які ви граєте, поки не програєте (включає програшну гру). Потім$X$ бере на себе значення 1, 2, 3,... (Може тривати нескінченно). Ймовірність питання є$P(x = 5)$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Ви кидаєте дартс на дошку, поки не потрапите в центральну область. Ваша ймовірність попадання в центральну область є$p = 0.17$. Ви хочете знайти ймовірність того, що потрібно вісім кидків, поки ви не потрапите в центр. Які значення$X$ набуває?

Відповідь

$1, 2, 3, 4, \dotsc, n$. Це може тривати нескінченно довго.

Приклад$\PageIndex{2}$

Інженер з безпеки вважає, що 35% всіх промислових аварій на її заводі спричинені невиконанням працівниками інструкцій. Вона вирішує подивитися звіти про нещасні випадки (вибрані випадковим чином і замінені в купі після прочитання), поки не знайде той, який показує аварію, спричинену невиконанням працівників інструкцій. В середньому, скільки звітів очікує поглянути інженер з безпеки, поки вона не знайде звіт, що показує аварію, спричинену невиконанням працівником інструкцій? Яка ймовірність того, що інженер з безпеки повинен буде вивчити принаймні три звіти, поки вона не знайде звіт, що показує нещасний випадок, спричинений невиконанням працівником інструкцій?

Нехай$X$ = кількість аварій, які інженер з безпеки повинен вивчити, поки вона не знайде звіт, що показує нещасний випадок, спричинений невиконанням працівником інструкцій. $X$приймає на себе значення 1, 2, 3,... Перше питання просить вас знайти очікуване значення або середнє значення. Друге питання просить вас знайти$P(x \geq 3)$. («Принаймні» перекладається на символ «більше або дорівнює»).

Вправа$\PageIndex{2}$

Інструктор відчуває, що 15% студентів отримують нижче C на підсумковому іспиті. Вона вирішує подивитися на випускні іспити (вибрані випадково і замінені в купі після прочитання), поки вона не знайде той, який показує оцінку нижче C. Ми хочемо знати ймовірність того, що інструктор повинен буде вивчити принаймні десять іспитів, поки вона не знайде один з оцінкою нижче C. викладено математично?

Відповідь

$P(x \leq 10)$

Приклад$\PageIndex{3}$

Припустимо, що ви шукаєте студента у вашому коледжі, який живе в межах п'яти миль від вас. Ви знаєте, що 55% з 25 000 студентів живуть в межах п'яти миль від вас. Ви випадково контактуєте зі студентами з коледжу, поки хтось не скаже, що він або вона живе в межах п'яти миль від вас. Яка ймовірність того, що потрібно зв'язатися з чотирма людьми?

Це геометрична проблема, тому що у вас може виникнути ряд невдач, перш ніж ви отримаєте той успіх, який ви хочете. Крім того, ймовірність успіху залишається незмінною кожного разу, коли ви запитуєте студента, чи живе він або вона в межах п'яти миль від вас. Немає певної кількості випробувань (кількість разів ви запитуєте студента).

1. Нехай$X =$ номер ____________ ви повинні запитати ____________ один говорить так.
2. Які значення$X$ набуває?
3. Що таке$p$ і$q$?
4. Питання ймовірності$P($ _______$)$.

Рішення

1. Нехай кількість студентів$X =$, яких ви повинні запитати, поки хтось не скаже «так».
2. 1, 2, 3,..., (загальна кількість студентів)
3. $p = 0.55; q = 0.45$
4. $P(x = 4)$

Вправа$\PageIndex{3}$

Потрібно знайти магазин, який несе в собі спеціальні чорнило принтера. Ви знаєте, що з магазинів, які несуть чорнило принтера, 10% з них несуть спеціальні чорнило. Ви випадковим чином телефонуєте в кожен магазин, поки один не має чорнила, які вам потрібні. Що таке$p$ і$q$?

Відповідь

$p = 0.1$

$q = 0.9$

Позначення для геометричного:$G =$ Geometric Probability Distribution Function

$X \sim G(p)$

Прочитайте це як "$X$є випадковою величиною з геометричним розподілом.» Параметр$p =$ є$p$; ймовірність успіху для кожного випробування.

Приклад$\PageIndex{4}$

Припустимо, що ймовірність несправного компонента комп'ютера дорівнює 0,02. Компоненти вибираються випадковим чином. Знайдіть ймовірність того, що перший дефект викликаний сьомим випробуваним компонентом. Скільки компонентів ви очікуєте перевірити, поки один не виявиться несправним?

Нехай$X$ = кількість протестованих компонентів комп'ютера, поки не буде виявлено перший дефект.

$X$приймає значення 1, 2, 3,... де$p = 0.02$. $X \sim G(0.02)$

Знайти$P(x = 7)$. $P(x = 7) = 0.0177$.

Щоб знайти ймовірність того$x = 7$,

• Вхід ^2-й, ДИСТРИР
• Прокрутіть вниз і виберіть geometpdf (
• Натисніть ENTER
• Введіть 0.02, 7); натисніть ENTER, щоб побачити результат:$P(x = 7) = 0.0177$

Щоб знайти ймовірність цього$x \leq 7$, дотримуйтесь тих же інструкцій EXCEPT виберіть E: geometcdf як функцію розподілу.

Імовірність того, що сьомий компонент є першим дефектом, дорівнює 0,0177.

Графік$X \sim G(0.02)$ - це:

Малюнок$\PageIndex{1}$

У -осі міститься ймовірність того$x$, де$X =$ протестовано кількість комп'ютерних компонентів.

Кількість компонентів, які ви очікували б перевірити, поки не знайдете перший дефектний, є середнім,$\mu = 50$.

Формула середнього значення дорівнює

$$\mu = \dfrac{1}{\text{p}} = \dfrac{1}{0.02} = 50$$

Формула для дисперсії

$$\sigma^{2} = \left(\dfrac{1}{p}\right)\left(\dfrac{1}{p} - 1 \right) = \left(\dfrac{1}{0.02}\right)\left(\dfrac{1}{0.02} - 1 \right) = 2,450$$

Стандартне відхилення

$$\sigma = \sqrt{\left(\dfrac{1}{p}\right)\left(\dfrac{1}{p} - 1\right)} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{0.02}\right)\left(\dfrac{1}{0.02} - 1\right)} = 49.5$$

Вправа$\PageIndex{4}$

Імовірність дефектного сталевого стрижня дорівнює 0,01. Сталеві прути вибираються навмання. Знайдіть ймовірність того, що перший дефект виникне на дев'ятому сталевому стрижні. Скористайтеся калькулятором TI-83+ або TI-84, щоб знайти відповідь.

Відповідь

$P(x = 9) = 0.0092$

Приклад$\PageIndex{5}$

Довічний ризик розвитку раку підшлункової залози становить приблизно один з 78 (1,28%). Нехай кількість людей$X =$, яких ви запитуєте, поки хтось не скаже, що у нього рак підшлункової залози. Потім$X$ - дискретна випадкова величина з геометричним розподілом:$X \sim G\left(\dfrac{1}{78}\right)$ або$X \sim G(0.0128)$.

1. Яка ймовірність того, що ви запитаєте десять людей, перш ніж хтось скаже, що у нього рак підшлункової залози?
2. Яка ймовірність того, що ви повинні запитати 20 осіб?
3. Знайти (i) середнє і (ii) стандартне відхилення$X$.

Відповідь

1. $P(x = 10) = \text{geometpdf}(0.0128, 10) = 0.0114$
2. $P(x = 20) = \text{geometpdf}(0.0128, 20) = 0.01$
3. 1. Середнє$= \mu = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{0.0128} = 78$
   2. Стандартне відхилення$= \sigma = \sqrt{\dfrac{1-p}{p^{2}}} = \sqrt{\dfrac{1-0.0128}{0.0128^{2}}} \approx 77.6234$

Вправа$\PageIndex{5}$

Рівень грамотності для нації вимірює частку людей віком від 15 років, які вміють читати та писати. Рівень грамотності жінок в Афганістані становить 12%. Нехай$X =$ кількість афганських жінок ви запитаєте, поки хтось не скаже, що вона грамотна.

1. Що таке розподіл ймовірностей$X$?
2. Яка ймовірність того, що ви запитаєте п'ять жінок, перш ніж одна скаже, що вона грамотна?
3. Яка ймовірність того, що ви повинні запитати десять жінок?
4. Знайти (i) середнє і (ii) стандартне відхилення$X$.

Відповідь

1. $X \sim G(0.12)$
2. $P(x = 5) = \text{geometpdf}(0.12, 5) = 0.0720$
3. $P(x = 10) = \text{geometpdf}(0.12, 10) = 0.0380$
4. 1. Середнє$= \mu = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{0.12} \approx 3333$
   2. Стандартне відхилення$= \sigma = \dfrac{1-p}{p^{2}} = \dfrac{1-0.12}{0.12^{2}} \approx 7.8174$

Посилання

1. «Міленіали: портрет покоління наступного», Дослідницький центр PewResearchCenter. Доступний в Інтернеті за адресою www.pewsocialtrends.org/файли... -to-change.pdf (доступ до 15 травня 2013 р.).
2. «Міленіали: Впевнено. Підключений. Відкрити для зміни.» Резюме PewResearch Соціальні та демографічні тенденції, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.pewsocialtrends.org/2010/...pen-to-change/ (доступ до 15 травня 2013 р.).
3. «Поширеність ВІЛ, загальна (% населення віком 15-49 років)», Світовий банк, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою http://data.worldbank.org/indicator/...last&sort=desc (доступ до 15 травня 2013 р.).
4. Прайор, Джон Х., Лінда ДеАнджело, Лаура Палукі Блейк, Сільвія Уртадо, Серж Тран. Американський першокурсник: Національні норми осінь 2011. Лос-Анджелес: Спільна інституційна дослідницька програма в Науково-дослідному інституті вищої освіти в UCLA, 2011. Також доступний в Інтернеті за адресою http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/N...eshman2011.pdf (доступ до 15 травня 2013 р.).
5. «Резюме національної оцінки ризиків та вразливості 2007/8: профіль Афганістану», Європейський Союз та Інститут ICON. Доступний в Інтернеті за адресою ec.europa.eu/europeaid/де/... summary_en.pdf (доступ до 15 травня 2013).
6. «Всесвітня книга фактів», Центральне розвідувальне управління. Доступно в Інтернеті за адресою https://www.cia.gov/library/publicat...k/geos/af.html (доступ до 15 травня 2013 р.).
7. «ЮНІСЕФ повідомляє про Центри жіночої грамотності в Афганістані, створені для навчання жінок та дівчат базовим читанням [sic] та навичкам письма», - телебачення ЮНІСЕФ. Відео доступне в Інтернеті за адресою http://www.unicefusa.org/assets/vide...y-centers.html (доступ до 15 травня 2013 р.).

Рецензія

Існує три характеристики геометричного експерименту:

• Є одне або кілька випробувань Бернуллі з усіма невдачами, крім останнього, який є успішним.
• Теоретично кількість випробувань могло тривати назавжди. Повинен бути хоча б один судовий розгляд.
• Імовірність успіху та ймовірність невдачі однакові для кожного судового розгляду.$p$$q$

У геометричному експерименті визначте дискретну випадкову величину$X$ як кількість незалежних випробувань до першого успіху. Ми говоримо, що$X$ має геометричний розподіл і пишемо$X \sim G(p)$ де$p$ ймовірність успіху в одному дослідженні. Середнє значення геометричного розподілу$X \sim G(p)$ є$\mu = \dfrac{1-p}{p^{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{p}\left(\dfrac{1}{p} - 1\right)}$.

Огляд формули

$X \sim G(p)$означає, що дискретна випадкова величина$X$ має геометричний розподіл ймовірностей з ймовірністю успіху в одному дослідженні$p$.

$X =$кількість незалежних випробувань до першого успіху

$X$бере на себе цінності$x = 1, 2, 3, \dotsc$

$p =$ймовірність успіху для будь-якого судового розгляду

$q =$ймовірність невдачі для будь-якого судового розгляду$p + q = 1$

$q = 1 – p$

Середнє значення є$\mu = \dfrac{1}{p}$.

Стандартне відхилення - це$\sigma = \dfrac{1-p}{p^{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{p}\left(\dfrac{1}{p} - 1\right)}$.

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні шість вправ: Науково-дослідний інститут вищої освіти в UCLA зібрав дані з 203 967 вступників вперше, повний робочий день першокурсників з 270 чотирирічних коледжів та університетів США. 71,3% цих студентів відповіли, що так, вони вважають, що одностатеві пари повинні мати право на законний сімейний стан. Припустимо, що ви випадковим чином вибираєте першокурсника з дослідження, поки не знайдете того, хто відповість «так». Вас цікавить кількість першокурсників, яких ви повинні запитати.

Вправа 4.5.6

У словах визначаємо випадкову величину$X$.

Відповідь

$X =$кількість першокурсників, відібраних з дослідження, поки один не відповів «так», що одностатеві пари повинні мати право на законний сімейний стан.

Вправа 4.5.7

$X \sim$_____ (_____, _____)

Вправа 4.5.8

Які значення приймає випадкова величина$X$?

Відповідь

1,2,...

Вправа 4.5.9

Побудувати функцію розподілу ймовірностей (PDF). Зупиніться на$x = 6$.

$x$	$P(x)$
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) ">
\ (x\) ">2	\ (P (x)\) ">
\ (x\) ">3	\ (P (x)\) ">
\ (x\) ">4	\ (P (x)\) ">
\ (x\) ">5	\ (P (x)\) ">
\ (x\) ">6	\ (P (x)\) ">

Вправа 4.5.10

В середньому ($\mu$), скільки першокурсників ви очікуєте запитати, поки не знайдете того, хто відповість «так?»

Відповідь

1.4

Вправа 4.5.11

Яка ймовірність того, що вам потрібно буде запитати менше трьох першокурсників?

Виноски

¹» Поширеність ВІЛ, загальна (% населення віком 15-49 років)», Світовий банк, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою http://data.worldbank.org/indicator/...pi_data_value - останнє & сортування = desc (доступ до 15 травня 2013 р.).

Глосарій

Геометричний розподіл

дискретна випадкова величина (RV), яка виникає в результаті випробувань Бернуллі; випробування повторюються до першого успіху. $X$Геометрична змінна визначається як кількість випробувань до першого успіху. Позначення:$X \sim G(p)$. Середнє значення є,$\mu = \dfrac{1}{p}$ а стандартне відхилення дорівнює$\sigma =$

$$\sqrt{\dfrac{1}{p}\left(\dfrac{1}{p} - 1\right)}$$

. Імовірність саме$x$ невдач перед першим успіхом задається формулою:$P(X = x) = p(1 –p)^{x-1}$.

Геометричний експеримент

статистичний експеримент з наступними властивостями:

1. Є одне або кілька випробувань Бернуллі з усіма невдачами, крім останнього, який є успішним.
2. Теоретично кількість випробувань могло тривати назавжди. Повинен бути хоча б один судовий розгляд.
3. Імовірність успіху та ймовірність невдачі не змінюються$q$ від судового розгляду до судового розгляду.$p$