13.2: Приклад розрахунків

навички розвитку

• Обчислення потужності за допомогою біноміального розподілу
• Обчислення потужності за допомогою звичайного розподілу
• Використовуйте калькулятор потужності для обчислення потужності для$t$ розподілу

У тематичному дослідженні «Струшування та перемішування Мартіні» питання полягало в тому, чи може пан Бонд визначити різницю між мартіні, які перемішували, і мартіні, які були потрясені. Заради цього прикладу припустимо, що він може сказати різницю і здатний правильно заявити, чи був мартіні струшувався або$0.75$ перемішувався того часу. Тепер, припустимо, проводиться експеримент, щоб дослідити, чи може пан Бонд визначити різницю. Зокрема, чи правильний містер$0.50$ Бонд більше часу? Ми знаємо, що він є (це припущення на прикладі). Однак експериментатор не знає і просить містера Бонда судити$16$ Мартіні. Експериментатор зробить тест на значущість на основі біноміального розподілу. Зокрема, якщо один хвостатий тест є значним на$0.05$ рівні, то він або вона зробить висновок, що містер Бонд може сказати різницю. Значення ймовірності обчислюється за умови, що нульова гіпотеза є true ($\pi =0.50$). Тому експериментатор визначить, скільки разів містер Бонд правильний, і обчислить ймовірність бути правильним, що багато або більше разів враховуючи, що нульова гіпотеза вірна. Питання: яка ймовірність того, що експериментатор правильно відкине нульову гіпотезу$\pi =0.50$? Іншими словами, в чому сила цього експерименту?

Біноміальний розподіл для$N = 16$ і$\pi =0.50$ показано на рис$\PageIndex{1}$. Імовірність бути правильною на$11$ або декількох випробуваннях є$0.105$ і ймовірність бути правильним на$12$ або більше випробувань є$0.038$. Тому ймовірність бути правильним на$12$ або більшій кількості випробувань менше$0.05$. Це означає, що нульова гіпотеза буде відхилена, якщо містер Бонд буде правильним на$12$ або декількох випробуваннях і не буде відхилений інакше.

Біноміальний калькулятор

Малюнок$\PageIndex{1}$: Біноміальний розподіл для$N = 16$ і$\pi =0.50$

Ми знаємо, що містер Бонд має$0.75$ рацію часу. (Очевидно, що експериментатор цього не знає або не було б необхідності в експерименті.) Біноміальний розподіл з$N = 16$ і$\pi =0.75$ показано на рис$\PageIndex{2}$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Біноміальний розподіл для$N = 16$ і$\pi =0.75$

Імовірність бути правильним на$12$ або декількох випробуваннях є$0.63$. Тому сила експерименту є$0.63$.

Підводячи підсумок, ймовірність бути правильною на$12$ або більше випробуваннях, враховуючи, що нульова гіпотеза істинна, менша ніж$0.05$. Тому, якщо містер Бонд буде правильним на$12$ або декількох випробуваннях, нульова гіпотеза буде відхилена. Враховуючи справжню здатність містера Бонда бути правильним на$0.75$ випробуваннях, ймовірність того, що він буде правильним на$12$ або декількох випробуваннях є$0.63$. Тому влада є$0.63$.

У розділі «Тестування єдиного середнього значення для значущості» перший приклад базувався на припущенні, що експериментатор знав дисперсію популяції. Хоча це рідко буває вірно на практиці, приклад дуже корисний в педагогічних цілях. З цієї ж причини наступний приклад передбачає, що експериментатор знає дисперсію популяції. Калькулятори потужності доступні для ситуацій, в яких експериментатор не знає дисперсії населення.

Припустимо, що тест на досягнення математики, як відомо, має середнє значення$75$ і стандартне відхилення$10$. Дослідника цікавить, чи новий метод навчання призводить до більш високого середнього. Припустимо, що хоча експериментатор цього не знає, чисельність населення для нового методу є$80$. Дослідник планує вибірку$25$ суб'єктів і зробити однохвостий тест на те, чи є середнє значення зразка значно вище, ніж$75$. Яка ймовірність того, що дослідник правильно відкине помилкову нульову гіпотезу про те, що сукупність означає для нового методу$75$ або нижче? Нижче показано, як обчислюється ця ймовірність.

Дослідник припускає, що стандартне відхилення популяції при новому методі таке ж, як і при старому методі ($10$) і що розподіл нормальний. Оскільки стандартне відхилення населення вважається відомим, дослідник може використовувати нормальний розподіл, а не розподіл t для обчислення$p$ значення. Нагадаємо, що стандартна похибка середнього ($\sigma _M$) дорівнює

$$\sigma _M=\frac{\sigma }{\sqrt{N}}$$

що дорівнює$10/5 = 2$ в цьому прикладі. Як видно на малюнку$\PageIndex{3}$, якщо нульова гіпотеза про те, що середнє значення популяції$75$ дорівнює, є істинною, то ймовірність того, що середнє значення вибірки буде більшим або$78.29$ рівним є$0.05$. Тому експериментатор буде відкидати нульову гіпотезу, якщо зразок середнього$M$,,,$78.29$ або більше.

Малюнок, створений за допомогою зворотного нормального калькулятора)

Тоді питання полягає в тому, яка ймовірність того, що експериментатор отримує середнє значення вибірки більше, ніж$78.29$ враховуючи, що середнє значення популяції є$80$? Малюнок$\PageIndex{4}$ показує, що така ймовірність є$0.80$.

Малюнок, створений за допомогою звичайного калькулятора)

Тому ймовірність того, що експериментатор відкине нульову гіпотезу про те, що середнє населення нового методу$75$ є$0.80$. Іншими словами,$power = 0.80$.

Розрахунок потужності більш складний для$t$ випробувань і для аналізу дисперсії. Калькулятор потужності обчислює потужність для$t$ перевірки незалежних груп. Калькулятори для інших типів конструкцій наведені нижче:

Калькулятори потужності Расса Лента